Influxus

Voyage dans le non commutatif

Thierry Paul — 2012-11-14T08:21:01Z

Introduction

Le mot « noncommutatif » aura certainement été l'un des plus représentatifs de la fécondité des mathématiques au XXième siècle.
Si la dichotomie commutatif/noncommutatif est présente au XIXième siècle, dés l'avènement de la théorie des groupes, ce que l'on appelle de nos jours les mathématiques non commutatives ont pris tout leur essor après que la nouvelle mécanique adaptée au monde à l'échelle atomique ait vu le jour. La Mécanique Quantique a dessiné une ontologie du non commutatif en mathématique, tout comme elle a créé un nouveau paradigme physique pour notre perception du monde.
D'un point de vue philosophique il est étrange que la négation d'un concept, d'une formule, devienne aussi positivement ancrée dans un aspect conceptuel presque universel : en principe, puisque le « commutatif » est un, le non commutatif devrait être multiple. Or on parle souvent du commutatif et du non commutatif, comme s'il n'y avait qu'une seule occurrence de ce dernier. Cela traduit, il me semble, le changement de paradigme profond que représente l'abandon, dans une théorie physique ou domaine des mathématiques le postulat .

Faut-il voir ou bien comme une contrainte ?

D'autre part, si deux matrices données et commutent ou bien ne commutent pas entre elles, il s'avère qu'il existe des familles de matrices qui commutent presque, offrant ainsi la possibilité d'une transition du non commutatif vers le commutatif. Cette transition est difficile et offre une richesse extrême, trace selon nous de la profondeur du changement paradigmatique entre le commutatif et le non commutatif. Nous allons essayer d'en donner quelques exemples.

1. Deux écueils post-newtoniens

Nous avons tous appris à l'école que nous vivons dans un espace euclidien constitué de points matériels formant les trajectoires des corps matériels en mouvement qui nous entourent.
Nous avons aussi appris que si la lune suit les trajectoires que nous observons c'est parce que

« la terre attire la lune en raison inverse de la distance ».

Nous vivons très bien à l'intérieur de ce paradigme, sans toujours noter qu'il contient deux écueils très importants que l'on peut représenter par les deux questions suivantes :

– qu'y a-t-il entre la terre et la lune qui permette à la première d'attirer la seconde ?
– que se passe-t-il lorsque la distance entre les deux devient nulle, et donc que la raison inverse devient infinie ?

Autrement dit : qu'est-ce qui véhicule l'interaction gravitationnelle et que se passe-t-il lorsque deux points matériels se choquent sous l'action de celle-ci ?
Nous savons tous que le premier écueil sera résolu par la théorie de la relativité, et s'exprime en ces mots :

entre la terre et la lune il y a de la géométrie.

Et cette géométrie, sensible aux corps matériels ambiants, « casse » la structure plate de l'espace euclidien en un espace courbe qui force la lune à suivre la trajectoire qu'on lui connaît. Il s'agit donc là d'une modification géométrique à grande échelle.
Le franchissement du deuxième écueil est plus subtil et se doit de « casser » la structure à petite échelle. Cette critique de la raison inverse appelle un changement paradigmatique autrement plus profond qui va nécessiter d'introduire une structure non commutative : le choc entre deux corps ponctuels est évité par le non commutatif.
Définissons encore . Le nouveau credo sera donc

2. Résolution du paradoxe du point matériel

Nous allons présenter dans cette section deux façons de passer outre écueil du point matériel. Dans les deux cas bien sûr la non commutativité sera cruciale.
Un des concepts fondamentaux de la physique est la notion d'énergie. Une particule, classique ou quantique, possédé une énergie, habituellement
somme d'une partie cinétique et d'une partie potentielle. Celles-ci s'expriment en fonction de l'impulsion et de la position de la particule.
Dans le cas de la mécanique céleste et de l'attraction coulombienne, l'énergie s'exprime par (dans un système d'unité approprié) :

On voit donc tout de suite que, et prenant toute les valeurs possibles, peut prendre aussi toutes les valeurs possibles entre et . En particulier .
Rien n'empêche donc d'être aussi petite que l'on veut lorsque devient petit. Ce qui entraîne une particule, cherchant naturellement à minimiser l'énergie, à fondre sur la singularité, créant ainsi un choc que la théorie newtonienne ne peut englober.
Le changement de paradigme quantique consiste à imposer une règle a priori de non commutation des quantités et . Plus précisément il est possible de montrer qu'en imposant, sans rien changer d'autre, à et de satisfaire

alors :

Le cadre de cet article ne permet pas de préciser ce que veut dire exactement cette dernière assertion (voir [3]), mais disons qu'une conséquence de cette formulation est d'éviter que l'énergie puisse devenir infiniment négative, et donc d'assurer la stabilité de la matière.
Présentons un autre argument (heuristique) sur le même sujet invoquant les célébrés inégalités de Heisenberg.

Sans entrer encore une fois dans les détails ([3]), disons que les quantités ,
associées à l'état d'un système quantique et à deux quantités observables et , et qui traduisent les phénomènes de dispersion chère à la Mécanique Quantique, satisfont de manière tout à fait générale l'inégalité

| }2" title="\Delta{A}.\Delta{B} \geq \frac{ |<[A,B]>| }2" />

dans lesquelles <.> est une moyenne.
En conséquence peuvent être aussi petites que l'on veut dans les situations où

mais la non commutativité des quantités et donne une borne inférieure au produit .

Voyons comment tout cela s'applique à la discussion précédente. Lorsque , la signification semiclassique de est la suivante : un état quantique ne peut pas occuper un volume de l'espace (de phases) plus petit que . Laissons pour l'instant la discussion sur la signification technique de cette interprétation pour remarquer que, si l'on calcule le volume de l'espace de phase classique correspondant à la région où c'est à dire

on trouve facilement

La région où n'a donc pas un volume suffisant pour « supporter » un état quantique qui occupe au moins un volume (formule 1/2) d'après les inégalités de Heisenberg.
Nous avons donc bien :

en Mécanique Quantique, .

3. Magie

Une des plus belles expériences de physique du XXième siècle est l'expérience de Stern-Gerlach qui fût à l'origine de la découverte expérimentale et conceptuelle du spin. Elle date d'avant 1925, et ne trouva sa pleine explication que grâce à la Mécanique Quantique, et en particulier grâce au processus de la mesure. C'est une expérience qui, dans le paradigme classique apparaît comme magique, et qui, dans le paradigme quantique souligne la magie de la mesure. On peut aussi y voir un nouveau mythe de Sisyphe.
Le point de départ consiste en un faisceau d'électrons, tous identiques, que l'on va envoyer un par un traverser une cavité entre deux plaques métalliques où règne un champ magnétique. Le premier fait à remarquer est que la moitié des électrons se trouvent déviés vers la droite, l'autre moitié vers la gauche, alors que classiquement ils devraient tous aller tout droit. Il y a donc un nouveau degré de liberté à deux valeurs suivant lesquelles chaque électron dévie à droite ou à gauche. Jusque là rien de très intrigant, si ce n'est la nouveauté de paramètre supplémentaire.
Si maintenant on fait passer chacun des deux faisceaux ainsi obtenus dans un champ magnétique identique au premier, alors, bien sûr dira-t-on, chaque électron de chaque faisceau dévie encore dans la même direction : droite pour le faisceau initialement dévié à droite, gauche pour l'autre.
Là où les choses se compliquent un tout petit peu (pour l'instant) c'est lorsque que l'on fait passer un des deux faisceaux dans le champ magnétique d'une cavité que l'on a tourné physiquement autour de l'axe de 1 trajectoire des électrons. Alors le faisceau se re-sépare en deux, à droite et à gauche par rapport au nouveau champ magnétique. Ainsi donc il semble que l'on ait découvert un deuxième degré de liberté qui prend encore deux valeurs qui influencent la direction de déflexion par rapport à ce nouveau champ magnétique. C'est encore appréhendable, bien que curieux.
La magie opère lorsque l'on fait passer un de ces nouveaux faisceau, issu pourtant d'un faisceau dévié, disons, à droite par le premier champ magnétique initial, à travers ce même champ initial. Là où l'on s'attendrait à voir une déflexion à droite, puisque l'on avait en quelque sorte « filtré » le paramètre gauche par rapport au champ initial, on voit à nouveau le faisceau se partager en deux, tout comme le faisceau du tout début. Il semble donc que les électrons aient « oublié » leur saveur « droite » par rapport au champ initial.
Expliquer cette expérience dans la culture classique, en associant à chaque électron une valeur et une seule pour une propriété donnée est impossible. Peut-être ne l'est-il pas en imaginant une distribution statistique et une loi de probabilité, mais c'est à coup sûr très compliqué.
C'est très simple avec des matrices qui ne commutent pas entre elles.
Pourquoi des matrices ? Parce que l'on a effectué une rotation dans le plan qui est une application linéaire dans , et que le paramètre direction a deux valeurs : droite et gauche.
Lors du passage dans le champ magnétique, qui constitue un processus de mesure quantique, on effectue une projection sur l'un des deux vecteurs propres d'une matrice.
Lorsque l'on « tourne » le champ magnétique, on effectue une rotation par rapport à l'axe de la trajectoire.
Or les rotations et les projections ne commutent pas (en général).
On a donc tout d'abord pour le champ initial et ses deux valeurs propres et les deux vecteurs propres correspondants :

puis pour le champ tourné :

Mais puisque

on voit bien que le faisceau arrivant sur le nouveau champ magnétique tourné va se partager en deux, et puisque

on voit bien que le nouveau faisceau repassant dans le champ initial va encore se repartager en deux.

C'est un nouveau mythe de Sisyphe, tout est à recommencer à chaque fois :
Projection Rotation
Projection Rotation ,
La chose importante à remarquer, sans quoi tout resterait classique est que :

C'est la non commutativité qui torture Sisyphe.

4. Bell

Nous aimons les moyennes, ces chimères jamais atteintes (avez-vous remarqué que la température ambiante n'est jamais égale à la moyenne saisonnière ?). Les moyennes nous rassurent devant notre peur de la complexité, c'est peut-être pour cela que nous les appelons « espérance ».
Dans la culture classique (e,g, les médias) les moyennes se calculent par sommes et produits, comme les géomètre jadis faisaient tout avec la règle et le compas : si une propriété peut prendre les valeurs avec probabilité , l'espérance de est .

On montre ainsi que si l'on a quatre propriétés et , prenant les valeurs , et si l'on considère la quantité , son espérance peut être de la forme

En Mécanique Quantique la magie de la non commutativité, comme nous l'avons plus haut, s'exprime dans le nouveau paradigme par des propriétés qui sont des matrices et des lois associées à des vecteurs. On écrit

:=< \psi\lvert A\rvert\psi >=\sum a_j\lvert < u_j\lvert\psi > \rvert^2" title="< A > :=< \psi\lvert A\rvert\psi >=\sum a_j\lvert < u_j\lvert\psi > \rvert^2" />

où sont les valeurs propres de et les coordonnées de ses vecteurs propres. Puisque deux matrices qui commutent ont une base de vecteurs propres on a donc

< AB >=\sum_{i}a_ib_i\lvert < u_j\lvert\psi > \rvert^2" title="[A,B]=0=>< AB >=\sum_{i}a_ib_i\lvert < u_j\lvert\psi > \rvert^2" />

de la même façon pour =\sum_{j}c_jd_j\lvert < v_j\lvert\psi > \rvert^2" title="[C,D]=0,\ < \psi\lvert CD\rvert\psi >=\sum_{j}c_jd_j\lvert < v_j\lvert\psi > \rvert^2" />.

Mais, si tous les ne commutent pas entre elles, par exemple si :

=< AB >+< CD >" title="< AB+CD >=< AB >+< CD >" />

\rvert^2." title="\sum_{ijkl}a_ib_jc_kd_l\ \lvert< \text{quelque chose}\ \lvert\psi >\rvert^2." />

C'est là toute la différence avec la situation classique.
Une telle remarque est à la base du théorème de Bell, qui donne pour des particuliers, et a priori réalisables expérimentalement, un critère de test pour la Mécanique Quantique : si les particules testées sont classiques, une certain espérance sera plus petite que , le même calcul dans la formalisme quantique donnant une valeur plus grande que . L'expérience a tranché pour le quantique. Disons en conclusion que

les inégalités de Bell offrent un test de non commutativité

5. Limite semiclassique

Il semble a priori que l'appellation commutatif soit une variable à deux valeurs : oui ou non, ou . Cependant il existe un formalisme qui assure une transition (plus ou moins) douce du non commutatif vers le commutatif.
Pour comprendre cela il suffit de considérer l'algèbre des matrices générées par deux matrices et satisfaisant

(le est ici seulement pour assurer que et soient hermitiennes).

Alors, utilisant ces règles de commutation on vérifie aisément que tout couple de combinaisons linéaire de produits de tels
, va satisfaire

où . Si maintenant on considère la limite où de la même algèbre (en considérant que et dépendent de bien sûr), on va donc obtenir une algèbre commutative. Cela permet de retrouver, mais de façon subtile, la dynamique classique à partir de la Mécanique Quantique.
Mais il est aussi une autre dynamique, inverse de celle juste décrite, qui déforme le commutatif vers le non commutatif. Cette discipline est nécessaire, car la Mécanique Quantique puise souvent son inspiration, mais seulement son inspiration, dans le vivier classique. On a donc cette réalisation « à double foyer », palyndromique en quelque sorte :

Ce repentir cet ec........................cet écrit né Pérec

7. Non commutatif et dynamique

L'image de la section précédente présente une nouvelle incidence du non commutatif. En effet lorsque l'on parle de dynamique classique obtenue à partir de la dynamique quantique par passage à la limite , on doit considérer, en particulier lorsque l'on s'intéresse à des phénomènes de chaos invoquant des temps extrêmes, deux limites

Or il est bien connu en mathématiques que deux limites peuvent ne pas commuter, c'est-à-dire que

Sans rentrer dans les détails ici signalons seulement que cette remarque rebat les cartes énergiquement dans le cadre de la transition quantique/classique. Nous dirons pour finir cette dernière maxime, trace d'une autre non commutativité :

REFERENCES

[1] G. Longo et T. Paul, The Mathematics of Computing between Logic and Physics, article invit, dans « Computability in Context : Computation and Logic in the Real World », S.B. Cooper and A. Sorbi, eds, Imperial College Press, (2010).

[2] T. Paul, Semiclassical Analysis and Sensitivity to Initial Conditions, « Information and Computation », 207 p. 660-669 (2009).

[3] T . Paul, Indéterminisme quantique et imprédictibilité classique, « Noesis », (2011).

[4] T. Paul et S. Poinat, « Are quantum systems emergent ? », preprint.

Réflexions sur la Science de la logique de Hegel - entre anthropologie et logique

Roberto Finelli — 2012-11-26T15:34:00Z

1. Titre partie

Dans un passage de la Science de la logique, Hegel écrit : « L'unique chose pour gagner le procès scientifique, c'est la connaissance de la proposition logique que le négatif est tout aussi bien le positif, ou que ce qui se contredit ne se dissout pas en zéro, dans le néant abstrait, mais essentiellement dans la seule négation de son contenu particulier, ou encore qu'une telle négation n'est pas toute négation, mais la négation de la Chose déterminée qui se dissout, et donc est négation déterminée ; que donc dans le résultat est contenu seulement ce dont il résulte » [1].

Dans cette valorisation de la contradiction, une bonne partie de la critique, surtout celle d'inspiration positiviste et néo-positiviste, a toujours prétendue voir le motif le plus profond du caractère antiscientifique et invraisemblable de la dialectique de Hegel. Si la philosophie dialectique prétend éliminer la validité du principe qu'Aristote a mis à la base de la pensée occidentale et de sa logique – c'est à dire le principe qui empêche la possibilité de concevoir l'unité des contradicteurs dans l'unité de temps et dans un même point de vue – il en découle que la dialectique tombe en dehors du cadre de ce qui est pensable, puisque dire la pensée veut toujours dire quelque chose de déterminé et ne jamais affirmer qu'une chose soit rouge et noire en même temps, c'est-à-dire à la fois elle-même et son contraire.

Vis-à-vis de ces critiques de non-sens qui sont attribuées à Hegel et à sa logique dialectique, ce que je voudrais faire ici est d'essayer de donner une signification au concept de non-sens, non pas avec le but de donner une légitimation à une logique de la pensée qui refuse le principe de non-contradiction, mais avec l'intention de mettre en évidence la singularité et l'originalité de signification que Hegel donne aux concepts de « négatif », de « négation » et de « contradiction ». Puisque sans une réflexion sur l'emploi spécifique de ces concepts par Hegel, on ne peut pas comprendre comment la Logique hégélienne, avant même d'être une théorie de la pensée et du jugement et une logique de la proposition, soit une théorie du sujet, de sa formation et de sa comparaison avec soi-même, c'est-à-dire une logique qui, à la différence de toutes les autres, soit enlacée et compliquée par une anthropo-logique.

« La négation, ce terme abstrait, a beaucoup de déterminations » [2]. Ainsi s'exprime Hegel dans un passage sur la religion de l'ancienne Égypte dans les Leçons sur la philosophie de la religion, tout en soulignant la polysémie du concept et de la fonction de négation. Par ailleurs, il est bien connu que la négation est, sans aucun doute, l'un des opérateurs fondamentaux – je dirais le plus fondamental – de la Logique de Hegel. « C'est ainsi que la négation, écrit Hegel, est le réel et l'être-en-soi véritable », elle est « la base abstraite de toutes les idées philosophiques », même si, ajoute Hegel, de cette base « il faut dire que c'est seulement l'époque moderne qui a commencé de la saisir dans sa vérité » [3] . Si l'on essaye de percer la difficile prose de l'œuvre hégélienne, qui de temps en temps, il faut le reconnaître, atteint l'arbitraire obscurité des sophismes, cela signifie, d'après moi, ne pas perdre de vue la polysémie, la variété de signification, du négatif chez Hegel, puisque souvent dans sa philosophie les sens divers se superposent, de sorte que la tâche incombe à l'interprète d'essayer de les discerner et de les maintenir bien distinctes.

La première typologie de négation que je prends en compte ici, est celle de l'équation que Hegel, surtout dans ses textes juvéniles, met entre « négation » et « abstraction », en interprétant ces deux termes d'une façon originale par rapport à la tradition philosophique en général et à celle de la logique en particulier.

L'abstraction, selon Hegel, ne désigne pas l'opération selon laquelle quelque chose est choisi comme objet de perception et d'attention, d'enquête et d'étude, en l'isolant et en la séparant des autres choses ou des aspects de la réalité avec laquelle elle est en relation. Cette définition de l'abstraction, qui indique la fonction de l'esprit qui sépare une représentation dont on est conscient, des autres avec lesquelles elle est liée dans la conscience et qui est inhérente au processus de la connaissance, traverse l'histoire de la philosophie toute entière, d'Aristote à Kant, de Locke jusqu'à James et Dewey. Aristote, dans Métaphysique (XI, 3, 1061 a 28 suivants) écrivait : « Le mathématicien porte son étude sur des objets obtenus par abstraction, car, dans son étude, il supprime toutes les qualités sensibles […], il n'en garde que la quantité et le continu [..]. On attribuerait à la physique l'étude des êtres, non en tant qu'êtres, mais en tant qu'ils participent du mouvement. [..] Il reste que le philosophe, c'est celui qui étudie ce qu'on a dit, dans la mesure où ce sont des êtres » [4].

C'est ainsi que, à l'opération d'abstraction, S. Thomas réduit la connaissance intellectuelle ; laquelle revient à abstraire la forme de la matière individuelle, c'est-à-dire extraire l'universel du particulier, l'espèce intelligible des images particulières. Aussi parce que, comme on l'affirme dans la Logique de Port Royale : « Le peu d'étendue de notre esprit fait ainsi qu'il ne peut pas comprendre les choses un peu composées, qu'en les considérant par parties, et comme par les diverses faces qu'elles peuvent recevoir » [5]. Ou bien parce que la fonction d'abstraire est profondément liée à la fonction symbolique du langage, comme l'affirme Locke dans son Traité sur l'intelligence humaine qui écrit que l'abstraction c'est ce « par où les idées tirées de quelque Être particulier devenant générales, représentent tous les Êtres de la même Espèce, de sorte que les noms généraux qu'on leur donne peuvent être appliqués à tout ce qui, dans les Êtres actuellement existants, convient à ces idées abstraites. (…) Ainsi, remarquant aujourd'hui, dans la craie ou dans la neige, la même couleur que le lait excita hier dans mon esprit, je considère cette idée unique, je la regarde comme une représentation de toutes les autres de cette espèce, et lui en ayant donné le nom de blancheur, j'exprime par ce son, la même qualité, en quelque endroit que je puisse l'imaginer, ou la rencontrer : et c'est ainsi que se forment les idées universelles, et les termes qu'on emploi pour les désigner » [6].

Pour Hegel par contre, l'abstraction, avant d'être une fonction cognitive, est une séparation de la vie, de la complexité de l'expérience humaine, de la multiplicité des facultés humaines qui interviennent en elle-même. L'abstraction est une opération anthropologique avant d'être logique, par laquelle un sujet fragile et faible, qui a peur de la vie, élève son propre ego et les contenus de son expérience à une valeur absolue, en les empêchant d'entrer en relation avec l'existence des autres et avec la réalité du monde. L'abstraction est la violence d'une partie qui se dilate et se conçoit comme un tout propre par ce qu'il se durcit dans sa limite et conçoit tout ce qui est en dehors d'elle comme l'autre, ou bien comme s'il était opposé à lui-même et étranger. L'abstraction est donc une opération d'omnipotence-impuissance d'une subjectivité frêle et prématurée. Cette subjectivité organise l'expérience et la vie selon des rapports d'opposition, où l'autre, chose ou personne, société ou nature, n'est pas différent de moi-même, mais est un « non-moi » chargé d'obstination envers le moi.

Enfin, l'abstraction ne signifie pas, selon la tradition, sortir du concret, pour notre avantage subjectif, telle ou telle détermination qui constitue le contenu du concept. L'abstraction, pour Hegel, est une mise en scène de la réalité dans un cadre de dramatisation. Elle est le résultat de l'action d'un esprit qui n'est pas mûr et qui traduit la réalité dans un champ de forces parcourues par des dynamiques de bornages, d'exclusion et d'opposition. L'abstraction est la clef de voûte qui nous permet de comprendre une modalité archaïque et fausse de fonctionnement de l'esprit et de la connaissance : une modalité inadéquate de la pensée que Hegel baptise Verstand, intellect.

Dans un sens plus précis, on peut dire que la modalité intellectualiste de la pensée se caractérise, selon Hegel, par un emploi pathologique de l'universel, au sens où l'universel est utilisé par une subjectivité craintive de la vie. Non pas pour élaborer et franchir ses propres faiblesses mais, au contraire, pour les renforcer, les protéger et donc vivre en elles et grâce à elles. Ici, en effet, l'universel est utilisé comme un instrument qui intensifie les séparations et les incommunicabilités, qui consolide les murailles et les barrières, au lieu de produire des synthèses, des conciliations et des intégrations de la réalité.

Ici, l'universel est fonction pathologique d'une partie qui prétend arbitrairement valoir le tout, coïncider avec la totalité et en même temps, exclure de cette totalité toutes les autres parties.

L'universel est donc fonction d'un particulier qui s'universalise arbitrairement et qui soustrait en même temps tous les autres particuliers du domaine significatif de l'universel. La fonction pathologique de l'universel dans le domaine d'une façon intellectualiste d'opérer de l'esprit est donc celle d'une fallacieuse et impropre infinitation du fini, dans le sens où, précisément, un particulier bénéficie d'un excédent, d'un surplus de valorisation et de signification par rapport à la valorisation et à l'expulsion de la sphère du sens des autres particuliers.

L'exemple historique le plus explicite dans le domaine de la philosophie de la religion est celui qui, pour Hegel, est représenté par la culture et la religion hébraïque. Selon une interprétation conditionnée par les thèmes de la tradition chrétienne, Hegel voit aussi le principe de l'esprit hébraïque dans une disposition à la contraposition et à la scission de l'autre. L'anthropologie hébraïque a en effet, comme son propre héros fondateur Abraham qui, comme écrit Hegel, « il voulut ne pas aimer, et par conséquent être libre ».

Abraham voulut pérégriner pendant toute sa vie, sans se mêler avec les autres peuples. Sa conception de la vie, ajoute Hegel, était imprégnée de « l'esprit de rester dans une dure opposition avec tout, parce qu'il avait élevé sa pensée abstraite à une unité dominante sur la nature perçue comme infiniment hostile ».

La personnalité hébraïque, trop enfermée dans la reproduction égoïste de soi-même, voit le monde comme un non-moi, seulement comme un possible objet d'un intérêt qui calcule une utilité manipulatrice. C'est pour cela qu'il fonde le monothéisme. C'est-à-dire qu'il conçoit un dieu qui, différemment des autres divinités païennes impliquées avec la nature, est supérieur à tout autre élément naturel. C'est un dieu qui, dans son universalité abstraite, domine la nature toute entière. Mais le peuple hébraïque se fait esclave de ce seigneur unique et absolu et en vertu de cette servitude devient le peuple élu. En d'autres termes, il participe d'un pouvoir qu'exerce un universel abstrait et transcendant sur les particuliers et de cette façon, se voit facilité et projeté dans son aptitude à utiliser et à dominer le monde. Selon une façon de procéder d'une pensée qui se défend, repousse et expulse et qui utilise l'universel non pas pour connaître, lier et compléter la réalité, mais pour revêtir de survaleur, de surplus symbolique un particulier au désavantage de tous les autres.

La première signification de négation que l'on rencontre chez Hegel est donc un synonyme d'abstraction comme répulsion. Il n'a pas la valeur de négation logique-apophantique, comme copule négative (non être) qui nie l'appartenance d'un prédicat à un sujet. Il n'a pas la valeur de la négation existentielle (« il n'existe pas ») qui nie l'existence ou la réalité de n'importe quelle personne ou chose. Mais surtout, il n'a pas la valeur de la négation comme différence qui sépare une chose de l'autre, à travers l'énoncé de leurs diversités (« L'homme n'est pas une trirème ») : puisqu'avec le type de négation hégélienne dont on parle ici, ce qui est mis à thème n'est pas la différence, ou la distinction, mais plutôt l'opposition.

2. Titre partie

D'ailleurs, ce n'est pas dans la seule Logique, mais dans l'entière philosophie hégélienne que l'opposition, en qualité de catégorie dominante et fondamentale, l'emporte sur la distinction, comme le remarqua justement Benedetto Croce au début du XXe siècle en proposant une réforme de la dialectique hégélienne qui raisonnait non seulement en terme d'une dialectique des opposés, mais encore en terme d'une dialectique et d'une logique des distincts [7].

Dès sa jeunesse toutefois, l'intérêt prépondérant du philosophe allemand s'est concentré sur l'opposition, parce qu'un des buts de sa philosophie est de penser une solution non extrinsèque de l'opposition ; c'est-à-dire, une solution par laquelle la condition d'opposition soit dépassée sans artifices et sans violences, parce que l'idéal éthico-politique par lequel sa jeunesse – traversée par l'événement historique de la Révolution Française – fût plus fortement passionnée, est celui d'une conciliation des opposés – même sociales, politiques, institutionnels – concevable et réalisable sans recours à la violence ou à la domination d'un des opposés sur l'autre. C'est pour cela que Hegel étudie l'opposition : pour comprendre comment, d'une relation ou d'une condition historique-existentielle d'opposition, puisse s'engendrer une unité qui ne soit mortifiante pour aucun des termes, une unité qui s'affirme comme une synthèse, un procès immanent de compénétration mutuelle réalisé par les mêmes éléments qui, au début, se disposent selon une relation d'exclusion et opposition.

Le premier Hegel a déjà découvert la loi qui définit la structure d'opposition engendrée par la négation en tant qu'abstraction répulsive. C'est la loi qui définit la dialectique comme destin. Elle affirme que le destin d'une identité construite au moyen d'une abstraction excluante, d'une attitude de clôture vers le monde, est de ne jamais pouvoir coïncider avec soi-même, de se renverser en ce même opposé qu'elle prétendait tenir hors de soi, en lui prêtant une valeur purement négative et en le réduisant à un contexte simplement instrumental. Le destin de l'identité abstraite se révèle ainsi celui d'être envahie et dominée par le même monde qu'elle se forçait, pour une supposée autosuffisance, d'exclusion de soi. Un destin qui est arrivé, à son avis, dans l'histoire des peuples et des cultures religieuses, au peuple juif, toujours destiné à être victime et objet de la domination des autres peuples, comme à toutes les belles âmes qui, à partir de Jésus et de son destin tragique, ont vu précipiter et faire naufrage tout leurs efforts de se rapporter au monde grâce à la seule attitude de la philanthropie ou de l'amour. L'abstraction, en tant que négation oppositive, engendre un renversement d'un terme d'opposition dans l'autre : pas de confirmation de l'identité, donc, mais sa ruine, exposition sans retour à l'occupation et à l'invasion par l'altérité.

L'ultérieure élaboration hégélienne du concept de négation naît dans ce cercle de problèmes. De manière plus précise, elle naît de l'exigence de repérer une modalité d'expérience identitaire qui ne se renverse et ne se dissipe en une altération vidante et dévastante.

Pour atteindre la solution de ce problème, c'est de la catégorie de « négation absolue » que profitent les deux œuvres hégéliennes fondamentales, la Phénoménologie de l'Esprit et la Science de la Logique. Dans la philosophie hégélienne, en effet, l'acte défini comme « négation absolue », ou « négation autonome », ou « négation de la négation », n'est pas celui qui nie l'autre que soi, l'autre en dehors de soi, mais est celui d'une négation adressée, au contraire, à l'intérieur, envers soi-même, l'acte d'une négation réflexive qui s'affirme comme négation de soi-même. C'est le nier en tant que « das Andere seiner selbst », l'autre de soi-même. Un « nier » constitué d'une pure négativité, incapable donc de se fixer, même pour un instant, dans la détermination ou l'identité. Un nier tel que son activité auto-réflexe se définit précisément comme l'activité de soustraire à soi-même toute fixité ou permanence structurelle qui puisse la livrer à une quelque identité ou définition. En tant qu'ab-solue, déliée de la relation avec l'altérité extérieure, la négation se définit comme relation négative avec soi-même. C'est-à-dire qu'elle n'est pas répulsion de l'autre, mais répulsion de soi-même par soi-même. Cela veut dire, pour Hegel, qu'elle est synonyme d'une fonction d'infinitisation qui enlève les limites propres du fini et du déterminé : au dessous de chaque utilisation significative de l'expression « non-être » (comme dans le cas du non-être copulatif, du non-être existentiel, du non-être de la différence), doit travailler une fonction logique-ontologique plus profonde et radicale, qu'on pourra définir comme une force d'auto-repoussement ou auto-écart. « Seulement ainsi – lit-on dans la Science de la Logique – l'autre est entendu comme tel, c'est-à-dire non pas comme autre de quelque chose, mais comme l'autre en soi-même, ou bien l'autre de soi-même […]. L'autre pour soi est l'autre en lui-même, et donc l'autre de soi-même, l'autre de l'autre – ce qui est donc en soi absolument dissimilaire, celui qui se nie, qui se change [traduction propre] » [8].

Il faudrait réfléchir longuement à l'élaboration hégélienne du concept de négation absolue ou auto-réfléchi. A mon avis pourtant, son caractère absolu (son être référé à rien d'autre qu'à soi-même, étant non pas négation de l'autre mais négation de soi-même) dérive d'une opération injustifiée, c'est-à-dire la traduction du non-être, toujours relatif, en qualité de non-être copulatif, existentiel ou différentiel, à des contextes déterminés, en un non-être hypostatisé, posé hors de tout contexte. En le soustrayant à la pluralité de ses fonctions sémantiques, Hegel semble absolutiser le non-être linguistique et le graver ainsi d'une activité d'auto-repoussement qu'il tire de ses méditations historique-anthropologique de jeunesse. A mon avis, finalement, la base sur laquelle la négation absolue peut être élevée, dans la Science de la Logique, au rang de vecteur fondamental et du mouvement et du développement des catégories logiques, est celle de la projection d'une pensée originairement anthropologique sur une autre qui se prétend purement logique. C'est d'ici que dérive, dans l'œuvre hégélienne, la définition de la négation comme une activité néantifiante qui se révèle à l'œuvre au-dessous et au-dedans de la détermination et de la solidité apparentes des choses, comme une tendance, intérieure et immanente, à l'auto-dissolution [auto-suppression].

Dans la logique ancienne, la négation de la négation d'un énoncé donné équivaut à l'affirmation du même énoncé. Dans la Logique de Hegel, le redoublement de la négation est transféré d'un plan linguistique à un plan de réalité, en devenant ainsi le redoublement d'une altérité, alors que pour « altérité », comme on disait auparavant, il faut entendre non pas une relation de différence entre des donnés existants, mais un rapport d'auto-exclusion rattaché à soi-même. Ce déplacement d'un plan à l'autre est tout-à-fait explicite dans la théorisation hégélienne de la limite (Grenz). Hegel, en effet, considère les confins entre deux êtres ou choses, non pas comme la marge au moyen de laquelle la détermination de l'un se différencie de la détermination et des caractéristiques de l'autre, c'est-à-dire, non pas comme le lieu de la différence entre une chose et l'autre ; mais comme celui de l'activation du non-être, par laquelle la chose entre en contradiction avec soi-même et, en dépassant sa finitude, entre en compénétration avec le monde et l'expérience hors d'elle. En tant que mutuellement limitées, comme une chose est le non-être de l'autre, ainsi celle-ci est le non-être de celle-là. Pour Hegel, en rendant la limite auto-réflexive et auto-repoussante, en la poussant à dépasser son immobilité, à se dynamiser et, finalement, à enlever soi-même, cette double négation devrait rendre possible le dépassement d'une vision intellectualiste du réel faite de séparations, en faveur d'une vision dialectique composée de relations et compénétrations.

La négation de la négation, ou négation absolue, est ainsi la clef de voûte pour comprendre le développement des catégories logiques de la pensée dialectique chez Hegel. Il n'y a qu'elle comme garantie pour qu'un être ou une réalité quelconque, en se contredisant, ne se résolvent dans le néant et dans l'inconcevabilité, comme le prétend la tradition occidentale dès Aristote jusqu'à Kant. La contradiction, chez Hegel, vaut comme le franchissement de la partialité d'un donné qui, en se faisant autre et opposé par rapport à soi-même, déplace l'altérité et les oppositions du dehors à l'intérieur de soi-même, en s'ouvrant ainsi à la relation et à la dynamique d'infinitisation de ses propres limites. « Contradiction » n'est pas synonyme de zéro, du néant de la pensée ou bien de la pensée fausse et non vraie, mais d'une fonction de la pensée vraie qui connait la vraie structure du réel. Comme il affirme dans une des dissertations présentées pour l'habilitation à l'enseignement, « Contradictio est regula veri, non contradictio regula falsi ».

De cette façon, Hegel prétend renverser le lien de continuité établi, selon certains points de vue, dans l'histoire de la philosophie occidentale, depuis Aristote jusqu'à Kant. L'ontologisation ou hypostatisation du néant et de l'être, le penser être et non-être, c'est-à-dire non pas comme relatifs, mais comme un être et un non-être absolus, c'est le poids dont Parménide a originairement gravé notre pensée. Platon, et puis Aristote, ont essayé de se débarrasser de cette hypothèque. Platon précisément au moyen du parricide de Parménide, qu'il déclare avoir accompli dans le « Sophiste », le dialogue qui contre Parménide théorise la possibilité, pour le non-être, d'être pensé et dit, puisqu'il ne renvoie pas à une absence ou à un vide de réalité, à un trou noir, sa valeur sémantique étant plutôt celle d'un indicateur de différence, du rapport d'altérité mutuelle entre deux êtres de toute façon positivement existants. Aristote, de son côté, au moyen de la polysémie, de la plurivocité des sens qui substitue l'univocité substantialisante de l'être éléatique, en affirmant que l'être pollachòs lèeghetai : qu'il y a une multiplicité de manières de dire l'être et, par conséquence, le non-être.

A ce propos, je crois que Hegel a réintroduit un concept ontologique du néant, une autonomisation et absolutisation du néant qui présente plusieurs analogies avec ce début archaïque et problématique de la philosophie occidentale qui est lié à la métaphysique parménidienne, dont l'élaboration et le dépassement ont si profondément engagée la tradition philosophique de l'antiquité. Il s'agit d'une réactualisation du sens absolu du non-être, laquelle, en le dynamisant comme négation de la négation, comme négation auto-réfléchie, se pose à mon avis au fondement non seulement, au XIXe siècle, de la pensée dialectique de l'idéalisme et du matérialisme allemands, mais aussi, dès Schopenhauer et Nietzsche jusqu'à Adorno ou Derrida, de toutes les philosophies de la déconstruction, lesquelles, chacune à sa façon, valorisent principes et méthodologies de la négativité infinie, pour s'opposer à toute structuration du réel capable d'un certain degré de permanence. En effet, c'est la Science de la Logique entière, dans son articulation en doctrine de l'Être, de l'Essence et du Concept, à se proposer comme une succession incessante de modalités de connaissance toujours plus appropriées, au fur et à mesure que les catégories de l'identification, de la permanence et de la relation horizontale cèdent le pas aux catégories de l'auto-réflexivité, de l'auto-dynamisation et de la relation verticale : c'est-à-dire, au fur et à mesure que des catégories comme quelque chose, un, plusieurs, répulsion, attraction, avec leur extension dans la quantité du nombre, du degré, de la mesure, cèdent la scène à des catégories comme la compénétration, l'apparaître de l'intérieur à la superficie (surface), le paraître, le se réfléchir entre soi-même.

Conclusion

En conclusion de ces brèves et schématiques considérations, la question qui se pose, ou qui du moins se pose à moi, est la suivante : est-il possible, à l'intérieur du cadre de la logique hégélienne, de distinguer entre une doctrine de l'opposition et une doctrine de la contradiction - la première, plus concrètement fonctionnelle à l'enquête des domaines de l'expérience structurés selon des chaînes oppositives ; la deuxième, plus liée à la valorisation ontologique de la négation linguistique et aux apories qui en découlent ?

A bien voir, la relation d'opposition conçue par Hegel est telle qu'aucun des termes ne peut se présenter comme réfléchi en soi-même, si non en tant que réfléchi dans l'autre. Cela veut dire que le propre de l'opposition, pour Hegel, c'est que ces termes soient totalement épuisés par leur relation mutuelle : c'est-à-dire que les deux ne possèdent aucune détermination, aucune consistance et aucune réalité autonomes en dehors de leur connexion. Ils ne sont pas comme le père et le fils, qui sont porteurs, au-delà de leur relation, de toute une série de caractéristiques autres et autonomes, parce que les opposés, comme écrit Hegel, « n'ont aucune détermination sauf leur unité négative ». Les opposés sont définis par une relation d'opposition constitutive et immanente et par l'impossibilité, pour chaque pôle, d'exister sans l'autre. C'est pour cela qu'ils ne peuvent se donner qu'en constituant un espace systémique de réalité. La dialectique ne serait alors que l'étude des dynamiques d'exclusion, de renversement, d'identification forcée, de superposition, de projection de l'un sur l'autre, vidage, occupation, remplissage qui peuvent se dérouler dans un espace systémique d'une telle nature.

En ce sens, à mon avis, l'assomption de la dialectique comme loi, non pas de quelque région spécifique, mais de la réalité toute entière, c'est-à-dire la valorisation de la contradiction comme transcatégorie, comme catégorie générale de l'expérience et de la logique, n'est possible qu'au moyen de l'occultation de l'hypostase et de l'abstraction qui en sont à la base, en tant que négativité égalisée à l'infini et réfléchie en soi-même.

La philosophie contemporaine d'inspiration analytique nous exhorte à faire de la philosophie surtout une pratique d'analyse du langage et de critique des pathologies linguistiques. De ce point de vue, l'analyse et la critique de la polysémie de la négation et du non-être sont, je crois, indispensables pour essayer de saisir quelque chose du secret et du mystère de Hegel. Comme Aristote posait à la base de la pensée ancienne la polysémie de l'être et le dépassement de l'« être » parménidien, c'est-à-dire de l'être monachòs lèghetai ou simpliciter dicitur, ainsi, je crois que les études sur Hegel et la dialectique doivent placer au centre de leur recherche le « non-être » en tant que pollachòs lèghetai ou multiplex dicitur. Seule l'articulation de la polysémie du non-être peut nous enseigner à démêler les lieux où Hegel apporte sa contribution à la découverte de nouvelles structures de la pensée et de la réalité, de ceux où, moyennant l'entrelacement et la juxtaposition des sens différents de l'opposition et de la négation, il retourne à agiter l'artillerie assourdissante et paralysante de la sophistiquerie.

[1] G.W.F. Hegel, Science de la logique, Premier tome. Premier livre, traduction, présentation et notes par P.-J. Labarrière et G. Jarczyk, Editions Aubier Montaigne, Paris, 1972, p. 26.

[2] G.W.F. Hegel, Leçons sur la philosophie de la religion, IIe partie, La religion déterminée, 1. La religion de la Nature, traduit par l'allemande par J. Gibelin, Librairie Philosophique J. Vrin, Paris, 1972p. 166.

[3] G.W.F. Hegel, Science de la logique, I tome, I livre, trad. cit., p. 113.

[4] Aristote, Métaphysique, Introduction, traduction, notes, bibliographie et index par M.-P. Duminil et A. Jaulin, Editions Flammarion, Paris, 2008, p. 355.

[5] A. Arnauld, P. Nicole, La logique ou l'art de penser, contenant, outre les règles communes, plusieurs observations nouvelles, propres à former le jugement, édition critique par P. Clair et F. Girbal, Presses Universitaires de France, Paris, 1965, p. 55.

[6] J. Locke, Essai philosophique concernant l'entendement humain, où l'on montre quelle est l'étendue de nos connaissances certaines, et la manière dont nous y parvenons, traduit par Coste, édité par E. Naert, Librairie Philosophique J. Vrin, Paris, 1983, pp. 113-4.

[7] Cf. Benedetto Croce, Saggio sullo Hegel, seguito da altri scritti di storia della filosofia, a cura di A. Savorelli con una nota al testo di C. Cesa, Bibliopolis, Napoli, 2006.

[8] G.W.F. Hegel, Wissenschaft der Logik, I, [« Etwas und ein Anderes »], in Werke in zwanzig Bänden, Theorie Werkausgabe Suhrkamp Verlag, Band 5, p. 127.

On the Relevance of Negative Results

Giuseppe Longo — 2012-11-21T09:55:49Z

A preliminary version in French of the first part of this paper appeared in Intellectica, vol. 40, n°1, 2005.

1. Scientific knowledge and critical insight.

The analysis of concepts, conducted on a comparative level if possible, as well as the (tentative) explanation of the philosophical project, should always accompany scientific work. In fact, critical reflections regarding existing theories are at the core of positive scientific constructions, because science is often constructed against the supposed tyranny and autonomy of « facts » which in reality are nothing but « small-scale theories ». Science is also often constructed by means of an audacious interpretation of « new » (and old) facts ; it progresses against the obvious and against common sense (le « bon sens ») ; it struggles against the illusions of immediate knowledge and must be capable of escaping from already established theoretical
frameworks. For example, the very high level of mathematical technicity in the geometry of Ptolemaic epicycles constructed from clearly observable facts strongly perplexed numerous Renaissance thinkers such as Copernicus, Kepler and Galileo… : in order to account for the movements of the stars and for the « obvious » immobility of the earth, circles that were added to circles, centers of new circles, were established with and extraordinary geometrical finesse and gave way to uncountably many « publications » (of very high Impact Factor, at least till the middle of the XVII century). Yet they
failed to convince the aforementioned revolutionary critical thinkers. And, as Bachelard rightly puts it, the construction of knowledge was then founded, as was Greek thought, upon an epistemological severance, which operates a separation with the previous ways of thinking.
But it is recent examples that interest us, where the critical view finds expression on a more punctual basis, by means of « negative results ». Let's explain.
When Poincaré was working on the calculi of astronomers, on the dynamics of planets within their gravitational fields, he produced, by purely mathematical means, a great « negative result » : formal (equational)
determination does not imply mathematical predictability. The result is negative – such is how Poincaré calls it : one cannot predict, or calculate, the evolution of a planetary system, even if it is formed by only two
planets and a sun, despite having a dynamics which is still perfectly determined by the Newton-Laplace equations. This is the origin of what will later be called « deterministic chaos » : systems where determination is
compatible with, if not underlying, random evolutions. It was a true revolution, which destabilized a science that positively expected the « great equation » of knowledge of the world, as a potentially complete tool for
scientific prediction.
Poincaré's result is, of course, important in itself, but its role will be better understood in time, when the techniques of the proof (of the theorem of the three bodies) will have spurred a new field of knowledge, the geometry of dynamical systems, of which the applications are quite important within contemporary science. It is not a coincidence if it took 70 years for these techniques to be developed (with the exception of the works by Hadamard and of a few isolated Russian scientists, it took up till the 50s and 70s with the Kolmogorov-Arnold-Moser theorem and the works of Ruelle) : a negative result destabilizes positive expectations and does not necessarily indicate where to go from there. « The new methods » were there in Poincaré's writings, it is true, but the negation of an expectation does not immediately fall within the expected positivity of science : the delay for applications seems to demonstrate that it is necessary to first assimilate (philosophically) the critical standpoint and the boundaries which a negative result imposes upon existing knowledge in order for a new construction of objectivity to follow.
On the other hand, the critical viewpoint precedes Gödel's incompleteness theorem. Gödel did not believe in Hilbert's hypothesis of completeness and decidability of sufficiently expressive formal theories. He thus explored a syntactical variant (through arithmetic) of the liar's paradox, demonstrably equivalent to the coherence of arithmetic : both statements are unprovable, if arithmetic is consistent. The impact of this is also huge. On the one hand, the enunciation of the theorem, as in the case of Poincaré, surprises and fascinates, on the other, the techniques of proof open up at least one new field : the theory of computability. More precisely, the notion of Gödelization, the class of recursive functions, defined within the proof, the reflexivity of the meta-theory within the (arithmetic) theory will be at the center of analyses of deduction and effective computations, from the 30s onwards. The equivalence of the approaches of formal calculi (and deductions), the works of Church, Turing, Kleene, etc., will spur, by means of the methods of proof of Gödel's negative theorem (one cannot decide…), a new discipline, the science of computability and of computers, which is in the process of changing the world : in order to say that one cannot decide, it was necessary to specify what is meant by « effective procedure of calculus » (and of decision).
In both cases, a theorem which says « no » imposes boundaries upon a form of scientific knowledge (Laplacian determination, formal deduction) and, at the same time, highlights the techniques for progress (quantitative or geometrical methods) or for a better construction of the field thus delimited (effective calculus). Because there actually is a difference : Poincaré's New Methods already contained, we were saying, the seeds of the geometry of dynamical systems, whereas Gödel's theorem is « only » a (diagonal) theorem of undecidability (see [Longo, 2011]), saying nothing about the possible proof of the undecidable statement (actually, on the coherence of arithmetic). We will have to wait for Gentzen (-induction, ‘36),
Gödel's 1958 article, or even Girard's type of normalization in the 70s in order to have and closely analyze the proofs of coherence. Both theorems therefore set boundaries, but one of them also suggests what can be done « beyond », while the other constructs, rigorously, all which is doable « from within » these boundaries.
Let's now recall another immense negative « result » for science. It is not a mathematical theorem, but a change of theoretical viewpoint, following physical experiments. The result consists in the theoretical interpretation of these experiments and the proposition for a radical turnabout in the construction of physical objectivity. In microphysics, it is impossible to determine, at the same time, and with as great a precision as one would want, the position and momentum of a particle. Plank, Bohr, Heisenberg… impose a change of viewpoint, thus erecting boundaries that are insurmountable for classical physics : the atom is not a little planetary system, upon which to apply the classical methods. The classical « field » ends where begins a new analysis based upon the essential indetermination and the correlations of probabilities instead of classical field and causality… leading to the non-locality, the non-separability of quantum phenomena. It is not an issue of the unpredictability of a deterministic system, as for Poincaré, nor of the incompleteness of formal theories (Gödel), but the intrinsic indetermination of a complete system for microphysics.

This breaking in principles shatters the apparent unity of physics, erects a wall between modes of intelligibility within the very field of physics itself : one physical science, centered upon trajectories, from Aristotle to Galileo, to Newton and to Einstein, could tell us very little about a microphysics where quanta do not as such have trajectories across space-time. Once this new field of knowledge constituted, the issue of the unity of science was properly stated (that of physics, at least), this time, in terms of unification, rather than in terms of reduction of the quantum to the relativistic field (or viceversa). One hundred years later, the progress is remarkable, but unification is still far from being achieved.

In this case, the critical approach is formed at the same time as the analysis of the experiments but, without the total freedom of « hermeneutical » thinking enabling to first establish limits to the era's perspective,
the new construction would be unthinkable ; a construction, marked at the onset by a very limited recourse to mathematics in comparison to classical physics. The acritical subscription to the technicity existing in science
has its predecessor in the splendid geometry of planetary epicycles, spread across whole volumes that are now completely forgotten.

From the mathematical standpoint, we believe that a great negative theorem (even several theorems) or an epistemic turnaround comparable to that of quantum mechanics is needed, in biology as in cognitive sciences. If we want to see the establishment of a new theoretical field if possible with its own mathematical autonomy (as is the case for dynamics and quantum physics), but even if we want to specify and refine the existing methods (as with Gödel), it is also necessary to target, by means of a critical standpoint, the limits of these methods.

Let's try then to ask : what are the cognitive functions or cerebral (cellular) structures which are demonstrably ungraspable by formal neural networks and statistical physics ? Which boundary is to be set for the analyses of living phenomena in terms of physical criticality (dynamic and thermodynamic) ? Is there, in phylogenesis, an indetermination or a randomness which is specific to living phenomena and comparable, yet different, to indetermination in microphysics (analyses in terms of physical dynamics provide us at best with a deterministic unpredictability) ? Which biological phenomenon is non-measurable, in terms of any measure of physical complexity ? How can one go beyond the incompleteness of the computational theories of DNA,
conceived as a complete (formal-symbolic) « program » for the phenotype (do you remember Hibert's completeness conjecture ?), analyzed in terms of theories which add regulating gene-program over regulating gene-program, not unlike what was done back in the age of epicycles ?

In [Bailly, Longo, 2011], we have attempted to provide a few venues, although certainly in an incomplete and preliminary manner : the notion of extended critical transition differentiates the analysis of living phenomena from the current physical theory of criticality, including for the conceptualization of the temporality dimension specific to biology. Indetermination has been described in terms of changes in the very space of the evolutions, an approach which is foreign to classical physical determination and even to the mathematics of quantum physics. The notion of contingent finality has extended and enriched the usual representations of physical causality, for which the very notion of finality is actually « beyond the subject » ; extended criticality is, in principle, of an infinite physical complexity. Our idea is that well beyond our little attempts, and based upon the theoretical originality of Darwinian evolution, only a conceptual or mathematical autonomy of biological theoretizing could enable the quest for a scientific unity to be constructed in relation to physical and physicochemical theories.

2. Changing frames

Many other results of a « negative nature » may be quoted in science. Let's just mention the various thermodynamic limits (no perpetual movement, no way to reach absolute 0...) ; A. Kastler, in Cette étrange matière (Stock, 1976), calls them « Actes de renoncement » and refers also to the quantum limits recalled above. Similarly, computer science witnessed a flourishing of negative results : computational and complexity limits have been shaping the discipline (it is theoretically/practicall y impossible to compute this or that... see D. Harel, Computers Ltd. : What They Really Can't Do, Oxford U.P., 2003). Yet, the results we focused on above seem to have provided an epistemological severance as they operated a particularly radical
separation with the previous ways of thinking : in computer science, for example, the unfeasibility or limiting complexity results move somewhat along the lines of Gödel's (or Turing's undecidability) theorems, even though the technique and the frame may differ. In short, the results we mentioned above caused a philosophical shock in science and, in particular as for Poincaré's theorem and quantum indetermination, a robust resistance to be « digested » or accepted. In the first case, this was indirectly manifested by the major delay in developing further results along the same lines ; in the second, by a persisting minority still now proposing « hidden variables » approaches of deterministic flavor, in spite of large empirical evidence (since
Aspect's work on Bell's inequalities in 1980, see [Bailly, Longo, 2011]).

In the case of science of the living and cognition, it is possible that the philosophical « resistance » to the required changes in viewpoint, or limiting results, would be even stronger than that which has emerged with
regard to unpredictable dynamics, to formal incompleteness and to quantum indetermination : we ourselves constitute living phenomena and, being monists, we want to be within this world (physical). But the unity of
science is a difficult thing to achieve and is not attained by transversally forcing the same methods upon different forms of knowledge, as does the attempt to transfer the little planetary system model to the atom : it
doesn't work. First, we would rather need to establish the (causal ?) « field » of living phenomena and the boundaries (mathematical boundaries if possible) which define its theoretical autonomy in order to then reach a new synthesis, a unification of « fields » which would probably displace all these boundaries in order to grasp the unicity of the material world (our presumption). Of course, to start off with the available mathematical tools
is a good method that is employed by numerous highly valued colleagues. But without the talent for taking some distance in order to enable critical thinking, as demonstrated by Poincaré and by quantum physicists, it
will be difficult to progress much.

The resistance may not only be of a philosophical nature, but may also stem from this « culture of results » more than « of knowledge », a culture which increasingly claims to completely direct science. The accountability obligation, increasingly required by the managers who rule the scientific financing, is of an industrial type and imposes its paradigms : one must beforehand clearly set out the projected methods, the expected results (the « deliverables » ...) in order to be able, at the end of the project, to compare them with the results effectively obtained.

Scientific objectivity mostly progresses by means of « intelligibility » which may or may not be derived from « positive » results. Fundamental research may only be evaluated (and severely so, as we said) a posteriori and will be fundamental if it has no foreknowledge of its methods and results. It is without doubt that applications need a scientific and financial effort : oriented, industrial research lacks greatly in Europe, but definitely not because of an excess of fundamental research. All the while developing applicative science, it is necessary to maintain a wide platform for perfectly, absolutely independent thought with regard to any conceivable application. What would a corporate director say if the result he got from the
calculation of the evolution of three bodies within a certain physical field was negative and only to yield repercussions 70 years later ? And what if he had asked, as accountable objective, for the exact determination of the position and moment of certain atomic particles ? Or if Gödel had been asked to build a digital machine to demonstrate all theorems of combinatorial arithmetic ? The person funding that sort of work would not have been happy with Poincaré, Heisenberg or Gödel…what would he/she tell the shareholders the following year ? Would he/she report a total failure regarding a project of calculus ?

Today, and more so than ever, in order to get financing, it is better to propose a computational model for everything, particularly in the fields of biology and cognition, if possible by means of well established
techniques, independently of the target discipline. Proposals to calculate, to decide or to determine are certainly at the center of scientific activity and highly appreciated (and rightly so). But it would be better, as
history teaches us, if, in parallel, we try (and allow) to construct a critical view, with its own conceptual frameworks and negative results, that is, with the delimitations that create new fields. And this also requires a
hermeneutic of scientific knowledge, as was the case for Galilean physics, for Relativity and for Quantum Physics.

An ontological monism, we have often repeated, does not imply a monism of theoretical methods, but a scientific unity to be constructed. As for within the field of physics, it is possible to aim for unification, once set
the relative boundaries, once differentiated the theories, if necessary by means of negative results (even the mathematics of Relativity started off by means of a differentiation of the geometry of the space of senses from
that of astrophysics, by a negation : Riemannian geometry is not stable by homotheties – this is the independence from Euclid's V^th axiom : one cannot transfer any Euclidian property at any space scale).

It is therefore necessary to emphasize the role of a critical mode of thinking which does not necessarily aim for a positive result stated beforehand (to calculate this or that…) nor for a result provided by pre-explained methods (for the project to be accountable, by means of explicit and direct links between promises and results). And it is necessary to maintain an intangible space for a science which may also produce « non-results » (results that say « Sorry, but it is not possible to calculate, decide, determine… transfer such or such method, theorem… »). These results always present a high level of technical difficulty – and of originality, but even a controversial idea can be more interesting than a result which is heroic – and predictable.

Accountability forces us into « normal science » Kuhn would say, a science which is, sometimes, rich in immediate applications. But in the sciences of life and cognition, even more so than in the others, we need a new theoretical and mathematical view, which would be specific to them. And this, one century and a half after the coming of the Theory of Evolution, which constituted in its time a revolutionary way of seeing living phenomena, as the only theory truly developed within biology itself and comparable to the great physical theories (relativistic, dynamic, quantum). Thoroughly defining the relative boundaries of the other sciences, physical and mathematical, which claim to be transferable to living phenomena and
its cognitive activities, could help to propose it, negatively, and by this help to establish epistemological divisions.

3. Industrially-Oriented Projects ?

Europe strongly needs a major commitment in applied and industrial research. The comparisons with American research flourish everyday in the press. As a matter of fact, many research centers of the present or of the past (IBM York Town Heights, Xerox Park, ATT Bell Labs, and many others) provided both the applied and fundamental research grounds for major industrial advances in the USA. Industrial investments in Europe cannot even vaguely compare to this effort that makes the difference in today's technological gap, which, in spite of some areas of industrial excellence (mobile telephones, aerospace), remains or even widens. The question is whether public commitment in Europe, in particular the financial support by the European Commission, can replace this private investment in knowledge. Of course, public funding may help to stimulate industrial ones, but, if full-absorbing, the price to be paid is a decline in fundamental research ; the medium or long-term disadvantages will be much greater than the immediate fallout from the current push towards industrially-orienting everything in research. But we will also stress below an immediate negative consequence : a reduced sensitivity to critical insights.

Since more than a decade, in National and European policies, in particular since Edith Cresson's turn on « technological education », the politically correct, as for scientific research, must always refer to « Industrially-Oriented or Motivated » projects ; as currently presented, the problems of the Information Society, for example, seem only to be an issue of industrial competitiveness. And this should include even interdisciplinary projects such as research on « Human Cognition », whose aim, instead, is the invention of new theoretical approaches ranging from the analysis of human symbolic culture, as an historical (a pre-historical) issue, to the mathematics of brain activity, not excluding neurobiology and psychophysics. In particular, this is where we need an epistemological turn and, possibly, « negative results », as stressed above.

The usual and general answer to the need for autonomous support and commitment in fundamental investigations refers today to the impossibility to split fundamental and applied research, an old fashion distinction, many explain, as today the two frameworks for research are deeply entangled.

It is a fact that advanced applied and industrial research increasingly require a fundamental insight, given that the technological depth and the manifolded branching of the several applications directly raise fundamental questions. However, we argue that there should always exist, if we want further advances, a research area where the criteria for novelty should be the following :

« Is there a foreseeable application for this project ? No, not a single one ! »

This may give some chances to the theoretical originality of a proposal, a guarantee that it may produce radically new applications in the future : exactly the ones that we cannot see now.

We hinted above to some results whose actual meaning was, when they were proved : « No way to use this theory or results for an application in the intended frames (such as computing or constructively deciding, as
required by the mainstream conjecture at the time) ».

So, besides the major role that fundamental research may have when it is developed in direct connection to applied research, we must reserve an area where the criteria for financial or any other type of support is the
exact opposite of the chances of resulting in a « foreseeable industrial product » : if we want new technologies in the future, as unexpected as the ones that Computability Theory or Quantum Mechanics gave us, we would
now need an original theoretizing, far removed from any expected applications. Better if they are grounded on several « noes », possibly based on « critical » insights. And this also for one more reason.

As a matter of fact, fundamental research must be largely based on critical or alternative insights into problems. As suggested by the case analysis above, the major advances were due to scientists who thought : « no, it doesn't work that way » (the way pursued by the majority, at the time). This critical attitude, when it is in the heads of extraordinary (and rare) scientific personalities, may open entirely new ways. But it may also provide an immediate, even industrial, fallout, in the more ordinary cases, as we shall argue.

A student in engineering, say, also attending courses by teachers who are devoted to fundamental research, may be guided towards the acquisition of a critical attitude : in principle, those teachers must have a scientific habit according to which challenging the established conceptual frameworks is the priority. Reversing or at least revising the foundation of some scientific domain is they key attitude for any reasonably good theoretician. Then, that student, when he/she will later work in an industrial environment, may have assimilated the possibility of a critical attitude from someone used to analyze or even « shake the foundation » of some way of thinking. He/she may have acquired the talent to think of a radically different solution or of an original approach also regarding technical problems. In short, the talent to « take a step to the side », look at the roots of a form of knowledge or even a specific applied problem, and to see from a distance, may develop on the grounds of a previous indirect training for facing fundamental problems. Thus, by means of teaching and research training, fundamental research may have an immediate impact on applications, by forming to « critical attitudes » in tackling also technical issues in an industrial context. It is not a coincidence that the creators of the personal computer (Apple) and of Google came out from leading Californian universities and were doctoral students of top theoreticians in Computer Science : they had learned to see things
differently or globally, possibly removed from local technicalities (besides being able to solve technical problems, of course).

A research activity that entirely starts with a well established industrial objective, within an accountable project, as clearly explained in the European application forms (tools, methods and expected results must be
clearly identified in the proposal – first year, second year, third year expected results… - so that, in the end, they can be compared to the actual achievements – will be « accountable »), excludes by principle (negative)
results such as those which we mentioned above. Their novelty consisted exactly in inventing unexpected tools, new methods, in obtaining unforeseeable results. Of course, researchers must be accountable for the
money they receive, but in fundamental work the « accounting » must be very flexible and based on (very) severe a priori judgments on the quality of the proponents and, a posteriori, of the results obtained, whatever
they are. If we exclude this kind of research activity from support, the first fallout that will be immediately impacted is the development, by teaching researchers, of the innovative critical attitude, which is mostly
specific to fundamental investigations and may indirectly lead to innovation also in industrial projects. It is basically wrong to impose that such a frontier project, as one involving human Cognition, Theoretical Biology, Mathematics and Computer Science, be excluded from allowing the search for novel theories, possibly disconnected from any chance of immediate industrial fallout, possibly a consequence of results that set limits to current theoretical tools and methods, possibly « negative results », thus, far removed from foreseeable « industrially-oriented applications ».

In conclusion, recall also that Darwin's Evolution and Relativity Theory (but more examples could be given) were and are perfectly useless theories. An « historical » one, the first, incapable of prediction, by principle, an
analysis of planets' and stars' dynamics the second (who cares ?). These theories, in the following decades, radically changed the ways to analyze the living and the inert state of matter, respectively, with immense
indirect fall-outs.

References :

It would be impossible to insert here the immense literature on the topics hinted. Some references may be found in the following papers (downloadable from http://www.di.ens.fr/users/longo/ ), which present some « negative results » in Cognition, Biology and Logic :

Giuseppe Longo. Laplace, Turing and the « imitation game » impossible geometry : randomness, determinism and programs in Turing's test. In Epstein, R., Roberts, G., & Beber, G. (Eds.). The Turing Test Sourcebook. Dordrecht, The Netherlands : Kluwer, 2007.

Giuseppe Longo and P.-E. Tendero. The differential method and the causal incompleteness of Programming Theory in Molecular Biology. In Foundations of Science, 12:337–366, 2007.

Giuseppe Longo. Interfaces de l'incomplétude, pour « Les Mathématiques », Editions du CNRS, 2011, (Originale in italiano per « La Matematica », vol. 4, Einaudi, 2010).

Giuseppe Longo. Incomputability in Physics and Biology. Invited Lecture, Proceedings of Computability in Europe, Azores, Pt, June 30 - July 4, LNCS 6158, Springer, 2010 (complete version submitted to MSCS, special issue on Computability in Physics).

« Positive » proposals and more references may be found in :

Francis Bailly, Giuseppe Longo. Mathematics and Natural Sciences : the Physical Singularity of Life, 333 pages, Imperial College Press / World Sci., London, 2011. (Traduction et révision du livre pour Hermann, Paris, 2006.)

Linear Logic and Theoretical Computer Science in Italy : results in Optimal Reduction and Implicit Computational Complexity

Simona Ronchi Della Rocca — 2012-11-21T08:49:29Z

Dedicated to Vito Michele Abrusci in occasion of his 60th birthday

Introduction

Linear Logic LL was introduced by Girard in 1986 [Gir87] as a refinement of classical and intuitionistic logic, in particular characterized by the introduction of new connectives (exponentials) which give a logical status to the operations of erasing and copying (corresponding to the structural rules of classical and intuitionistic sequent calculi). In other words, with Linear Logic, logical formulae really become physical resources, with a lot of almost immediate applications to Computer Science, spanning from the representation of operational aspects of programming languages and their evaluation strategies, to a dynamic definition of the notion of computational complexity, from linearity analysis and refined type synthesis for sequential languages, to the semantics of sequential and concurrent programming languages. Since its birth, Linear Logic has taken increasing importance in the field of logic in computer science ; it carried a set of completely original concepts (phase semantics, proof nets, coherent spaces,
geometry of interaction), rediscovered and put to use previous tools (*-autonomous categories, game semantics), and deeply renewed the field. So, Linear Logic is not only an elegant and powerful technical theory but, first of all, a source of methodological guidelines. We learned from the definition of LL that some logical connectives, which were considered atomic, are composite. In fact the essential property of LL is the decomposition of the intuitionistic implication in
. A linear implication represents a transformation process, that, taken as input one object belonging to ,
gives as output one object belonging to B. The modality ! denotes a different process, which gives explicit evidence to intensional
properties of the object to be transformed. These properties describe the potentiality of the object to be either duplicated or deleted during the transformation. So LL supports primitive operators for duplication and erasure, which are only present at a meta-level in the standard approach. Such operators can be used to control how the proofs are built
and executed (i.e., normalized). Through the well known connection between logical proofs and functional languages, formalized in the so-called Curry-Howard isomorphism, LL allows to define a computable function as composition of a duplication/erasure operation followed by a linear function. Moreover LL introduced a new approach to proof theory, through the notion of proof-net. Proof-nets are proofs (programs, via Curry-Howard correspondence) characterized by pure geometrical properties (the correctness criteria). They are an essential tool for refining the logical system, for studying its dynamic aspects (proofs normalization) and for characterizing fragments of the system with particular computational properties (like the polarized linear logic or the low complexity systems). Particular notations for proof-nets have been studied, which allow to define normalization procedures based on local operations, making incremental duplications. An interesting application of these properties is the design of interpreters for functional languages using optimal reduction strategies. A mathematical semantics of the cut-elimination in LL has been given through the Geometry of Interaction. LL gave new tools for studying the semantics of computations : coherence spaces, functional domains more refined than the previous Scott domains for studying the denotational semantics, and the game semantics, which is a synthesis of the two classical approaches to semantics, the operational and the denotational one. Game semantics can be fruitfully used for building fully abstract models.
The Light Linear Logic (LLL) [Gir98] is a variant of LL, due to Girard, which further decomposes the duplication operation, so allowing to control the normalization time. It has been a great sort of inspiration for computer scientists, supplying them a technique for modelling programming languages with an explicit resources control, both in space and time.
In Italy LL and its variants has been studied extensively, by a group of researchers from the universities of Torino, Bologna, Roma 3, Roma La Sapienza, Verona and Udine. The investigation about LL started in 1987 inside the EU-project « Typed Lambda Calculus », leaded by Girard, followed by the EU-projet « Linear Logic » leaded by Regnier. Then the research activities of the group continued at a local level, through the PRIN projects « Linear Logic » (leaded by Asperti) and « PROTOCOLLO » (from PROofs TO COmputations through Linear LOgic), « FOLLIA » (FOndazioni Logiche di LInguaggi Astratti di Computazione) and « CONCERTO » (CONtrol and CERTification Of Resources Usage), leaded by myself.
The scientists collaborating to this projects have either mathematical or philosophical or computer science background. This interdisciplinary interaction has been very fruitful, since it allowed to look at the same problems from different points of view. The common interest was a logical approach to computer science, based on the principle of LL.
Here I want to recall just the results in two research lines, the Optimal Reduction and the Implicit Computational Complexity, that are particularly interesting since their possible applications.
I want to point out that this is not a technical paper. The contributions in these two fields have been impressive, both in number and quality, so it would be impossible to give a precise description of them. The bibliography will help the reader interested to some particular technical point.

1. Some basic concepts

Most of the results that will be showed in the next sections will be based on the use of -calculus, as paradigm of computation. I assume the reader has some acquaintance with it, but I will recall some basic notions about it, just to establish a common vocabulary. More about -calculus can be find in [Bar84], whose notations I will use in the following.
The set of terms of -calculus is generated by the following grammar :

where ranges over an enumerable set of variables, and is a binder for variables. A term of the shape is
called abstraction, while a term of the shape is called application. A context is a term with an occurrence of a special constant, the hole, denoted by , and denotes the term resulting from filling the hole with a term ; notice that filling the hole is not a substitution, since free variables of can become bound in .
The reduction rule (called -rule) is the following :

where denotes the replacement of every free occurrence of by the term in , may be preceeded by a renaming of bounded variables for avoiding variables clashes. is called redex, and it represents the application of the function to the argument , and is its reduct, representing in its turn the replacement of the formal parameter by the actual parameter .
The -reduction is the contextual closure of the -rule, and I will abuse the notation writing by denoting that is obtained from by reducing a -redex in it. A term is in normal form if it has no occurrences of redexes, it is normalizing if there is a sequence of -reductions starting from it reaching a normal form, while it is strongly normalizing if every sequence of -reductions starting from it reaches a normal form. The -reduction is confluent, so if a term is normalizing then its normal form is unique.
A term can contain more than one redex, and different choices of the redex to be reduced give rise to different strategies. Formally a strategy is a function from terms to redexes, choosing at every step the redex to be reduced. A strategy is weak if it never chooses a redex under a scope of a -abstraction ; so a term of the shape is a weak normal form. Equivalently the weak reduction is the closure of the -rule under applicative contexts, i.e., contexts of the shape or .

Figure 1 : The MIL type assignment system.

The -calculus has been used as paradigmatic language for the call-by-name functional computation. In fact, in a redex the argument is passed to the function without being previously evaluated. A call-by-value version of -calculus has been designed by Plotkin [Plo75], starting
from the same syntax, but restricting the -rule, which now becomes a conditional rule :

The set is called the set of values.
The so-called Curry-Howard isomorphism supplies an interesting connection between -calculus and the Minimal Intuitionistic Logic (MIL) in natural deduction style. Namely formulae of MIL can be assigned as types to terms, in such a way that terms that can be typed share the good properties of the logic, in particular normalization. In fact the isomorphism connects terms to proofs, -reduction to logical normalization, and normal proofs to terms in normal form. The rules of the type assignment system are shown in Fig.2. The technique has been extended to other logics, certainly in a less natural way. In fact, the three logical rules of MIL naturally correspond to the formation rules of the grammar of the -calculus, while different logics could use constructs that are not immediately connected to the structure of terms, as for example the modality of LL.

2. Optimal reduction

The functional languages present, with respect to the imperative ones, the advantage that their properties can be statically checked in an easier way by means of formal techniques. But their use is very limited. One of the reasons is that the available implementations of functional languages are not more efficient than the preexisting imperative ones, being the machine architecture essentially imperative. The problem of finding an optimal implementation of functional languages has been studied by Lévy in his thesis [L78]. He used as paradigmatic functional language the -calculus, as evaluation step the -reduction, and as result of the evaluation of a term its normal form, if it exists. Lévy proved that there is no recursive strategy that is optimal. Fixed a reduction strategy
there always exists a lambda term for which during the normalization a redex will be duplicated forcing to do at least one beta-step more than the minimal possible amount. Lévy defined an equivalence relation between the different copies of a redex produced during a reduction and proved that, given a redex, it is possible to calculate its equivalence class, i.e. the set of its copies (its family). The strategy reducing in parallel all the redexes of the same family performs a minimal number of beta-steps in the normalization of a lambda term. So the result proved by Lévy is that there is not a sequential optimal strategy, but there is a parallel optimal strategy,
consisting in reducing simultaneously all the redexes belonging to the same family. But Lévy was unable to design an effective algorithm maintaining dynamically the information about the families during the reduction. Much later, in 1990, Lamping [Lam90] designed a reduction algorithm based
on a graph representation of terms, implementing the Lévy's parallel reduction. Roughly speaking, terms are first transformed into graphs, containing particular nodes, called sharing nodes, taking care of the families management. The graph is reduced using local rewriting rules, and then the result is read back into a term.
LL supplied a theoretical justification of the Lamping's algorithm. In fact, Gonthier, Abadi and Lévy [GAL92] reformulated Lampings algorithm inside Geometry of Interaction by means of a generalization of Lafonts Interaction Nets [Laf95], so providing a proof of its correctness.
The italian contribution in the field of optimal reduction is twofold, both on the theoretical and the applicative side. Asperti gave a further reformulation of the Lamping's algorithm and proved its correcteness through a categorical semantics of LL [Asp95]. He also supplied a deep investigation on the complexity of the -reduction [Asp96]. All the different versions of the algorithm cited before share a common part, the abstract algorithm, whose job is to perform the shared -rule and the duplications of terms, and differ in the bookkeping or oracle part, which takes care of mantaining the information about the families. So a complexity measure needs to consider all these different components. In [AM98] it has been proved that, while the number of parallel -reduction steps performed by the abstract algorithm is optimal, in the sense of Lévy, the duplication and the bookkeeping job can be exponentially bigger. A further refinement of this result has been given in [Cop02] and [ACM04], where it is proved
that yet the mere duplication job is not elementary. Such apparently negative results do not invalidate the notion of Levy's optimality, but
they say that the number of (parallel) -steps is not a cost model for the -calculus. A positive condition for increasing the performance of the Lamping's algorithm has been given by Coppola and Martini in [CM06] : they proved that, if a term can be typed by Elementary Linear Logic (ELL) formulae, then it can be -reduced by the abstract Lamping algorithm, so skipping the bookkeeping job. This check can be effectively performed, since Coppola and myself proved that EAL (the affine version of ELL, sharing the same properties) type inference for -calculus is decidable [CRDR03,CRDR05]. The proof is constructive, indeed a type inference algorithm is supplied, whose complexity is polynomial in the size of the term. The decidability of the logic EAL was already proved in [DLM04]. Note that the two problems, the decidability of a logic and the decidability of the corresponding type assignment (in the sense of Curry-Howard), are independent and in some sense ortogonal. A recent reflexion on the relation between light logics and optimal reduction can be found in [BCDL07].
All these investigations opened a new problem : what is a cost model for the -calculus ? Dal Lago and Martini make a proposal, using the call-by-value -calculus equipped with a weak strategy. The proof that this strategy realizes a cost model for the call-by-value -calculus is given in two ways, referring to two different models of computation. In [DLM08] they proved that Turing machines and the call-by-value lambda-calculus can simulate each other within a polynomial time overhead, using the weak evalution strategy. In particular, the cost of a single beta reduction is proportional to the difference between the size of the redex and the size of the reduct. Moreover, in [DLM09] they proved that, always with respect to the same reduction strategy, orthogonal constructor term rewrite systems and the call-by-value -calculus can simulate each other with a linear overhead. Orthogonal constructor term rewrite systems and lambda-calculus are thus both polynomially related to Turing machines, taking as notion of cost their natural parameters.
On the applicative side, an implementation of Lamping's algorithm has been given through the reduction machine [BOHM] (Bologna Optimal Higher Order Machine)[AG9898][AGN96], whose implementation is based on the sharing graph technique. This technique is deeply described by Guerrini in [Gue01][Gue05], and it is based on the calculus of sharing graphs, whose properties have been extensively studied in [GMM03,GMM01].
Moreover a parallel implementation of the optimal reduction has been given by Pedicini and others by the PELCR machine (Parallel Enviroment for the Optimal Lambda Calculus Reduction) [CPQ06, PQ00]. PELCR interprets lambda terms, extended with constants a la PCF, in a multiprocessor environment, where communication overhead is reduced by aggregating messages, and the load on processors is dynamically balanced by means
of a fair policy, while the piggyback technique allows to decrease the amount of processors loads information.

3. Implicit Computational Complexity

The widespread diffusion of distributed computer systems has increased the need for program correctness and certification. In particular, guaranteeing and certifying runtime properties is of central importance for computer
networks constituted of small and mobile devices with bounded computational resources that receive programs to be executed from the network itself. In particular time and space complexity are essential aspects for a program, since the termination after a too big amount of time can be as problematic as the non termination, and the lack of space can block the execution. The classical Complexity Theory allows to define and compute the complexity of programs, both in space and in time, but it does not supply techniques for build programs with bounded complexity, or to verify at run time the complexity of their execution. The Implicit Computational Complexity (ICC) aims at studying the computational complexity of programs without referring to a particular machine model, external measuring conditions or particular interpretations, but only by considering
language restrictions or logical/computational principles entailing complexity
properties. So as side effect it offers techniques for building
programming languages with bounded complexity as far as systems suitable for statical verification of program complexity.
The research in Linear Logic met ICC thanks to the observation that
the control of duplications in the proof-nets can be used for limiting the complexity of their reduction. Since only modal formulae can be duplicated, this control can be done by limiting the use of the modality, or by introducing new modalities. The result has been the design of the so called Lights Logics, which are variations of LL where the cut-elimination procedure is bounded in time. The ancestor of these logics is the Bounded Linear Logic (BLL) [GSS92], which is a version of LL in which the cut elimination is polynomial in the size of the proof, and this bound is obtained
by explicitly decorating the !-modality by polynomials. A further refinement is Light Linear Logic (LLL) [Gir98], where the polynomial bound is no more explicit, but it is obtained by means of a stratification realized through a further modality, denoted by . An ortogonal approach to model polynomiality is the Soft Linear Logic (SLL) by Lafont [Laf04],
where the bound is obtained by changing the rule for the introduction of the !-modality, in such a way that the injection does not hold anymore. All these logics are correct and complete with respect to PTIME, in the sense that every proof can be normalized in polynomial time with respect to its size, and moreover every polytime function can be computed by a proof, according to a suitable coding of numerals and functions. A further characterization is that of the class of elementary functions,
through the Elementary Linear Logic (ELL), introduced by Girard [Gir98] and further studied, in its affine version (EAL) by Danos and Joinet [DJ03]. Here the elementary bound is obtained by making functorial the introduction of the !-modality.
The italian contribution to ICC can be organized according with two lines : a logical line, in which the principles of the Light Logics are investigated, and the metodological one, where these principles are applied to the design of languages with bounded complexity, using a Curry-Howard style approach. I will illustrate now briefly the logical contribution, and after I will speak in a more detailed way about the metodological one, which is more directly related to computer science and applications.
Variations and extensions of light logics have been proposed. Roversi, in [Rov99], gave an extended proof of the completeness of LL. Asperti and Roversi designed an intuitionistic version of LAL (the affine version of LLL), and proved its correctness and completeness with respect to PTIME [AR02]. In [DLH09] Dal Lago and Hofmann proposed a generalization of BLL, where it is possible to quantify over resource variables, so making the logic more expressive while maintaining the
polynomial bound. In [DLRV09], a variant of LL has been introduced which is correct and complete with respect to primitive recursive time, thanks to the introduction of a modal impredicativity. A characterization of the finer complexity classes defined by Blum, Shub and Smale has been made in [BP06]. In [DLB06] Baillot and Dal Lago considered LAL with both fixpoints of formulae and second-order quantifiers and analyze the properties of polytime soundness and polytime completeness for various fragments of this system.
Proof-theoretic studies on the mechanisms allowing to limit the normalization of light logics have been performed. Guerrini, Masini and Martini, in [GMM98] gave an a uniform formal system representing
LL, ELL and LLL, based on an approach using a two dimensional generalization of the notion of sequent, previously introduced by Masini in [Mas92, Mas93] for studying in general the notion of modality, and applied to
LLin [MM93]. A different approach to a uniform presentation of light logics has been given in [Maz06], where a decomposition of the modality of LL has been studied, which allows to characterize LLL, ELL and SLL as subsystems of LL. Further investigations along this line have been made in [BM10,GRV09]. The stratification of LLL has been extended by Roversi and Vercelli in [RV09] : they introduced a multimodal stratified framework called MS, which generates stratified proof-nets whose normalization preserves stratification, and gave a sufficient condition for
determining when a subsystem is strongly polynomial time sound. A purely syntactical criterion for checking the polytime soundness of class of proof-nets properly includind the proof-nets of LAL has been given in [RV10].
Flexibility of the structural proof-theoretic approach to implicit
computational complexity, as described here above, is counterbalanced by
a somewhat surprisingly rigidity. Indeed, despite many efforts, no
satisfactory direct relation exists between light logics and any sub-recursive system designed after other principles, like, for example, recursion theory
[BC92]. Dal Lago, Martini and Roversi [DLMR04] made a step forward in this direction, introducing HOLRR, a purely linear lambda-calculus, extended with constants and a higher-order recursor R, where Leivant's Ramified recursion [Lei94] embeds directly.
A further problem is to give a semantics justification of the light logics. In fact the different semantics of LL, either operational (based on the Geometry of Interaction) or denotational (based on coherence spaces) do not work anymore for light logics, which need a quantitative semantic interpretation. A general discussion about the notion of quantitative semantics can be found in [DLH05]. The notion of context semantics, which has been first applied to LL and its subsystems by Dal Lago [DL09], has been proved to be a powerful tool. Roughly speaking, the context semantics of a proof-net is a set of paths, describing all its possible computations, that gives a quantitative information on the dynamic of normalization. Namely a notion of weight of the proof-net can be defined in this setting,
which supplies an upperbound on the time needed to normalize it. The context semantics has been used for giving a semantic proof of polytime soundness of LAL [DLH08]. A different approach has been used in [TDFL06], where Tortora De Falco and Laurent used an interactive notion to the semantics of proof-nets, based on the notion of obsessional cliques ;
they applied this technique, introduced in [TdF00, TdF01] to both ELL and SLL. A proof of the elementary bound of ELL based on the Geometry of Interaction is in [BP01]. A semantic account of the execution time, i.e., number of cut-elimination steps, in the untyped proof-nets is given in [DCPTdF].
Let me now illustrate the metodological approach. The basic idea is to use (variants of) the -calculus as paradigm of functional
programming languages and types as properties of programs. So extending the Curry-Howard approach to Light Logics, terms can be decorated with formulae inheriting the good properties of the logic we start from, in particular the bound on normalization. But the good properties of proofs are
not easily inherited by -terms. In particular, there is a mismatch between -reduction in the -calculus and cut-elimination in logical systems, which makes it difficult both getting the subject reduction property and inheriting the complexity properties from the logic.
Indeed, some logical rules are not remembered in terms, and constructs that are irreducible in proofs become -redexes, so loosing
the complexity bound on the number of -reductions. Baillot and Terui [TB04] studied the problem in the context of LAL, and designed a type assignment system for -calculus which characterizes PTIME. Gaboardi and myself designed a system with the same property, but based on SLL [GRDR07, GRDR09]. The result is that, if a term can be typed in one of these two systems, then it is normalizing, and moreover every sequence of -reductions normalizing it performs a number of steps which is polynomial in the size of the term itself. Moreover both the type systems are FPTIME complete, i.e., every polynomial Turing machine can be encoded by a typable term. So the type assignment system can be used for checking the time complexity of a term. Unfortunately the type inference for such systems is undecidable. But, in [GR09], we proved that the restricted type inference without universal quantification is decidable. Both the systems in [TB04] and [GRDR07] use a proper subsets of the logical formulae, where the modality is not allowed in the right part of the
implication and under the universal quantifier. This restriction solves the mismatch between -reduction and the normalization in the logic.
Coppola, Dal Lago and myself studied a different approach in the context of EAL [CDLRDR08, CDLRDR05], characterizing elementary computations.
We used, as paradigmatic language, the call-by-value -calculus. This choice allows to use as types all the formulae of EAL, since, differently from the -reduction, the -reduction corresponds exactly to a normalization step in the logic.
A logical based characterization of polynomial time in a quantum computational model has been made in [DLMZ09].
The type assignment technique based on SLL has been applied to a characterization of PSPACE in [GMRO8a]. Here the -calculus has been extended with a conditional operator, and a reduction machine has been defined, in order to measure the space complexity. The result is that if a term can be typed, then it can be reduced to normal form, by this machine,
in a space which is polynomial in its size. Moreover the completeness with respect to the decision problems in PSPACE has been proved, by exploiting the equivalence PSPACE = NPTIME. The non-deterministic polynomial time (NPTIME) has been characterized in [GMR08b].
All these type assignment systems use a natural deduction version of the underlaid logics, but they use different way of building a natural deduction version of the logics, wich have been all originally defined in sequent calculus style. In fact there is no a standard transformation since the presence of the modality, as has been discussed in [RDRR97], in the particular case of the Intuitionistic Linear Logic.
Remember that the ultimate aim of this reserch line, from a computer science point of view, is to supply a criterion on programs, which can be checked statically, and which ensures on the validated programs a time or space complexity bound. All the previous cited systems are complete in an extensional way, i.e., it has been proved that all the functions belonging to the characterized complexity class can be computed by a typed program.
From a programming point of view this kind of completeness is of limited interest. In fact one is interested in designing criteria which are intensionally expressive, that is to say which validate as many
interesting programs as possible. Note that, for example, for a Turing-complete language the class of PTIME programs is non recursively enumerable, and so an intensionally complete criterion would not be decidable. But attempts have been made for designing languages more
expressive and user-friendly than the -calculus. A typed approach based on LAL has been used in [BGM10], where the language LPL has been designed, by extending the -calculus (and the typing rules) by a recursive construct and pattern matching. LPL is correct and complete with respect to PTIME, and it allows for a more natural programming style.
In [DLG], Dal Lago and Gaboardi introduced a notion of relative completeness.They define a typed language, whose completeness holds in a relative sense. Indeed, the behaviour of programs can be precisely captured only in presence of a complete oracle for the truth of certain assumptions in typing rules. This is exactly what happens in program logics such as Floyd-Hoares logic, where all the sound partial correctness assertions can be derived provided one is allowed to use all the true sentences of first order arithmetic as axioms. Actually, the typing rules are parameterized on a theory E, so that, while soundness holds independently of the specific E, completeness holds only if E is
sufficiently powerful to encode all total computable functions (i.e. if E is universal). The simpler E, the easier type checking and type inference are ;
the more complex E, the larger the class of captured programs.
Also untyped languages with bounded complexity have been designed, as [Rov96, Rov98], where the language is a variant of -calculus. While the language is untyped, it is inspired to LAL, in the sense that the control on the complexity of the reduction, that in the logic is made by the modality, is internalized in the reduction rule itself, which can be applied just when the redex has a particular shape. The presence of constants and data structures like lists make the language more expressive than the -calculus itself.

Conclusions

The research in Theoretical Computer Science in Italy has been deeply influenced by Linear Logic. In particular in the two areas of Optimal Reduction and Implicit Computational Complexity the logical approach based on LL provided useful tools, and the obtained results could have interesting applications. For example, results in the Optimal Reduction area offer suggestions and tools for an efficient implementation of functional programming languages while those ICC could be applied to the construction of tractable programs and to the verification of quantitative
properties of functional programs. We expect now to widen the application of the theories and typing systems for developing methodological tools for studying quantitative properties of programs in various computational paradigms, e.g., sequential, non-deterministic, probabilistic, quantum.
The applicative spin-off we have in mind is the development of new techniques for software verification in a distribute environment, taking into account quantitative features, e.g., resource usage, time-space complexity, and so on.

Acknowledgements

I would like Vito Michele Abrusci for the work he did in leading the group of Roma 3. He has been the advisor of an impressive amount of PhD students, to which he communicated his enthousiasm for the research and its interdisciplinary vision of the science. He, and all his group, gave an important contribution to all the results collected in this paper.

References

[ACM04] Andrea Asperti, Paolo Coppola, and Simone Martini. (Optimal) duplication is not elementary recursive. Information and Computation, 193:21-56, 2004.

[AG98] Andrea Asperti and Stefano Guerrini. The Optimal Implementation of Functional Programming Languages. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. Cambridge University Press, 1998.

[AGN96] Andrea Asperti, Cecilia Giovannetti, and Andrea Naletto. The Bologna optimal higher-order machine. Journal of Functional Programming, 6(6):763-810, November 1996.

[AM98] Andrea Asperti and Harry G. Mairson. Parallel beta-reduction is not elementary recursive. In POPL'98, pages 303-315. ACM Press, 1998.

[AR02] Andrea Asperti and Luca Roversi. Intuitionistic light affine logic. ACM Transactions on Computational Logic, 3(1):1-39, January 2002.

[Asp95] Andrea Asperti. Linear logic, comonads and optimal reduction. Fundamenta Informaticae, pages 3-22, 1995.

[Asp96] Andrea Asperti. On the complexity of beta-reduction. In POPL'96, pages 110-118. ACM Press, 1996.

[Bar84] Henk Barendregt. The Lambda-Calculus, its Syntax and Semantics. Stud. Logic Found. Math., vol. 103. North-Holland, 1984.

[BC92] S. Bellantoni and S. Cook. A new recursion-theoretic characterization of the polytime functions. Comp. Complex., 2:97–110, 1992.

[BCDL07] Patrick Baillot, Paolo Coppola, and Ugo Dal Lago. Light logics and optimal reduction : Completeness and complexity. In LICS '07, pages 421-430. IEEE Computer Society, 2007.

[BGM10] Patrick Baillot, Marco Gaboardi, and Virgil Mogbil. A polytime functional language from light linear logic. In ESOP 2010, volume 6012 of LNCS, pages 104-124, 2010.

[BM10] Patrick Baillot and Damiano Mazza. Linear logic by levels and bounded time complexity. Theoretical Computer Science, 411(2):470-503, 2010.

[BP01] P. Baillot and M. Pedicini. Elementary complexity and geometry of interaction. Fundamenta Informaticae, 45(1-2):1-31, 2001.

[BP06] P. Baillot and M. Pedicini. An embedding of the bss model of computation in light affine lambda-calculus. In LCC'06, 2006.

[CDLRDR05] Paolo Coppola, Ugo Dal Lago, and Simona Ronchi Della Rocca. Elementary affine logic and the call by value lambda calculus. In TLCA'05, volume 3461 of LNCS, pages 131–145. Springer, 2005.

[CDLRDR08] Paolo Coppola, Ugo Dal Lago, and Simona Ronchi Della Rocca. Light logics and the call-by-value lambda calculus. Logical Methods in Computer Science, 4(4), 2008.

[CM06] Paolo Coppola and Simone Martini. Optimizing optimal reduction. a type inference algorithm for elementary affine logic. ACM Transactions in Computational Logic, 7:219-260, 2006.

[Cop02] Paolo Coppola. On the Complexity of Optimal Reduction of Functional Programming Languages. PhD thesis, Università degli Studi di Udine, 2002.

[CPQ06] A. Cosentino, M. Pedicini, and F. Quaglia. Supporting function calls within PELCR. EPTCS, 135(3):107-117, 2006.

[CRDR03] Paolo Coppola and Simona Ronchi Della Rocca. Principal typing for elementary affine logic. In Hofmann M., editor, TLCA 03, volume 2701 of LNCS, pages 90-104. Springer-Verlag, 2003.

[CRDR05] Paolo Coppola and Simona Ronchi Della Rocca. Principal typing for lambda calculus in elementary affine logic. Fundamenta Informaticae, 65(1-2):87-112, 2005.

[DCPTdF] Daniel De Carvalho, Michele Pagani, and Lorenzo Tortora de Falco. A semantic measure of the execution time in linear logic. Theoretical Computer Science. to appear.

[DJ03] Vincent Danos and Jean-Baptiste Joinet. Linear logic and elementary time. Information and Computation, 183(1):123-137, May 2003.

[DL09] Ugo Dal Lago. Context semantics, linear logic and computational complexity. ACM Transactions on Computational Logic, 10(4), 2009.

[DLB06] Ugo Dal Lago and Patrick Baillot. Light affine logic, uniform encodings and polynomial time. Mathematical Structures in Computer Science, 16(4):713-733, 2006.

[DLG] Ugo Dal Lago and Marco Gaboardi. Linear dependent types and relative completeness. In LICS 2011. IEEE Press. to appear.

[DLH05] Ugo Dal Lago and Martin Hofmann. Quantitative models and implicit complexity. In R. Ramanujam and Sandeep Sen, editors, Foundations of Software Technology and Theoretical Computer Science, volume 3821 of LNCS, pages 189-200. Springer, 2005.

[DLH08] Ugo Dal Lago and Martin Hofmann. A semantic proof of polytime soundness of light affine logic. In Third International Computer Science Symposium in Russia, volume 5010 of LNCS, pages 134-145. Springer, 2008.

[DLH09] Ugo Dal Lago and Martin Hofmann. Bounded linear logic, revisited. In Typed Lambda Calculi and Applications, 9th International Conference, Proceedings, volume 5608 of Lecture Notes in Computer Science, pages 80-94. Springer, 2009.

[DLM04] Ugo Dal Lago and Simone Martini. Phase semantics and decidability of elementary affine logic. Theoretical Computer Science, 318(3):409-433, 2004.

[DLM08] Ugo Dal Lago and Simone Martini. The weak lambda-calculus as a reasonable machine. Theoretical Computer Science, 398(1-3):32–50, 2008.

[DLM09] Ugo Dal Lago and Simone Martini. On constructor rewrite systems and the lambda-calculus. In ICALP 09, volume 5556 of LNCS, pages 163–174. Springer, 2009.

[DLMR04] Ugo Dal Lago, Simone Martini, and Luca Roversi. Higher-order linear ramified recurrence. In TYPES'03, volume 3085 of LNCS. Springer, 2004.

[DLMZ09] Ugo Dal Lago, Andrea Masini, and Margherita Zorzi. Quantum implicit computational complexity. Theoretical Computer Science, 2009. to appear.

[DLRV09] Ugo Dal Lago, Luca Roversi, and Luca Vercelli. Taming Modal Impredicativity : Superlazy Reduction. In LFCS09, volume 5407 of LNCS, pages 137-151. Springer Verlag, 2009.

[GAL92] Georges Gonthier, Martin Abadi, and Jean-Jacques Lévy. The geometry of optimal lambda reduction. In POPL 92, pages 15-26. ACM Press, 1992

[Gir87] Jean-Yves Girard. Linear logic. Theoretical Computer Science, 50:1-102, 1987.

[Gir98] Jean-Yves Girard. Light linear logic. Information and Computation, 143(2):175-204, 1998.

[GMM98] Stefano Guerrini, Simone Martini, and Andrea Masini. An analysis of (linear) exponentials based on extended sequents. Logic Journal of the IGPL, 6(5):735-753, 1998.

[GMM01] Stefano Guerrini, Simone Martini, and Andrea Masini. Proof nets, garbage, and computations. Theoretical Computer Science, 253(2):185-237, 2001.

[GMM03] Stefano Guerrini, Simone Martini, and Andrea Masini. Coherence for sharing proof-nets. Theoretical Computer Science, 294(3):379-409, 2003.

[GMR08a] Marco Gaboardi, Jean-Yves Marion, and Simona Ronchi Della Rocca. A logical account of PSPACE. In POPL 2008, pages 121-131. ACM Press, 2008.

[GMR08b] Marco Gaboardi, Jean-Yves Marion, and Simona Ronchi Della Rocca. Soft linear logic and polynomial complexity classes. In LSFA 2007, volume 205 of ENTCS, pages 67-87. Elsevier, 2008.

[GR09] Marco Gaboardi and Simona Ronchi Della Rocca. Type inference for a polynomial lambda-calculus. In TYPES'08, volume 5497 of Lecture Notes in Computer Science, pages 136–152. Springer, 2009.

[GRDR07] Marco Gaboardi and Simona Ronchi Della Rocca. A soft type assignment system for lambda-calculus. In CSL'07, volume 4646 of LNCS, pages 253-267, 2007.

[GRDR09] Marco Gaboardi and Simona Ronchi Della Rocca. From light logics to type assignements : a case study. Logic Journal of the IGPL, Special Issue on LSFA 2007, 17:499-530, 2009.

[GRV09] Marco Gaboardi, Luca Roversi, and Luca Vercelli. A by level analysis of Multiplicative Exponential Linear Logic. In MFCS'09, volume 5734 of LNCS, pages 344-355. Springer, 2009. DOI:10.1007/978-3-642-03816-7, ISBN:978-3-642-03815-0.

[GSS92] Jean Yves Girard, Andr ?e Scedrov, and Phil Scott. Bounded linear logic. Theoretical Computer Science, 97(1):1-66, 1992.

[Gue01] Stefano Guerrini. A general theory of sharing graphs. Theoretical Computer Science, 254:99–151, 2001.

[Gue05] Stefano Guerrini. Sharing implementations of graph rewriting systems. In TERMGRAPH 2004, volume 127 of ENTCS, 2005.

[Lé78] Jean Jacques Lévy. Réductions Correctes et Optimales dans le Lambda Calcul. Thèse de Doctorat d'Etat, University Paris VII, 1978.

[Laf95] Yves Lafont. From proof nets to interaction nets. In Jean-Yves Girard, Yves Lafont, and Laurent Regnier, editors, Advances in Linear Logic, volume 222 of London Mathematical Society Lecture
Note Series, pages 225-247. Cambridge University Press, 1995.

[Laf04] Yves Lafont. Soft linear logic and polynomial time. Theoretical Computer Science, 318(1–2):163–180, 2004.

[Lam90] John Lamping. An algorithm for optimal lambda calculus reduction. In POPL 90, page 1630. ACM Press, 1990.

[Lei94] Daniel Leivant. A foundational delineation of poly-time. Information and Computation, 110(2):391–420, 1994.

[Mas92] Andrea Masini. 2-sequent calculus : A proof theory of modalities. Annals of Pure and Applied Logic, 58(3):229-246, 1992.

[Mas93] Andrea Masini. 2-sequent calculus : Intuitionism and natural deduction. Journal of Logic and Computation, 3(5):533-562, 1993.

[Maz06] Damiano Mazza. Linear logic and polynomial time. Mathematica Structures for Computer Science, 16(6):947-988, 2006.

[MM93] Simone Martini and Andrea Masini. On the fine structure of the exponential rule. In Advances in Linear Logic, pages 197-210. Cambridge University Press, 1993.

[Plo75] Gordon Plotkin. Call-by-name, call-by-value and the -calculus. Theoretical Computer Science, 1:125–159, 1975.

[PQ00] M. Pedicini and F. Quaglia. A parallel implementation of optimal lambda-reduction. In ACM Proceedings of PPDP 2000, 2000.

[RDRR97] Simona Ronchi Della Rocca and Luca Roversi. Lambda calculus and intuitionistic linear logic. Studia Logica, 59(3), 1997.

[Rov96] Luca Roversi. A Type-Free Resource-Aware -Calculus. In CSL'96, volume 1258 of Lecture Notes in Computer Science, pages 399-413. Springer-Verlag, 1996.

[Rov98] Luca Roversi. A Polymorphic Language which is Typable and Poly-step. In ASIAN'98, volume 1538 of LNCS, pages 43-60. Springer Verlag, 1998.

[Rov99] Luca Roversi. A P-Time Completeness Proof for Light Logics. In CSL'99, volume 1683 of LNCS, pages 469-483. Springer-Verlag, 1999.

[RV09] Luca Roversi and Luca Vercelli. Some Complexity and Expressiveness results on Multimodal and Stratified Proof-nets. In TYPES'08, volume 5497 of LNCS, pages 306-322. Springer, 2009.

[RV10] L. Roversi and L. Vercelli. A structural and local criterion for polynomial time computations. In FOPARA 2009, volume 6324 of LNCS, pages 66-81. Springer, 2010.

[TB04] Kazushige Terui and Patrick Baillot. Light types for polynomial time computation in lambda-calculus. In LICS'04, pages 266-275. IEEE, 2004.

[TdF00] Lorenzo Tortora de Falco. Réseaux, cohérence et expériences obsessionnelles, 2000. PhD thesis, Université Paris 7.

[TdF01] Lorenzo Tortora de Falco. Coherent obsessional experiments for linear logic proof-nets. The Bulletin of Symbolic Logic, 7(1):154-171, 2001.

[TDFL06] L. Tortora De Falco and O. Laurent. Obsessional cliques : a semantic characterization of bounded time complexity. In LICS '06. IEEE, 2006.

Les catégories physiques : du classique au quantique

Sébastien Poinat — 2012-11-22T08:06:17Z

Introduction

La comparaison entre la physique classique et la mécanique quantique est intéressante pour une réflexion sur les catégories parce qu'à partir du milieu des années 1920, c'est-à-dire au moment où la mécanique quantique est élaborée, la nécessité de changements conceptuels importants est apparue de façon claire, aux yeux des physiciens d'abord, puis de tous ceux qui réfléchissaient sur la science : cette nouvelle théorie était trop différente de la mécanique classique ou de l'électromagnétisme du XIXe siècle pour qu'on puisse faire l'économie d'un profond remaniement de la grille conceptuelle utilisée jusqu'alors pour construire les théories physiques.
Comme nous allons essayer de le montrer ici, il n'était pas question de remanier à la marge les outils conceptuels, mais bien de rompre avec les concepts les plus généraux (et donc les plus usuels) qui structuraient la physique classique. C'est pour cette première raison qu'il nous semble légitime, à propos du passage de la physique classique à la mécanique quantique, de parler de changement de catégorie. Les catégories seront pour nous des concepts à la fois fondamentaux, au sens où ils sont les premiers éléments dans l'élaboration conceptuelle des théories, et larges, au sens où, pour construire les théories physiques, il faut aussi subdiviser de tels concepts en différentes sous-catégories ayant un sens physique. Bien sûr, en tant que catégories physiques, les catégories dont nous parlerons ici n'ont pas de raison d'être considérées uniquement comme de purs outils de pensée, sans lien avec une - supposée - réalité physique indépendante du sujet connaissant. Toutefois, il n'est pas besoin pour nous de prendre parti dans ce débat et de déterminer si les catégories expriment l'ordre inhérent au monde physique, ou bien si elles ne représentent que nos façons de penser. Les catégories physiques sont pour nous simplement les outils les plus fondamentaux pour rendre intelligible notre expérience commune du monde et les concepts premiers des théories physiques (classique et quantique).
Nous disions précédemment qu'il était apparu rapidement qu'un profond remaniement conceptuel s'imposait avec la théorie quantique. Toutefois, s'il était manifeste qu'il fallait un changement catégoriel, il n'était pas évident de déterminer lequel il fallait opérer. Aujourd'hui, la réponse à cette question ne fait pas consensus : comme le montre la littérature (trop) abondante sur la mécanique quantique, les réflexions et les propositions vont bon train pour dire quelle est, selon la dénomination usuelle, la bonne « interprétation » de la théorie quantique. Il ne sera pas question pour nous ici de résoudre cette question de façon générale. Ce que nous nous proposons de faire est plus modeste et consiste à examiner deux exemples de catégories utilisées en physique classique et que la mécanique quantique nous a amené à remplacer. Il s'agit des catégories d'objet et d'identité numérique, que nous examinerons successivement.
Pour ces deux catégories, il nous faudra montrer à la fois pourquoi un changement catégoriel était nécessaire, par quelle nouvelle catégorie l'ancienne a été remplacée, et enfin quelles sont les implications de ce changement catégoriel dans notre façon de penser les phénomènes physiques. Ce faisant, nous espérons montrer que les changements conceptuels sont compréhensibles à partir du formalisme quantique, c'est-à-dire essentiellement du langage mathématique et des règles de base de la mécanique quantique standard. Si les débats philosophiques sur la mécanique quantique durent depuis plus de quatre-vingts ans, sans que le nombre de positions possibles (ou d' « interprétations ») ne diminue, le cœur du formalisme standard est resté inchangé et il est demeuré le point de départ de toute réflexion. Il semble donc raisonnable de considérer qu'il doit être notre guide pour déterminer, à propos de deux catégories particulières, quels changements conceptuels s'imposent à nous lorsqu'on aborde la mécanique quantique.

1. Première catégorie : la propriété

1.1. L'objet et ses propriétés

La première notion que nous souhaitons examiner est celle de propriété. C'est une catégorie très importante pour l'histoire de la pensée en général, qui intervient directement dans toute la tradition philosophique et apparaît aussi dans la physique classique. Elle est utilisée par la philosophie antique grecque en général, mais c'est Aristote qui lui donnera le sens que la tradition philosophique retiendra.
Pour comprendre ce qu'est une propriété, il faut en revenir à l'analyse logique du jugement. Pour Aristote, le jugement est un acte de l'esprit qui, si on l'analyse du point de vue logique, consiste à attribuer un prédicat « » à un sujet logique « ». Sa forme générale est ainsi « est ». Par exemple, on peut former le jugement « cette feuille est rectangulaire », qui consiste à attribuer au sujet logique « cette feuille » l'attribut « être rectangulaire ». A ce stade, peu importe que le jugement soit vrai ou non : au niveau logique, un jugement est vu par Aristote comme un acte de prédication.
On peut maintenant passer du plan logique au plan ontologique en donnant la signification de la prédication, non plus au niveau de la pensée, mais pour les choses elles-mêmes. Cette signification ontologique s'obtient alors simplement en projetant sur le plan de la réalité la structure logique précédemment décrite. Au sujet logique correspond alors, en général, un objet du monde, tandis qu'au prédicat est associée une propriété. Pour reprendre notre exemple, dire que « cette feuille est rectangulaire » consiste donc, au niveau ontologique, à attribuer à cette feuille, supposée être un objet du monde, la propriété de rectangularité. Du fait que la propriété est classiquement comprise à partir de la structure logique d'un jugement, elle est donc aussi liée, à l'origine, à celle d'objet. Sur le plan ontologique, la propriété est attribuée à l'objet, de même que sur le plan logique le prédicat est attribué au sujet logique.

Qu'est-ce qu'un objet ? Étymologiquement, l'« ob-jet » est ce qui est « jeté devant », ou « placé devant » : il est ce qui se tient devant le sujet. Les propriétés attribuées à l'objet sont ses déterminations. L'objet est donc supposé être quelque chose qui existe indépendamment du sujet, se tient devant lui, et qui est doté d'un ensemble plus ou moins riche de propriétés. Cette structure fondamentale du face-à-face entre le sujet et l'objet peut servir de base pour définir un réalisme de l'objet : on suppose que le monde est constitué d'une multitude d'objets qui constituent la réalité et qui sont en eux-mêmes indépendants de tout sujet connaissant.
Dans la perspective ontologique que l'on vient de définir, celle du réalisme de l'objet, connaître un objet implique de pouvoir dresser la liste des propriétés dont il est supposé être le porteur. Les différentes propriétés sont ainsi les déterminations intrinsèques de la réalité telle qu'elle est supposée être en elle-même. L'acte de mesure doit donc, fondamentalement, se comprendre comme un acte de révélation. En effet, si connaître un objet revient à déterminer ses propriétés, et si celles-ci sont indépendantes du sujet et donc lui préexistent, l'acte de mesure est alors supposé révéler l'existence et la nature des propriétés de l'objet. Par la mesure, on peut espérer pouvoir connaître la masse d'un objet, son volume, sa forme, etc. Toutes ces mesures doivent, dans cette perspective, nous permettre d'établir les différentes propriétés de cet objet.
Le problème central à résoudre est alors simplement de s'assurer que l'acte de mesure permet réellement d'atteindre le but qui lui est assigné, à savoir accéder aux valeurs réelles des propriétés de l'objet. Il faut que la mesure ne donne pas un résultat différent de la valeur réelle de la propriété. La propriété et l'objet existant indépendamment de nous, de notre pensée et de nos actions, la mesure réalise ce qu'on attend d'elle si et seulement si le résultat de la mesure correspond à la réalité.
C'est dans cette perspective que l'on peut comprendre les discussions autour des qualités premières. Pour la plupart des physiciens et des philosophes du XVIIe siècle, la réalité physique est composée de corpuscules en mouvement, et seules les propriétés géométriques et cinématiques sont réelles. Les odeurs, les saveurs, les couleurs ne sont en fait que l'effet sur nous de ces propriétés. Pour fixer ces distinctions, il devint courant d'utiliser les termes de « qualités premières » et de « qualités secondes » : les « qualités premières » sont les propriétés des objets physiques, tandis que les « qualités secondes » sont seulement des combinaisons de qualités premières qui ont le pouvoir de provoquer en nous certaines impressions sensibles. Sur cette base ontologique, le problème épistémologique est alors d'abord, de façon générale, de parvenir à expliquer les différents phénomènes physiques à partir des seules qualités premières - et donc de réduire la diversité phénoménale à la conjonction de quelques qualités premières -, puis de déterminer pour chaque type d'objets ses qualités premières propres, c'est-à-dire les propriétés intrinsèques qui lui appartiennent [1]. Autrement dit, pour la physique classique, les différentes grandeurs physiques que l'on peut mesurer doivent pouvoir être expliquées par les qualités premières (et ainsi réduites à ces dernières), c'est-à-dire par les propriétés des objets qui composent la réalité physique.

1.2. L'observable et le spectre de valeurs

Qu'en est-il en mécanique quantique ? Les grandeurs physiques sont-elles encore des propriétés ? Pour répondre à cette question, il faut d'abord noter que les grandeurs physiques sont désormais des opérateurs hermitiens (appelés « observables »), et les systèmes physiques des vecteurs d'état dans des espaces de Hilbert (ce sont des espaces vectoriels à valeurs complexes).
Le formalisme standard de la mécanique quantique pose quelques règles pour la mesure. D'une part, de façon générale, pour une même mesure réalisée sur un système physique quelconque, il existe en général plusieurs résultats possibles. Ces résultats possibles sont appelés les « valeurs propres » de l'observable mesuré. D'autre part, il n'y a pas de loi qui fixe la valeur qui sera réellement obtenue dans le cadre d'une mesure effective (le résultat est intrinsèquement aléatoire), mais on peut assigner à chacune des valeurs propres une probabilité d'être obtenue. Enfin, après la mesure, le vecteur d'état est égal au vecteur associé à la valeur propre effectivement obtenue, vecteur que l'on appelle « vecteur propre ».
Supposons par exemple que l'on cherche à mesurer une observable associée à deux valeurs possibles, notées « » et « ». On associe alors des « vecteurs propres » aux deux valeurs du spectre de cette observable. En général, avant la mesure, le vecteur d'état n'est pas égal à l'un des vecteurs propres, c'est une combinaison linéaire de vecteurs propres. Or, comme nous l'avons dit, le vecteur d'état après la mesure doit être égal au vecteur d'état de la valeur expérimentale obtenue. Par conséquent, l'acte de mesure a projeté le vecteur sur l'un des vecteurs propres de l'observable (comme le montre le schéma ci-dessous) : il a été projeté soit sur le vecteur propre correspondant à la valeur « », soit sur celui correspondant à la valeur « ».

Ces changements mathématiques sont considérables pour le problème qui nous occupe. Puisque l'acte de mesure est une projection (aléatoire) du vecteur d'état sur l'un des vecteurs propres de l'observable, on ne peut pas dire qu'avant la mesure il existait déjà une propriété, déterminée tant du point de vue de sa qualité que de sa quantité. Avant la mesure, plusieurs valeurs sont possibles, c'est-à-dire plusieurs déterminations du système physique que l'on examine. Selon le formalisme standard, on ne peut donc pas inférer du résultat finalement obtenu la valeur supposée d'une propriété qui préexisterait à la mesure. Pour que le formalisme standard nous autorise à identifier une propriété, il faudrait que le vecteur d'état final (après la mesure) nous permît de remonter au vecteur d'état initial (avant la mesure). Le fait que la mesure soit une projection aléatoire empêche une telle opération.

1.3. Faut-il sauver la catégorie de propriété ?

On peut toutefois essayer de sauver la notion de propriété. Pour cela, il n'y a pas d'autres moyens que de sortir du cadre défini par le formalisme standard : comme nous l'avons vu, ce dernier supprime à la catégorie de propriété sa pertinence. Afin de sortir de ce cadre, il est possible d'essayer d'introduire des paramètres supplémentaires, (que l'on appelle couramment des « variables cachées »). Historiquement, les paramètres supplémentaires ont été conçus comme devant déterminer le résultat de la mesure et supprimer le caractère aléatoire de l'acte de mesure.
Mais ces paramètres peuvent également être vus comme représentant les propriétés dont les objets physiques seraient dotés et que la mesure aurait pour fonction de révéler. En effet, s'il existe théoriquement certains paramètres qui déterminent le résultat des mesures à venir, alors il est possible de remonter à la valeur de ces paramètres à partir du résultat de la mesure effectuée. A partir de cette opération, rien n'empêcherait alors de poser que ces paramètres décrivent les propriétés réellement possédées par les systèmes physiques mesurés. L'acte de mesure en mécanique quantique ne serait pas fondamentalement différent de ce qu'il était supposé être en mécanique classique : une prise de connaissance par le sujet des déterminations intrinsèques des objets.

Autrement dit, les théories à variables cachées peuvent être vues comme des tentatives pour retrouver la situation classique d'un face-à-face entre un objet doté de propriétés et un sujet connaissant, des tentatives pour maintenir le réalisme de l'objet qui était compatible avec la physique classique.

Cette démarche peut paraître tentante, en particulier pour celui qui souhaite retrouver le schéma ontologique et épistémologique auquel la physique classique (mais également une très grande partie de la philosophie de la connaissance) nous a habitués. Mais depuis leur apparition, les théories à variables cachées ont dû faire face à de nombreuses difficultés qu'elles n'avaient pas anticipées et qui les rendent de moins en moins simples et intuitives. D'une part, les inégalités de Bell [2] (1964) imposent aux théories à variables cachées d'être non-locales, au sens où il faut que les propriétés puissent s'influencer instantanément à distance. Autrement dit, il faudrait admettre qu'il existe une autre forme d'action que l'action par contact (ou action locale). D'autre part, les inégalités de Leggett (2003) [3] montrent que les modèles non-locaux physiquement satisfaisants sont en contradiction avec la mécanique quantique (et avec l'expérience) [4]. Par conséquent, même l'introduction de l'hypothèse de non-localité ne suffit pas à rendre acceptables les théories à variables cachées. Enfin, on peut montrer que, au moins dans certaines situations, la valeur du résultat obtenu lors d'une mesure d'une observable dépend du contexte expérimental dans lequel cette mesure est effectuée. En effet, pour le même appareil de mesure, utilisé pour mesurer la même observable sur un même système physique, les résultats de mesure seront différents selon le contexte expérimental complet (c'est-à-dire les autres appareils utilisés, la nature des mesures faites auparavant, etc.). Or, si les mesures révélaient les propriétés préexistantes des objets, les valeurs obtenues ne dépendraient pas de tout le contexte expérimental. Par conséquent, la contrainte de contextualité interdit de supposer que la mesure révèle des propriétés qui lui préexistent.

Faut-il alors conserver à tout prix la notion de propriété et le réalisme de l'objet ? Comme on le voit, les contraintes s'accumulent pour les théories à variables cachées. A l'origine, elles pouvaient se présenter comme des théories beaucoup plus proches du sens commun que la mécanique quantique standard. Aujourd'hui, ce n'est plus le cas, en raison des éléments que l'on vient d'énumérer. Surtout, on a du mal à percevoir l'intérêt de maintenir cette notion de propriété dès lors qu'on ne peut plus supposer que la mesure nous permet d'en prendre connaissance. N'a-t-on pas alors vidé la notion de propriété, sinon de son sens, du moins de son intérêt ? Une propriété est intéressante épistémologiquement lorsqu'elle permet de traduire ontologiquement la connaissance que nous obtenons grâce aux actes de mesure ; elle est intéressante dès lors qu'elle permet la projection ontologique de contenus épistémiques (c'est-à-dire la transposition, dans l'ordre des choses elles-mêmes, de résultats de mesure). A quoi peut-elle encore servir dès lors qu'on considère qu'elle ne préexiste pas à la mesure et donc qu'elle ne peut être conçue comme une description de ce qui existe indépendamment de nous ? N'est-elle pas alors une notion devenue superflue ? Il nous semble qu'elle est devenue une catégorie purement métaphysique, au sens où on ne peut la maintenir qu'en supposant qu'elle représente un élément de la réalité qui ne se manifesterait jamais directement à nous, un élément relevant d'une sorte d'arrière-monde.

2. Deuxième catégorie : l'identité numérique

2.1 Un critère quantique de décomposition

L'autre exemple de catégorie que nous souhaitons examiner est celle d'identité numérique. Pour cela, nous nous appuierons sur des études menées en collaboration avec Thierry Paul [5]. L'identité numérique est ce qui permet de compter : un trio de chanteurs comprend trois chanteurs, c'est son identité numérique. Un élément est dit « simple » si son identité numérique est égale à 1, « composé » si elle est supérieure à 1.
En physique classique comme pour le sens commun, l'espace joue un rôle particulier. Ainsi, deux objets habituels ne peuvent pas occuper la même région spatiale : ils ne peuvent être que l'un à côté de l'autre (c'est ce que la tradition philosophique appelle l'antitypie, ou l'impénétrabilité). Inversement, deux régions spatiales disjointes ne peuvent être occupées par le même objet solide. Pour la mécanique classique (et dans la vie quotidienne), l'espace physique à trois dimensions est ainsi un bon critère de l'identité numérique, au moins dans les cas habituels. Par exemple, si l'on demande pourquoi une montre mécanique est un système composé, la réponse la plus naturelle est qu'on peut ouvrir la montre, se saisir de chacune des parties et les mettre les unes à côté des autres. Autrement dit, on peut séparer spatialement les différentes parties qui composent la montre.

Pour des raisons sur lesquelles nous reviendrons plus bas, le critère de l'espace physique pose des problèmes en mécanique quantique. Il faut donc essayer d'en trouver un autre. On peut alors proposer de considérer le critère suivant :

Un système physique est un système composé si et seulement si il est possible d'étudier séparément les différentes parties qui le composent.

Ce critère peut être vu comme une façon de généraliser l'exemple précédent de la montre : un système est composé si, d'une part, on peut faire une étude partielle de ce système, c'est-à-dire faire des mesures sur l'un seulement des sous-systèmes, et si, d'autre part, des mesures partielles faites sur l'une des sous-parties n'affectent pas les mesures partielles faites sur une autre sous-partie.

On peut formaliser ce critère de la façon suivante :
Supposons que nous ayons un système décrit par un vecteur d'état }" title="\text{|}\Psi\text{>}" /> appartenant à l'espace de Hilbert . est un système composé de sous-systèmes supposés appartenir respectivement à espaces de Hilbert tels que si et seulement si :

Condition 1 : si sont opérateurs hermitiens qui appartiennent respectivement aux espaces de Hilbert et qui correspondent à des mesures qui peuvent être physiquement réalisées, il est physiquement possible, pour , de réaliser une mesure correspondant à l'opérateur (où est l'opérateur identité défini dans ).

Condition 2 : si l'on note les probabilités de résultat pour une mesure correspondant à l'opérateur , et les probabilités de résultats pour une mesure correspondant à sachant qu'une mesure a déjà été réalisée auparavant, alors on doit avoir : .

La première condition formalise l'idée qu'il doit être physiquement possible de faire des mesures partielles sur le système global. Celui-ci appartenant à l'espace de Hilbert global , une mesure partielle sur la n-ième sous-partie du système global s'écrira : . S'il n'était pas possible de réaliser de telles mesures, alors il faudrait toujours étudier le système tout entier, en bloc, et il n'y aurait aucun intérêt pratique à considérer que le système est composé.

La deuxième condition formalise l'idée que les mesures partielles doivent être séparables, au sens où les mesures partielles faites sur une sous-partie ne doivent pas modifier les mesures partielles sur . Dans la mesure où, en mécanique quantique, les mesures sont de nature probabiliste, les résultats de mesure seront décrits par des probabilités de résultat. Si une telle condition n'est pas vérifiée, alors les mesures partielles ne sont pas séparables les unes des autres : leurs résultats seraient conditionnés par le fait que d'autres mesures partielles ont été faites. Dans ce cas, les études partielles ne seraient pas vraiment partielles : elles dépendraient fortement du tout et ne seraient pas séparables. C'est pour éviter ce type de cas qu'il faut prévoir la condition 2.

Ce critère est intéressant dans le cas des états intriqués. Pour le comprendre, il nous faut commencer par les états non-intriqués. Supposons ainsi que l'on dispose de deux systèmes différents et qui n'ont jamais interagi. Ils sont alors indépendants l'un de l'autre, et sont décrits à l'aide de deux espaces de Hilbert ( et ) et de deux vecteurs d'état }" title="\text{|}S_1\text{>}" /> et }" title="\text{|}S_2\text{>}" />. On peut aussi décrire le système global composé de et . est décrit par un espace de Hilbert global et un vecteur d'état tels que :

} = \text{|}S_1\text{>}\otimes\text{|}S_2\text{>}}" title="\boxed{H = H_1 \otimes H_2}\hphantom{0123456789}\boxed{\text{|}\Psi\text{>} = \text{|}S_1\text{>}\otimes\text{|}S_2\text{>}}" />

Dans ce cas, il n'y a pas de difficulté à identifier les différents sous-systèmes et à les compter : est un système composé et il y a deux sous-systèmes et . On peut attribuer aux deux sous-systèmes et un vecteur d'état. On vérifiera aisément que le critère proposé ci-dessus s'applique parfaitement à ce cas.

Attribuer une identité numérique à la situation physique ne pose donc pas de problème.

2.2 Le produit tensoriel et les états factorisés

En revanche, il n'en va de même pour les systèmes intriqués. En effet, si les deux sous-systèmes interagissent, le vecteur d'état va perdre sa forme factorisée. Il va se transformer en une combinaison linéaire de produits tensoriels. Le vecteur d'état s'écrit alors :

} = \sum_{i,j}\text{|}u_i\text{>}\otimes\text{|}v_j\text{>}}" title="\boxed{\text{|}\Psi\text{>} = \sum_{i,j}\text{|}u_i\text{>}\otimes\text{|}v_j\text{>}}" />

où les vecteurs }" title="\text{|}u_i\text{>}" /> et les vecteurs }" title="\text{|}v_j\text{>}" /> vivent respectivement dans et , c'est-à-dire dans les espaces de Hilbert respectifs de et .
Cette situation a ceci de particulier qu'il n'est alors plus possible d'attribuer un vecteur d'état à chacun des deux sous-systèmes et (s'ils existent encore). En effet, pour décrire l'état de , il faudrait pouvoir lui attribuer un vecteur d'état appartenant à . Mais quel vecteur }" title="\text{|}u_i\text{>}" /> choisir ? Il n'y a pas de raison a priori de privilégier tel ou tel. Il en va de même pour et les vecteurs }" title="\text{|}v_j\text{>}" />. En outre, puisque }\otimes\text{|}v_j\text{>}\neq(\sum_{i}\text{|}u_i\text{>})\otimes(\sum_{j}\text{|}u_j\text{>})" title="\sum_{i,j}\text{|}u_i\text{>}\otimes\text{|}v_j\text{>}\neq(\sum_{i}\text{|}u_i\text{>})\otimes(\sum_{j}\text{|}u_j\text{>})" />, on ne peut pas non plus attribuer à le vecteur d'état }" title="\sum_{i}\text{|}u_i\text{>}" />, ni à le vecteur d'état }" title="\sum_{j}\text{|}u_j\text{>}" />. En réalité, on ne peut attribuer de vecteur d'état qu'au système global . Le système global est alors dans un état intriqué.

La difficulté porte alors sur l'identité numérique du système global. Combien y a-t-il de systèmes ? Y a-t-il encore deux sous-systèmes qui composent un système global ? Ou bien n'avons-nous affaire qu'à un seul système simple, sans sous-systèmes ?

2.3 Est-il possible de décomposer les systèmes intriqués ?

Examinons d'abord la condition 1. A l'aide du formalisme standard [6], on peut montrer que, dans le cas le plus intéressant où les deux systèmes initiaux et sont de même nature (par exemple lorsqu'il s'agit de deux photons, ou de deux électrons), alors la condition 1 implique que les sous-parties doivent occuper des régions spatiales disjointes et que l'état spatial global s'écrit comme un produit tensoriel de deux fonctions spatiales. Sinon, il n'est pas physiquement possible de réaliser des opérateurs permettant des mesures partielles du type . On peut comprendre ce résultat en remarquant que si les deux sous-systèmes n'occupent pas des régions spatiales disjointes, il n'y a pas de raison pour que l'appareil physique utilisé pour mesurer l'un n'agisse pas aussi sur l'autre.
Examinons maintenant la condition 2 [7]. De prime abord, on pourrait penser que la condition 1 est suffisante. Si le système global occupe deux régions spatiales distinctes, et que son état spatial peut être décomposé comme le produit tensoriel de deux fonctions d'onde sur l'espace, on devrait pouvoir déterminer deux sous-systèmes correspondant simplement aux deux régions spatiales disjointes occupées par le système global. Comme nous l'indiquions précédemment, c'était le cas en mécanique classique : si un système occupait deux régions spatiales disjointes, alors il fallait dire qu'il était composé de deux sous-systèmes occupant chacun l'une des deux régions spatiales. Or, on peut montrer [8] que la condition 2 implique que le vecteur d'état global s'écrive comme un produit tensoriel, c'est-à-dire que le système global ne soit pas dans un état factorisé.
Il apparaît donc que tout système intriqué est un système simple et non pas un système composé. Dans notre exemple, il faut donc dire que l'interaction entre les deux systèmes initialement indépendants, en produisant l'intrication, a modifié l'identité numérique du système global : le système global était initialement composé de deux sous-systèmes, il est devenu un système simple.
On remarquera que, dans cette perspective, le langage utilisé couramment est trompeur. On parle ainsi de « paires intriquées » pour désigner des systèmes en état d'intrication. En réalité, d'après le critère de décomposition proposé, il n'y a pas de paire. Ainsi, « deux photons » intriqués ne sont en fait qu'un seul et unique photon.

La notion d'identité numérique en mécanique quantique a donc changé par rapport à la physique classique. En physique classique, l'occupation spatiale permettait de compter les objets. En physique quantique, un unique système peut occuper des régions spatiales disjointes. Ce changement provient du fait que l'occupation spatiale est traitée exactement comme l'état de spin ou l'état de polarisation : chacun est représenté à l'aide d'un espace de Hilbert qui lui est propre. Il n'y a donc pas d'impossibilité à ce que la fonction d'onde spatiale d'un système simple présente deux pics disjoints. Elle peut également être intriquée avec d'autres degrés de liberté (par exemple avec l'état de spin, comme c'est le cas dans les filtres de Stern-Gerlach). L'état spatial d'un système ne joue donc plus de rôle privilégié dans le formalisme. C'est un degré de liberté parmi d'autres.

Conclusion

Si l'on compare les deux changements catégoriels précédemment étudiés, on s'aperçoit qu'ils ont plusieurs points communs importants. D'une part, comme nous l'indiquions dans l'introduction, les modifications conceptuelles induites par la mécanique quantique ne sont pas marginales. La notion de propriété comme celle d'identité numérique sont des concepts centraux de la physique classique et plus largement de notre façon de comprendre le monde. Il s'agit donc bien d'un changement catégoriel.
D'autre part, de telles modifications sont en fait déterminées par le formalisme, et plus particulièrement par l'aspect mathématique du formalisme. La disparition de la catégorie de propriété provient du fait que la mesure est une projection du vecteur d'état, tandis que la modification de la catégorie d'identité numérique s'explique par le fait que l'état spatial d'un système soit traité comme une variable parmi d'autres et ne joue plus de rôle particulier.
C'est une caractéristique de la mécanique quantique qui nous semble importante. Si les théories physiques en général et la mécanique quantique en particulier ne se réduisent pas à l'aspect logico-mathématique de leur formalisme, il apparaît cependant qu'une grande partie des innovations conceptuelles de la mécanique quantique ne peuvent être comprises qu'à partir de leur sens mathématique. En prenant le formalisme de la mécanique quantique pour guide, nous avons ainsi été amené directement à repenser ce qu'est une mesure, à mettre en doute la pertinence de la notion d'objet, et à revoir le rôle que l'on peut faire jouer à l'espace. Finalement cette situation n'est peut-être pas si surprenante : si l'ontologie classique provient de l'analyse logique du jugement menée par Aristote, il n'est pas difficile de comprendre que le formalisme mathématique de la mécanique quantique, si innovant pour la physique, nous impose des remaniements catégoriels aussi profonds.

Bibliographie (comportant uniquement quelques textes classiques) :

Bell J.S., Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge, Cambridge University Press, 1987.

Bohr N., « Can quantum mechanical description of reality be considered complete ? », Physical Review, 48, 1935, p.696-702.

Bohr N., La Théorie atomique et la description des phénomènes, trad. par A. Legros et L. Rosenfeld, Paris, Gauthier-Villars, 1932, rééd à Sceaux, Éditions Jacques Gabay, 1993.

Bohr N., Physique atomique et connaissance humaine, traduction, introduction, et annotation par C. Chevalley, Paris, Gallimard, coll. Folio, 1991.

Einstein A., Oeuvres Complètes, 5 vol., F. Balibar, O. Darrigol et B. Jech éd., Paris, Seuil, 1989.

Schrödinger E., Physique quantique et représentation du monde, trad. par F. De Jouvenel, A Bitbol-Hespériès et M. Bitbol, introduction et annotation par M. Bitbol, Paris, Seuil, 1992.

[1] Voir par exemple ce passage de Galilée : « Je pense donc que ces saveurs, odeurs, couleurs, etc., eu égard au sujet dans lequel elles nous paraissent résider, ne sont que de purs noms et n'ont leur siège que dans le corps sensitif, de sorte qu'une fois le vivant supprimé, toutes ces qualités sont détruites et annihilées ; mais comme nous leur avons donné des noms particuliers et différents de ceux des qualités réelles et premières, nous voudrions croire qu'elles en sont vraiment et réellement distinctes. » (L'Essayeur, traduction et présentation de Christiane Chauviré, Les Belles Lettres, Paris, 1980, p.239, cité par Jean-Marc Lévy-Leblond, « Une matière sans qualités ? Grandeur et limites du réductionnisme physique », dans L. Boi (éd.), Science et Philosophie de la nature, Bern, Peter Lang, 2000.

[2] Bell J.S., Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge, Cambridge University Press, 1987.

[3] Leggett A.J., « Nonlocal Hidden-Variable Theories and Quantum Mechanics : An Incompatibility Theorem », Foundations of Physics, Vol. 33, No 10, October 2003, 1469-1493.

[4] Voir par exemple notre article « Les inégalités de Leggett et la spécificité de la physique quantique », dans le numéro 17 (à paraître) de la revue Noesis.

[5] Sur tout ce qui suit, on pourra consulter l'article suivant : Thierry Paul, Sébastien Poinat, « Quantum Mechanics, Emergence and Reduction », hal-00544398, version 1.

[6] Nous utilisons ici le travail de Thierry Paul. On pourra se reporter notamment à son article « A propos du formalisme mathématique de la Mécanique Quantique », dans Logique & Interaction : Géométrie de la cognition, Actes du colloque et école thématique du CNRS « Logique, Sciences, Philosophie » à Cerisy, Hermann 2009

[7] On pourra se reporter à Thierry Paul, Sébastien Poinat, « Quantum Mechanics, Emergence and Reduction », hal-00544398, version 1.

[8] Nous laissons au lecteur le soin de réaliser la démonstration. Le calcul est un peu long mais relativement simple. Il est exposé dans Thierry Paul, Sébastien Poinat, « Quantum Mechanics, Emergence and Reduction », hal-00544398, version 1.

Le problème de l'identité entre logique et langue

Antonio Mosca — 2012-09-11T09:01:44Z

Introduction. - Celles qu'on appelle logiques - celles qu'on enseigne aujourd'hui

La logique se trouve actuellement enseignée et aux scientifiques et aux littéraires : elle fait partie, de fait, des sciences que l'on appelle humaines et des sciences que l'on appelle exactes. Son statut n'est pourtant guère double dans le sens où, par exemple, la médecine pourrait avoir un double statut, de « science » et d'« art », selon le point de vue que le médecin adopte : qu'on donne la priorité au physiologique ou au pathologique, au laboratoire ou au chevet du malade, aux explications ou aux remèdes, dans les deux cas on est souvent face aux mêmes phénomènes, aux mêmes problèmes, aux mêmes instruments - seul change ce qui est mis en avant ; ce n'est pas peu, la différence est peut-être même cruciale, mais les deux points de vue sur l'activité médicale peuvent être identifiés, confondus, voire négligés, du moins par le regard externe d'un sujet non médecin - notamment un chimiste, un biologiste, ou, à l'inverse, un patient. Or, il en est tout autrement pour les « deux logiques », celle qui est enseignée aux scientifiques et celle qui est enseignée aux littéraires. Il suffit de se glisser dans la salle de cours d'une classe préparatoire littéraire et dans la salle de cours d'une école d'ingénieur, au moment où dans les deux salles on parle de « logique », pour voir que tout y est différent : objets, problèmes, instruments, au point qu'on soupçonnerait une pure homonymie si on ne savait par ailleurs que les deux matières sont historiquement cousines ; un résidu est d'ailleurs là pour témoigner de ce cousinage : la proposition logique, qui surtout dans sa version implicative et quantifiée apparaît au tableau dans les deux salles de cours, tel un mot familier qui, surgissant dans un discours dit dans une langue inconnue, ne ferait que rendre l'incompréhension plus désespérée.

Il serait faux d'affirmer que la logique « des littéraires » - appelons-la pour l'instant logique littéraire - est seulement une logique « moins scientifique » car non ou moins mathématique, parce que victime de simplifications ignorantes ou de détournements idéologiques, ou simplement parce qu'arrêtée à un stade scientifique antérieur et dépassé : les deux logiques partagent certes le souvenir de certains précurseurs - Aristote, Frege, Russell...- mais le fait que la logique littéraire, au contraire de la logique des scientifiques, utilise souvent ces précurseurs comme de véritables autorités ne doit pas faire oublier qu'elle n'est pas la logique d'Aristote, ni celle de Frege ou de Russell. La logique philosophique, ancêtre commun des deux logiques, prétendait gouverner, en tant que science des lois de la pensée, l'activité linguistique et l'activité mathématique, activités également logiques en droit et relevant pourtant de la compétence de deux sciences absolument séparées de fait au vu de leurs objets et des relations qu'elles entretiennent avec les autres sciences ; la science linguistique, qui a comme objet la « langue », est un canon de rigueur pour les sciences humaines, auxquelles elle fournit les instruments de travail les plus rigoureux, alors que la science mathématique, qui a comme objet les structures mathématiques, est un canon de rigueur pour les sciences exactes. Il y aura donc, au vingtième siècle, une logique qui voudra rendre compte de l'activité mathématique, une logique mathématique dans sa méthode et dans ses résultats, et une logique qui voudra rendre compte de l'activité linguistique, une logique en somme linguistique. Il suffit de se figurer l'abîme de problèmes et d'intérêts qui sépare les lecteurs idéaux de deux ouvrages tels que le Zahlbericht de Hilbert et le Cours de linguistique générale de Saussure ces lecteurs idéaux qu'une science logique serait censée aider, méthodologiquement et heuristiquement - pour avoir une mesure de la distance, du moins initiale, entre les cahiers des charges respectifs de ces deux « logiques ».

1. Maintenant, s'il fallait dresser un court bilan

S'il fallait maintenant dresser un bilan scientifique, sûrement provisoire, du chemin parcouru jusqu'ici par les deux logiques, chacune dans son domaine, on verrait que les résultats sont décidément, et étonnamment, inégaux : de francs succès, parfois spectaculaires, du côté de la logique mathématique, et un constat qui paraît être désormais d'échec pour la logique linguistique - échec, rappelons-le, linguistique. En quel sens succès, en quel sens échec ?

1.1 En logique mathématique, un changement de point de vue

L'histoire des résultats acquis par la logique mathématique au cours du vingtième siècle - histoire qui est loin d'avoir dit son dernier mot - a été racontée, par ses acteurs [1] et par les philosophes [2] : nous en retiendrons quelques points essentiels. Le plus saillant est que les succès sont arrivés là où on ne les attendait pas ; l'objectif déclaré des premières recherches en logique mathématique était en effet de garantir le déploiement de la pensée mathématique, garantir que ce déploiement expansif d'une pensée qui s'explicite et se connaît par sa propre activité démonstrative se fasse d'une manière valide et complète : l'accent, dans cette activité démonstrative, est mis sur la proposition logique qu'on démontre, car c'est la loi générale qu'elle établit, cette loi qui devient norme, qui importe. Certes, la proposition nécessite une preuve, puisqu'on ne peut l'établir en toute rigueur qu'en la démontrant, mais la nature de cette preuve reste en fin de compte secondaire : une autre preuve aurait fait également l'affaire, car ce n'est pas tant l'échelle qui compte que le toit sur lequel on monte. Le formalisme à la Hilbert reflète d'ailleurs parfaitement ce rôle secondaire attribué à la preuve, dans l'agencement même, textuel, des formules qui la composent : celles-ci sont empilées, une par ligne - des lignes numérotées de haut en bas, à chaque ligne s'appliquant une règle logique, qui renvoie aux numéros des lignes où se trouvent les hypothèses utilisées ; la preuve ainsi écrite ne dit rien sur la façon dont elle a été trouvée : elle est rédigée, pour ainsi dire, au propre, sans ratures ni ratés, et donne l'impression que les conséquences surgissent presque par hasard des hypothèses - on ne trouve pas une démonstration, c'est plutôt la formule qui se trouve démontrée. Des normes découleront finalement - doivent découler - les procédures : si les preuves sont secondaires, le calcul sera, lui, un effet second. En somme, tout le sens est, dans cette première logique mathématique, du côté de la sémantique, c'est-à-dire des modèles, là où sont les « vrais » objets, les vraies structures mathématiques, ensemblistes et algébriques ; la syntaxe, partie ingrate du labeur logique, là où sont preuves et calculs, incarnés dans un formalisme et un codage qu'on voudrait par définition aveugles et arbitraires, ne pourra qu'être, quant à elle, privée de sens.

Les théorèmes d'incomplétude sanctionnent enfin l'échec de cette approche [3] : il y a des formules de l'arithmétique qu'on ne peut ni démontrer ni réfuter, et c'est là non pas un « paradoxe », mais un théorème en bonne et due forme ; on ne peut pas se fier à un déploiement démonstratif aveugle car - cela paraît pourtant évident a posteriori - il présente, justement, des points aveugles : très banalement, le fait qu'on n'arrive pas à savoir une chose ne veut pas dire qu'on sache le contraire.

En somme : le fait qu'après une longue épreuve toutes mes tentatives d'avoir aient échoué ne veut pas dire que j'aie une preuve de sa négation. Faire l'épreuve de l'échec oblige à s'interroger sur le pourquoi de l'échec, ce qui présuppose d'une part qu'on mette en avant la possibilité même de l'échec - possibilité qui, avec la complétude, aurait pu être, sinon passée sous silence, du moins mise en retrait - et d'autre part qu'on ne puisse plus faire semblant que les théorèmes et le flux démonstratif coulent de source, du sommet de la page vers la vallée : pour trouver un théorème il faut tout de même, normalement, qu'on en ait recherché la preuve. Le renversement du point de vue est très concret : on va inverser le sens de la lecture et de l'écriture de la preuve, et remonter du bas vers le haut ; on écrit d'abord la formule qu'on veut démontrer et on essaye ensuite d'en bâtir une démonstration, qui sera achevée une fois qu'on n'aura plus besoin, aux sommets, que de formules qu'on a effectivement à disposition par ailleurs - axiomes, lemmes déjà démontrés, hypothèses qu'on accorde. Si, après des détours et des ratures, on n'arrive pas à achever la démonstration, on aura obtenu tout de même quelque chose, ce même quelque chose qui n'avait pas droit de cité en démontrant à la Hilbert : une preuve incomplète. C'est un ratage, certes, mais un ratage où tout n'est peut-être pas à jeter, où l'on peut chercher localement ce qui coince ou ce qui manque. On va donc s'interroger sur la manière dont on construit la démonstration, et pour ce faire on va tenter d'écrire la démonstration de sorte qu'on puisse avoir toujours « sous les yeux » - à la ligne supérieure - les hypothèses qui auront produit chaque formule, au lieu de l'illisible renvoi aux « lignes correspondantes » de l'écriture hilbertienne : on aura donc une écriture des déductions dite naturelle, dans laquelle les formules bifurquent, donnant ainsi à la preuve l'aspect d'un arbre - un arbre où la racine est la proposition à démontrer et où les feuilles sont les axiomes. Ce style d'écriture des démonstrations, toutefois, ne permet pas d'avoir sous les yeux tout le « patrimoine héréditaire » d'une formule, c'est-à-dire les hypothèses qu'elle présuppose et qui la justifient - ce qu'on appelle le contexte ; on utilisera alors un autre style d'écriture, qu'on a baptisé calcul des séquents. Les deux styles ne s'excluent pas, au contraire, et d'ailleurs les deux sont dus à Gentzen ; leur choix, comme le choix de tout instrument, dépend de ce qu'on veut faire, à savoir de ce qu'on veut voir dans la structure de la démonstration.

Arbres, graphes : ce sont là des structures, des objets sémantiques. D'un côté la syntaxe « prend du sens », de l'autre la sémantique ensembliste, de fait, disparaît ; cependant il serait inexact de dire que la syntaxe « expulse » la sémantique : cette syntaxe n'est plus une « syntaxe » au sens ancien du terme, une syntaxe qui aurait comme objet la formule logique, car l'objet de cette nouvelle syntaxe est la démonstration entière. Et alors qu'avant on considérait la démonstration comme « contenant » des formules, ce sont maintenant les formules qui contiennent, tels les ensembles de l'ancienne sémantique, des démonstrations ; car une formule peut posséder plusieurs démonstrations, identifiables ou pas. Cette « syntaxe » est en même temps une syntaxe sémantique, mais aussi une sémantique syntaxique.

La nouvelle logique mathématique, cette logique qui a comme objet les démonstrations, n'évacue pas non plus l'ancien problème de la complétude des règles de la pensée : d'une manière assez inattendue, une idée claire et heuristique de complétude renaît des cendres des résultats d'incomplétude. Quel était le sens mathématique du théorème de complétude, exprimé en termes de théories (syntaxe) et de modèles (sémantique) ? Si on démontre que tout ce qui est vrai dans la sémantique est démontrable dans la syntaxe - c'est justement ça, en somme, la complétude - cela permet, dans les faits, de ne pas s'embêter avec de laborieuses preuves syntaxiques et de prendre des raccourcis du côté de la sémantique - là où on « voit » et où on manipule impunément les objets - avec la garantie que, si besoin est, on pourrait obtenir, de ce qu'on constate sémantiquement, une preuve syntaxique et explicite. Or, ce va-et-vient, qu'on voudrait vertueux, entre syntaxe et sémantique peut se traduire parfaitement dans un simple jeu d'interaction entre preuves, donc du seul côté syntaxique ; car une preuve peut bien sûr être construite avec les seules pièces qui composent la formule à démontrer, ses sous-formules : elle est alors tout à fait explicite - en forme normale - et clairement analysable ; mais on pourrait aussi introduire dans une démonstration des formules étrangères à la conclusion visée, quitte à s'en « débarrasser » chemin faisant. Bizarre démarche : pourquoi un tel détour ? Quel besoin y a-t-il d'introduire dans la démonstration un élément étranger, somme toute inutile à son économie et nuisible pour sa lisibilité ? Pourquoi ne pas construire directement une preuve explicite, sans rien d'inutile ni d'opaque - bref, sans détours ?

Les détours sont pourtant nécessaires ; il suffit de remarquer que dans le cas de l'implication ce que nous appelons « détour » n'est rien d'autre que le modus ponens, c'est-à-dire ce qu'on considère normalement comme le droit chemin de la déduction. À partir de et de j'obtiens comme conclusion , qui justement n'a pas comme sous-formule. , le moyen terme, a été introduit quelque part et ensuite, avant la conclusion, coupé - ainsi appelle-t-on cet enchaînement une coupure. Si j'ai besoin d'argumenter à propos de la mortalité des hommes et que je sais déjà que, d'une part, tous les animaux sont mortels et, par ailleurs, que les hommes sont des animaux, je ne m'entêterai pas à chercher un argument sur les causes de mort spécifiques des humains mais je me limiterai plutôt à assembler, à brancher, mes deux connaissances préalables. Faire un détour veut dire faire appel à une autre preuve, donc à un lemme : le détour est nécessaire car c'est finalement un raccourci. C'est d'ailleurs par ces raccourcis - par ces détours - qu'on raisonne dans ce bas monde : pour démontrer que je ne détaillerai pas tout le calcul, ce qui serait laborieux, sinon stupide, mais, si je suis futé, j'appliquerai plutôt le lemme général .

Si raisonner sans détour est donc, sinon impossible, du moins inhumain, il faut pourtant qu'on puisse les éliminer, ces détours - ces coupures - si besoin est : s'il est souvent nécessaire, faute d'espace, de renvoyer le lecteur, dans une note, à un passage d'un autre texte où un certain argument est démontré ou développé dans le détail, il faut cependant que ce passage existe, et qu'il parle vraiment de ce dont il est censé parler ; certes, le lecteur pourrait « faire confiance » et ne pas aller vérifier, mais dans le cas contraire l'auteur ferait preuve de maladresse, voire de cavalerie [4].

En somme, l'ancienne complétude externe, qui voulait que tout ce qui est obtenu par un détour sémantique soit démontrable syntaxiquement, devient une complétude toute interne, qui exige d'un bon système formel que tout ce qui est obtenu par un détour démonstratif, en faisant donc appel à une autre preuve comme lemme, soit démontrable d'une manière explicite, à savoir sans coupures. La différence est de taille : le fait qu'entre deux domaines de la pensée ou du savoir l'un soit « syntaxique » et l'autre « sémantique » n'est plus quelque chose de foncier et établi une fois pour toutes par la nature, plus ou moins explicite, des deux domaines - qui ferait que l'un serait le « méta » de l'autre - mais dépend seulement de la dynamique d'interaction des preuves, donc du problème particulier qui est posé ; on pourra avoir besoin d'un détour dans le domaine pour résoudre un problème posé dans le domaine , mais on pourra aussi utiliser un résultat de pour résoudre un problème qui appartient à : les deux cas ne s'excluent pas a priori. L'esprit de la complétude logique interne est donc décidément anti-réductionniste, et fournit contre tout réductionnisme un argument épistémologique peut-être crucial.

Ce tournant dans les recherches en logique mathématique que nous venons d'esquisser est défini par ses acteurs mêmes comme un tournant géométrique [5] : géométrique dans le sens très général qu'est géométrique ce qui est sensible au codage, et qui doit donc être compris non pas par une brutale traduction dans un système formel d'interprétation, mais en en observant plutôt le fonctionnement au cours de ses transformations - transformations qui laisseront invariantes certaines de ses caractéristiques (cf. [48, p. 343-4]). Dans le cas de l'objet géométrique « démonstration », sa mise à l'épreuve se fera par les interactions avec les autres démonstrations - c'est-à-dire par les coupures - et la dynamique de transformation sera donnée par la normalisation, c'est-à-dire par l'élimination de ces mêmes coupures ; cette logique géométrique sera donc aussi, dans ce sens assez général et en même temps assez précis, une géométrie de l'interaction (cf. [31]). La logique devient ainsi une véritable éthique de la communication, car la pensée logique n'est plus vue comme une pensée purement objective qui se déploie béatement en face d'elle-même, mais comme une pensée communicante, la pensée d'un sujet qui en communicant fait bien plus que « transmettre des informations » : il met à l'épreuve la connaissance qu'il a de l'autre et de soi-même, et ce faisant met, et se met, à l'épreuve.

Ce tournant est, en fin de compte, cognitif, car il met en avant, et éclaire, la distinction - épistémologiquement fondamentale - entre l'activité démonstrative et l'activité vérificative ; on ne « démontre » pas que , on le vérifie, et il n'y pas à être intelligent pour accomplir une tâche pareille : il s'agit de réécrire la chose qu'on a à gauche de l'égalité jusqu'à en obtenir une forme moins intéressante mais plus lisible - une forme normale - qu'on va donc comparer avec cette autre chose qu'on a à droite ; si les deux choses sont identiques (deux bâtonnets d'un côté, deux bâtonnets de l'autre), l'égalité est vérifiée. C'est là quelque chose de très « trivial », de très bête, donc de très fastidieux, et c'est seulement son caractère fastidieux qui peut rendre la tâche de la vérification - qui correspond à la normalisation des preuves par élimination des coupures - parfois très difficile. Ce qui rend par contre difficile la recherche d'une preuve est son caractère absolument non trivial : écrire un roman ou aller chercher la source d'un passage cité dans un texte, ce sont là deux activités qui ont un sens cognitif et épistémologique très différent.

La conséquence immédiate de cela est que le problème de la « vérité » est, sinon évacué, du moins mis en retrait : la vérité devient, pour paraphraser Leriche, « le silence dans la vie des concepts » ; la vérité se transmet silencieusement des hypothèses aux conséquences, mais c'est le sens inverse qui met à l'épreuve l'intelligence, ce même sens qui transmet le faux : une preuve de , qui permet d'obtenir à partir d'une preuve de une preuve de , est aussi, de fait, une preuve de , qui permet à l'inverse d'obtenir à partir d'une réfutation de une réfutation de ; car ce sont les mêmes raisons qui nous pousseront, par exemple, à affirmer qu'un homme doit être mortel ou bien qu'un immortel ne peut pas être un homme - tout dépend du sens de lecture de la démonstration. L'usage qu'on fait d'un même principe peut changer (en changeant le sens des flux de chaleur et de travail on aura, selon les cas, des machines aussi différentes qu'un réfrigérateur, un radiateur ou un moteur), aussi bien que le point de vue sur une même situation : si je suis en train de payer pour acheter quelque chose, le vendeur, lui, au même instant, est en train de vendre quelque chose pour encaisser. La preuve peut donc être vue non plus comme un arbre, mais comme un graphe, presque un circuit, avec des interrupteurs - les implications - et avec des rallonges pour brancher un circuit à un autre circuit - les coupures : dans ce nouveau style naturel d'écriture les démonstrations deviennent des réseaux, les réseaux de preuves ([26]) ; le calcul de séquents aussi se retrouve modifié pour mettre en avant - pour focaliser - la dynamique d'interaction entre preuves : c'est la ludique ([29]).

Ces deux nouveaux instruments, très heuristiques, sont dus au même logicien : Jean-Yves Girard.

1.2 Du logique au calcul, un détour didactique

La moralité cognitive de ce « tournant géométrique » rend compte d'une intuition très forte pour quiconque travaille professionnellement dans un certain domaine : ce n'est pas l'ampleur des données qu'on connaît, ni l'étendue de la palette d'outils qu'on a à disposition, ni surtout la quantité « d'erreurs » qu'on commet, qui fait la différence entre ceux qui savent et ceux qui ne savent pas, c'est-à-dire entre un expert et un profane. Non seulement un expert peut commettre des erreurs, mais il pourra même en commettre plus qu'un profane, parce que plus grande est sa maîtrise, plus grande sera sa prise de risques et plus grands et rapides seront les détours auxquels il se hasardera ; ce qui caractérise l'expertise, au contraire, est la possibilité de vérifier l'usage qu'on fait de ses instruments, ce qu'on peut faire seulement si on les maîtrise. Et maîtriser ce détour-qui-raccourcit qu'est l'instrument technique, c'est-à-dire en être le maître, veut dire précisément pouvoir l'éliminer, pouvoir s'en passer, si besoin est. Là où on n'arrive plus à éliminer les coupures, là commencent nos limites, nos besoins, nos dettes - là commence ce terrible bon rieur qu'est le réel. Et s'il n'y a pas de test sûr et rapide pour établir que quelqu'un est un expert, il y a par contre un test très rapide et certain pour établir que quelqu'un est un profane : celui qui prétend dans un certain domaine exhaustivité et absence d'erreurs, celui-là sera certainement, dans ce domaine, un profane.

La didactique donne, de cette moralité cognitive, des applications très concrètes, presque d'ingénierie (cf.[4]). Pour qu'il y ait succès pédagogique il ne suffit pas que l'élève sache répéter l'explication qu'on lui a donnée, ni qu'il montre qu'il sait appliquer sans erreurs la procédure apprise : dans le premier cas l'élève est une marionnette, dans le second un simple usager. Prenons un cas concret : imaginons des élèves de 13-14 ans auxquels on aurait expliqué la formule de résolution des équations de second degré ; l'enseignant, pour tester si les élèves ont « appris » ce qu'il a expliqué, donnera à la maison, ou sur table, des exercices : à savoir, des listes d'équations de second degré, à résoudre bien sûr en appliquant la formule apprise. La résolution répétée des exercices a aussi une utilité aux yeux de l'élève : cela lui permet de se familiariser avec la formule et, surtout, de la mémoriser ; car la mémorisation et la bonne application de la formule seront la preuve, pour l'enseignant et pour l'élève, du succès et de l'enseignement et de l'apprentissage. Or, un paradoxe se produit, bien connu par tout enseignant : les élèves, la plupart d'entre eux et non seulement les « mauvais », oublient la formule, et ce malgré le temps parfois important passé sur les exercices ; si l'élève est de bonne volonté, et c'est souvent le cas, il fera alors des efforts, souvent importants, pour « renouveler » le souvenir de la formule : il la répétera par exemple par cœur, il l'affichera au mur des toilettes, il pourra même développer des moyens mnémotechniques personnels parfois très compliqués, et reviendra, bien sûr, sur les exercices que l'enseignant lui avaient donnés après l'explication. D'une manière ou d'une autre l'élève y arrivera, mais le douloureux entretien de ce souvenir obstinément caduc ne lui évitera pas de rencontrer par ailleurs des difficultés dans la résolution des équations de troisième ou quatrième degré : les formules à retenir se multiplient, et d'ailleurs comment faire avec les équations de cinquième degré, puisque il n'existe pas, pour elles, de formule de résolution ?

Les très bons élèves, bien sûr, résolvent les équations de cinquième degré, et de degré supérieur, sans aucun problème, et ils le feront comme il faut : en appliquant tout simplement ce qu'on leur a enseigné sur les produits remarquables à, disons, 12 ans ; ces mêmes élèves, d'ailleurs, auront souvent dédié moins de temps que les élèves « moyens » à la résolutions des exercices donnés par l'enseignant, et n'auront aucun besoin d'afficher la formule de résolution des équations de second degré au mur des toilettes pour s'en souvenir : non qu'ils aient un don caché pour retenir les formules, mais parce que le fait d'oublier la formule ne leur pose aucun problème. Les bons élèves peuvent, s'ils ont un doute, retrouver la formule, ce qui est très simple justement avec la seule connaissance des produits remarquables : on prend l'expression ; on réécrit comme un carré d'un binôme en soustrayant ce qu'il faut, c'est-à-dire ; enfin, on rajoute et on traite le tout comme une différence de deux carrés.

Or, et c'est là un fait à remarquer, les élèves amnésiques connaissent très souvent assez bien les lemmes des produits remarquables, et peuvent même les appliquer dans le cas d'équations du type , ou , qu'ils considéreront cependant comme des « cas à part », voire comme des exceptions : avec une équation « normale » de second degré, « il faut appliquer la formule ». Et pourtant, le fait que la formule de résolution des équations de second degré résume finalement, d'une manière très raccourcie, une stratégie générale qui consiste à emboîter deux applications des produits remarquables, le fait qu'on puisse donc résoudre les équations de second degré sans forcément utiliser cette formule, ce fait leur a été démontré par l'enseignant au moment même où il a introduit la formule. Il le leur a montré, mais ils ne l'ont pas vu. Pour qu'ils le voient, il aurait fallu que l'enseignant rappelle d'une certaine manière les connaissances des élèves sur les produits remarquables, qu'il prenne en considération un cas particulier bien choisi, qu'il souligne, dans ce cas particulier, ce qui est particulier et ce qui est général, ce qui est négligeable et ce qui est remarquable, pour enfin reconnaître une stratégie générale et trouver la formule qui résume cette stratégie. Enfin : pour tester la compréhension des élèves, il aurait dû exiger non pas qu'ils se montrent capables de remplacer bêtement les coefficients d'équations données dans la formule de résolution, non pas qu'ils apprennent la formule par cœur, mais qu'ils sachent la retrouver, ce qui présuppose qu'ils puissent s'en passer. Tout cela, soulignons-le, n'a rien de trivial : la recherche de la bonne présentation d'une preuve, ainsi que de bonnes questions-tests, est aussi dure et non triviale que la recherche d'une preuve, car c'en est une. Mais pour que l'effort de l'enseignant soit fructueux, il faudra qu'il souligne d'abord que si on démontre un résultat mathématique ce n'est pas pour s'assurer qu'il est « vraiment vrai », ni parce qu'en mathématiques « il faut tout démontrer » : si on le démontre c'est parce que c'est dans la compréhension qu'on a de sa preuve que se cachent les usages qu'on pourra, ou qu'on ne pourra pas, en faire.

Les recherches les plus récentes des didacticiens des mathématiques et, surtout, de la physique [6], ont mis en avant les mêmes préoccupations méthodologiques que celles des logiciens. Le professeur de physique donne à ses élèves des instructions pour qu'ils puissent résoudre des problèmes « de la vie de tous les jours » - nous dirons : des problèmes macroscopiques - en appliquant des instruments qui « fonctionnent à tous les coups » : des équations mathématiques. Pour que l'élève applique de façon pertinente ces équations - pour que le détour se fasse d'une manière heureuse - l'enseignant distinguera les variables mathématiques avec des types différents, c'est-à-dire avec des grandeurs physiques hétérogènes, qui relient ce que l'élève peut constater, se figurer et mesurer au niveau macroscopique avec « ce qui se passe vraiment ». Ce qui se passe vraiment, là où seraient les « causes », se passe souvent à un niveau « inaccessible », microscopique, que l'enseignant se donnera la peine de faire voir « par induction » à partir d'expériences effectives ou imaginées, résumées par des dessins et par des diagrammes plus ou moins géométrisés. Or, une fois tout cela acquis, un fait a été remarqué dans l'enseignement de la physique, un fait qui justifie d'ailleurs l'existence même d'une science didactique : bien que l'enseignant donne des explications « vraies », claires et détaillées, et bien que l'élève arrive à résoudre les exercices parfois difficiles que l'enseignant lui donne, rien n'y fait : des erreurs inattendues sont commises dès qu'on pose aux élèves des questions inusuelles quoique « faciles ». Ainsi, dans un échantillon d'étudiants américains en début d'études universitaires - des étudiants, soulignons, en section de Techniques Supérieures d'Optique, qui ont reçu des cours substantiels en optique et qui ont montré qu'ils savaient résoudre correctement des problèmes d'optique géométrique concernant par exemple l'enchaînement de lentilles, la correction de l'anomalie de l'œil, etc - eh bien, à la question sur ce qui se passe si on enlève une lentille mince convergente positionnée entre un objet et un écran - écran où apparaît, grâce à la lentille, l'image inversée de l'objet - 40% de ces étudiants répondent qu'il y aura toujours une image affichée à l'écran ([50, p. 35]). Ils ne sont pas fourvoyés par leurs « sens » - ils savent très bien que les lampes ne projettent pas leurs images sur les murs qu'elles éclairent - ni par les films de science-fiction : ils ne font qu'appliquer sagement - aveuglément - les schémas géométriques qu'ils utilisent avec succès dans la résolutions des problèmes, ces mêmes schémas qui, pour aider les étudiants à appliquer les théorèmes de la trigonométrie, montrent des rayons qui partent des bouts des objets et qui « transportent » l'image sur l'écran. Pour rappeler aux élèves que l'image se forme par échantillonnage il faudra mettre en avant un autre schéma, où on montre un seul point et des rayons de lumière qui partent de lui dans toutes les directions - pas d'image possible si ces rayons ne se rejoignent pas quelque part. Mais penser à mettre en avant un tel schéma n'a rien de trivial.

On pourrait croire que le « schéma du seul point » est meilleur car plus « microscopique », donc plus détaillé et plus explicite que le schéma à objet entier. Ce n'est pas le cas : au contraire, ce sont les explications « explicites » données au niveau microscopique qui causent souvent les bugs pédagogiques les plus éclatants. C'est l'image des « électrons baladeurs » et du « courant » électrique qui pousse les élèves à raisonner séquentiellement avec les circuits électriques (les ampoules brilleraient plus fort à droite ou à gauche d'une résistance, selon qu'on suit le sens des électrons ou le sens du courant, (cf. [17]) ; et c'est en mettant en avant le niveau moléculaire, pourtant « existant vraiment », qu'on étaye l'idée que le frottement serait une pure force de résistance, voire une sorte de « colle ». Si le tiers d'un groupe d'étudiants universitaires en physique croit encore, après enseignement, que la pression hydrostatique agit seulement vers le bas et qu'elle dépend de la seule quantité d'eau située au dessus ([7]), cela veut dire finalement, comme le disent Laurence Viennot et Ugo Besson, « qu'il manque l'idée d'un mécanisme, avec une analyse des actions locales, qui permette d'expliquer l'établissement de l'équilibre, les étudiants n'arrivant pas à comprendre la situation physique » ([7, p. 46]). Prendre en considération les molécules d'eau ne sert à rien : car il faudra prendre en considération des éléments « assez petits » pour qu'on puisse négliger les variations macroscopiques dues au milieu, et « assez grands » par rapport au libre parcours moyens des molécules ; il va donc falloir bien choisir des « bons » éléments à un niveau intermédiaire, disons mésoscopique ([7]) : on se figurera l'eau comme étant formée, par exemple, de petites sphères élastiques, comme des balles de mousse. Elles n'existent nulle part, bien sûr, mais « ça fonctionne », avec l'effet collatéral de débarrasser l'élève de l'idée pernicieuse que les liquides seraient « incompressibles ».

Ce niveau mésoscopique et intermédiaire dont la nature est pourtant purement heuristique et donc « fictive », se charge de sens, telle la syntaxe des logiciens. Pour trouver le sens des forces de frottement, sens qui ne s'oppose pas forcément au sens du mouvement, on donnera aux aspérités des objets en contact une apparence de brosse (cf. [10]), ce qui permettra d'ailleurs de souligner le rôle propulseur fondamental du sol ; mais pour ce faire, il faut revenir autrement sur la troisième loi de Newton : pour montrer que celle-ci ne se confond pas avec les bilans de force, pour montrer qu'en somme, un homme qui vainc la « résistance » de la voiture qu'il pousse continue tout de même à subir de la part de cette voiture une « réaction » égale à la force qu'il applique, pour montrer cela il faudra arrêter de mettre en avant, comme exemples illustrant l'action-réaction, des situations d'équilibre. Mais aussi : après avoir vérifié qu'il n'y a pas de « forces veuves » dans le schéma qu'on aura dessiné - chaque action étant couplée à sa réaction - il faudra séparer les objets, même s'ils sont en contact « dans la réalité », car chaque bilan de force doit se faire sur chaque objet séparément. On obtient ainsi des schémas éclatés ([50]), qui permettent d'ailleurs de rappeler aux élèves que ce sont les interactions qui définissent les forces, car une force n'appartient pas à un objet mais qu'elle concerne toujours une interaction entre deux objets. On évitera ainsi, finalement, que l'élève confonde les sens des forces et les sens des mouvements - à condition qu'on mette en avant, de préférence, des situations où force appliquée et mouvement de l'objet n'ont pas le même sens...

On s'en doute : tout cela n'est pas trivial, et il ne suffit pas d'être bon physicien pour trouver les bons modèles didactiques, car il est question justement de trouver la manière d'éviter ces erreurs auxquelles un bon physicien ne songerait même pas.

Quoiqu'en disent certains didacticiens de la physique, il n'y a pas de « raisonnement commun » non-logique ou externe aux raisonnements scientifiques, venu d'ailleurs ou inné, qui serait sournoisement à l'œuvre dans les erreurs des étudiants : comme les recherches en didactique le montrent d'elles-mêmes, les erreurs les plus remarquables trouvent leurs explications les plus pertinentes dans le cours même, c'est-à-dire dans cette longue liste d'instructions - cet algorithme - que l'enseignant dresse leçon après leçon et que l'élève suit avec confiance. « Débugger » un échec pédagogique n'est pas une mince affaire : une incompréhension des circuits oscillatoires peut cacher des bugs du côté des ressorts, voire du côté de Galilée, et ce sont ces instructions mal comprises, mal comprises car souvent mal données, qui pousseront l'élève à maltraiter le formalisme algébrique : en additionnant grandeurs scalaires et grandeurs vectorielles, ou en changeant les signes des grandeurs dans les équations selon le résultat attendu, « puisque le formalisme est conventionnel ». Certes, une bonne compréhension des outils mathématiques met à l'abri ipso facto de certaines erreurs : mais la didactique des mathématiques n'est pas moins triviale, surtout si la logique reste, comme le dit Marc Rogalski ([47, p. 75]) « l'un des points aveugles de l'enseignement universitaire des mathématiques ».

Instructions, bugs, algorithme : après avoir introduit une analogie cognitive entre logique et didactique, nous avons élargi tacitement notre analogie à l'informatique et à la programmation. Ce n'est pas tout à fait injustifié, car il est certain que l'ordinateur est, parmi les élèves, le plus bête et le plus sage, donc le plus dur à instruire ; le programmeur doit vraiment « tout lui expliquer », et s'il y a un bug il serait comique qu'il s'en prenne à la mauvaise volonté de la machine. Nous pouvons cependant ne pas nous arrêter à la seule analogie et en dire enfin plus : une preuve est vraiment, mathématiquement, un programme, et un programme est vraiment, mathématiquement, une preuve. Ce véritable coup de théâtre épistémologique - dont on n'a guère perçu toute l'ampleur et que logiciens et informaticiens appellent discrètement isomorphisme Curry-Howard - éclaire d'une lumière nouvelle tout ce que nous avons dit précédemment sur la nouvelle logique « géométrique » ; si les preuves sont des programmes, les formules logiques deviennent des types ; les propositions à démontrer seront alors des spécifications, c'est-à-dire les cahiers des charges d'un problème qui attend sa solution - solution que sera la preuve enfin construite. Les deux sens d'écriture logique et informatique correspondent aux deux points de vue de l'enseignant et de l'élève : ou bien mettre sur le papier ce qu'on souhaite que le programme fasse et ensuite essayer d'écrire concrètement un programme qui fonctionne de la manière souhaitée ; ou bien se retrouver devant un « exemple donné » (une preuve non typée) et essayer donc d'en résumer une « moralité » (le typage).

Si les preuves sont des programmes, voire des termes fonctionnels (d'un langage très simple comme le lambda-calcul, par exemple), la coupure représente alors un programme qui reçoit un input, c'est-à-dire une fonction qui s'applique à un argument. L'élimination des coupures devient le calcul du résultat, voire le calcul tout court, et la complétude interne, cette belle garantie logique de bon fonctionnement, se traduit exactement dans la notion intuitive de procédure correcte que tout informaticien souhaiterait : tous les calculs se terminent et convergent (cf.[27]).

Si nous retournons maintenant dans la salle de cours de l'école d'ingénieurs que nous avons quittée il y a quelques pages, nous serons désormais en mesure désormais de comprendre les raisons pour lesquelles l'intitulé du cours était « Informatique théorique ». Aux résultats les plus importants des informaticiens en sémantique des langages fonctionnels, tels ceux obtenus à l'INRIA par Gérard Berry et Pierre-Louis Curien (à propos de la stabilité, du calcul séquentiel et du calcul en parallèle, du rôle sémantique de l'erreur : (cf [2, 5, 19]), répondent les résultats « cousins » obtenus par des logiciens, qui les étayent et les éclairent (cf. [6]) - notamment ceux obtenu par Girard : espaces cohérents, logique linéaire, le daimon de la ludique. La logique mathématique finit par recouvrer le rôle fondationnel qui lui était promis, mais d'une manière bien inattendue : en donnant droit de cité et sens à la partie la plus concrète, refoulée, honteuse, de la pensée mathématique. C'est peut-être là, d'ailleurs, le seul sens épistémologique qu'une fondation logique pouvait avoir.

1.3 Ce mélange confus qu'on trouve en linguistique - syntaxe et sémantique, pragmatique et logique

Après ce détour du côté de la logique mathématique, nous pouvons retourner maintenant à l'autre salle de cours, celle des étudiants littéraires. Nous remarquerons qu'il n'y a pas non plus, ici, d'enseignement de « logique » à proprement parler, sinon dans le cursus de philosophie ; la nature de ces cours de « logique philosophique » change cependant considérablement selon la nature des problèmes que les instruments logiques sont appelés à éclairer : à une logique des problèmes mathématiques, de compétence donc des philosophes « des mathématiques » s'oppose, presque, une logique des problèmes langagiers, qui étaye les recherches des philosophes « du langage ». L'opposition est bien illustrée par la nette divergence dans les choix respectifs des formalismes et des théories : les philosophes des mathématiques privilégient la théorie des ensembles, les structures ordonnées ou les diagrammes catégoriaux, alors que les philosophes du langage utilisent et introduisent souvent des logiques modales de toutes sortes et même, parfois, des « logiques » qui paraîtraient, aux yeux d'un mathématicien, franchement douteuses, telles que les logiques « non-monotones » ou « paraconsistantes ».

La portée des considérations et des résultats des logiciens « philosophes des mathématiques » étant à évaluer à la lumière des recherches des logiciens mathématiques, c'est donc sur les résultats des logiciens « philosophes du langage » qu'il faudra se pencher pour donner un jugement épistémologique de la logique « littéraire » - et ce, dans l'arène de la science linguistique. Ainsi, c'est bien dans les départements de linguistique qu'on étale les trésors de formalisme les plus impressionnants, car si la linguistique, de par ses problèmes et ses instruments, est dans les faits un modèle de rigueur pour les autres sciences humaines, il faut bien que son rôle de garante soit logiquement justifié - bref que les résultats linguistiques soient « logiques ».

La non-formalisation d'un résultat linguistique est, partant, souvent considérée comme une véritable absence de preuve, et donc comme une lacune de rigueur grave et rédhibitoire : cela oblige finalement les linguistes, même les plus rigoureux dans leur démarche « informelle », à évoquer immanquablement les outils logiques, fût-ce seulement pour traduire - c'est le cas de le dire : formellement - « en logique » leurs résultats, ou pour justifier la hardiesse de leur choix « non-formaliste ». Dans les autres domaines des sciences humaines, les notions et les concepts logiques étayent souvent des remarques très générales de méthode, et les invitations des enseignants à « éviter les contradictions » ou à « argumenter logiquement à partir des hypothèses » sont à comprendre normalement comme des invitations à n'utiliser que des instruments rigoureux et à tout justifier par ceux-ci - des instruments rigoureux spécifiques à chaque domaine, que les enseignants auront donnés aux élèves par ailleurs. Parmi ces instruments il y a parfois, effectivement, des instruments plus spécifiquement « logiques » : ainsi l'usage de la logique est-il traditionnellement très courant en rhétorique, ce qui n'est pas pour étonner, et on pourra par exemple, en critique littéraire, donner une idée de l'« ouverture » exégétique de l'œuvre littéraire en faisant grand étalage de « modèles à mondes possibles » ou de choses de ce style. Mais il ne faut pas être dupe : dans tous ces domaines qui ne relèvent pas directement de la science linguistique, la formalisation logique est présentée comme un outil de plus parmi d'autres, elle n'est pas requise, en somme, comme gage obligatoire de rigueur.

La logique littéraire est donc une logique de la raison linguistique : les charges étaient linguistiques et le constat de « mi-chemin » paraît désormais, nous avons dit, d'échec. Pour comprendre en quel sens on peut se hasarder à parler d'échec, il faut toutefois lever une ambiguïté sournoise qui risquerait de biaiser dès le début toutes nos considérations : en langue aussi il y a une syntaxe et une sémantique, qui ne sont absolument pas à identifier avec la syntaxe et la sémantique logiques, ni à réduire à celles-ci ; car d'une part ce qu'on entend aujourd'hui par syntaxe en logique mathématique n'a désormais rien à voir avec ce qu'on entend par le même mot en linguistique ; d'autre part parce que la syntaxe et la sémantique de la langue précèdent - historiquement, heuristiquement - les notions logiques analogues [7] : « syntaxe » et « sémantique » sont dès le début, en logique, des métaphores langagières, se nourrissant de l'analogie fondamentale entre logique et « langue bien faite ».

C'est d'ailleurs sur le modèle classique et scolaire de la grammaire qu'ont été pensés les premiers formalismes logiques « naïfs », disons « pre-Gentzen » ou « non-géométriques » : ceux-ci s'inspiraient du modèle de la grammaire en tant que science des règles et des normes dont découle, « de haut en bas », l'ensemble des phrases correctes - correctes parce que produites suivant le bon ordre syntaxique. Ce bon ordre syntaxique, étant propre à chaque langue, entretiendrait un rapport arbitraire, formel, avec « ce dont on parle », c'est-à-dire avec la sémantique : une sémantique qui sera considérée d'une certaine manière comme référentielle, car elle ferait référence aux « objets » du monde, à leurs propriétés et à leurs relations ; cette intuition langagière du rapport entre syntaxe et sémantique poussera les premiers logiciens à penser le codage comme une « traduction », voire une traduction formelle, le choix du formalisme syntaxique étant considéré comme conventionnel, donc arbitraire : la syntaxe recevra son sens de la sémantique, et sera garantie par une preuve de validité et de complétude - complétude sémantique. La sémantique logique « à la Tarski » résumera et étayera parfaitement cette analogie, en introduisant une nouvelle métaphore langagière : le méta-langage. Cette métaphore, illustrée par le célèbre exemple de l'énoncé « la neige est blanche », qui serait vrai si et seulement si la neige est blanche, s'appuie évidemment sur une analogie fondamentale entre « langage-objet » et discours rapporté, analogie qui exploite à son tour fondamentalement - et tacitement - le fonctionnement éminemment linguistique, car lié à la ponctuation, des guillemets, et confond, assez cavalièrement, « discours du locuteur » et « méta-discours » [8].

Deux malentendus se trouvent alors entremêlés. Quand des logiciens tels que Girard s'en prennent aux échecs des « linguistes » et de leurs approches « langagières », ils ne se réfèrent aucunement à Bally, à Benveniste ou à Ducrot, ni à leurs approches ; de la même manière, si des linguistes tels que Ducrot s'en prennent aux « logiciens » et à leurs approches « logicistes », ce ne sera certainement pas pour critiquer les résultats de Gentzen, de Prawitz ou de Girard : dans les deux cas, sous les étiquettes respectives de « linguistes » et de « logiciens » se cachent ceux qu'on appelle aujourd'hui philosophes du langage. Cependant - là est le deuxième malentendu - les critiques des logiciens et des linguistes contre ces philosophes du langage n'ont pas le même sens. Le blâme des logiciens a pour cible une certaine approche de la syntaxe logique, approche taxée - dans le sillage des critiques des intuitionnistes - de « langagière » car elle mettrait en avant l'objet « formule logique » et refoulerait l'objet « preuve », objet non-linguistique car « procédural ». D'une certaine manière, l'adjectif « langagier » devient, pour les logiciens, synonyme de formaliste [9]. L'approche que les linguistes appellent « logiciste », quant à elle, est une certaine approche de la sémantique de la langue : car le but des « linguistes logiciens », que nous sachions, n'est pas, ou n'est plus, de créer une nouvelle langue logique qui remplacerait les langues naturelles, mais au contraire d'expliquer et, surtout, de garantir la production des phrases correctes de la langue - garantie qui serait donnée par un détour du côté des calculs logiques, donc par une sorte de preuve de complétude externe.

L'échec d'une sémantique logique de la langue naturelle pourrait paraître à certains égards évident, car la réduction de la langue à des mécanismes « déductifs » serait pour beaucoup, sinon impossible, du moins non souhaitable. Ainsi, par exemple, la traductologie et la didactique des langues se passent-elles fort bien des formalisations logiques, et les travaux les plus récents des « nouveaux rhétoriciens » ([44]) posent désormais d'une manière très nette l'opposition et l'hétérogénéité absolue entre « argumentation » et « démonstration » (cf. [46]). À un niveau plus proprement linguistique, l'idée de l'inutilité sémantique des outils logiques repose généralement sur la conviction de la priorité de la pragmatique : les instructions de la langue pousseraient à chercher les « bons référents » dans le contexte, dans le co-texte ou dans le savoir préalable des locuteurs, sur la base de « principes minimaux ». Ces principes pourront être, par exemple, des principes de pertinence, de cohérence, d'économie, ou d'exhaustivité : principes d'une certaine manière « logiques », certes, mais qui peuvent rester dans une sorte de boîte noire cognitive.

Le cas des anaphores semble illustrer exemplairement cette démarche avant tout pragmatique : l'expression définie « la bière » pourra se référer à de la bière dont il a déjà été question dans le discours, mais restera compréhensible même si on n'a pas fait mention de bière précédemment : il suffit qu'on sache par ailleurs qu'il est question, par exemple, d'un pique-nique (le pique-nique n'a pas été un succès : la bière était chaude) ; en absence d'éléments discursifs utiles, on donnera alors à l'expression définie, « par inférence », un sens purement contingent (l'énoncé passe-moi la bière donnant par exemple, par sa seule énonciation, l'information nouvelle qu'il y a, quelque part, de la bière) ou purement générique (la bière désaltère). Un mécanisme pragmatique analogue serait à l'œuvre avec un temps tel que l'imparfait, qui contiendrait - parce qu'essentiellement anaphorique, ou parce qu'aspectuellement « imperfectif » - l'instruction d'aller chercher quelque part dans le passé un « ancrage temporel » ; dans l'énoncé Paul entra dans la pièce : Marie faisait la vaisselle, le moment passé « pertinent » coïnciderait par exemple avec l'entrée de Paul ; les imparfaits des complétives du discours indirect ou du discours indirect libre ne seraient finalement que des cas particuliers de cette instruction pragmatique. Enfin, une instruction pragmatique analogue - du type « cherche un fait qui ait un rapport non-contradictoire avec le fait donné » - aiderait à comprendre le connecteur logique par excellence, donc ; ainsi, selon les informations à disposition, l'énoncé Paul est donc parti pourra être compris soit comme un renvoi co-référentiel qui reprend ou résume une énonciation précédente concernant le départ de Paul, soit comme une conséquence qui découle d'une certaine situation donnée (il n'y avait plus de bière, Paul est donc parti), soit au contraire comme une hypothèse dont découlerait une situation donnée - ce que les philosophes du langage appellent, depuis Peirce, une abduction (son manteau n'est pas là, Paul est donc parti).

Le besoin de sortir les outils logiques de leur boîte, et d'intégrer explicitement la partie « extensionnelle » de la sémantique (objets dans l'espace, instants dans le temps) avec une partie « intensionnelle » référant aux concepts et à leur agencement déductif, se présente avec force dès qu'on se rend compte que certaines contraintes « logiques » résistent malgré le co-texte ou le contexte extralinguistique. Le fait qu'on puisse enchaîner l'énoncé j'arrivai dans un petit village avec l'église était sur une colline et non avec le centre commercial était sur une colline, quoiqu'un petit village puisse raisonnablement avoir un centre commercial, semble découler d'une loi « universelle » qui établirait un lien conceptuel, implicatif et général, entre « être un village » et « avoir une église », et non pas avec « avoir un centre commercial » (cf. [38]) ; de la même manière, on pourra formuler l'énoncé générique « le cardinal doit son obéissance au Pape » et non l'énoncé générique « le cardinal est vieux », bien que tous les cardinaux puissent être, et soient normalement, vieux, parce que seul le premier énoncé affirmerait un aspect définitionnel « du » cardinal (cf. [35]). Encore plus spectaculaire est le comportement « logique » de l'imparfait : si on peut enchaîner l'énoncé la police autoroutière arrêta Paul avec il roulait trop vite et non pas avec il roulait avec plaisir, bien qu'il soit tout à fait plausible que Paul roule avec plaisir au moment où les policiers l'arrêtent, c'est que la référence à un instant temporel dans le passé, seule, ne suffit pas : il faudra aussi un lien conceptuel entre les deux situations (cf. [36]) - le même lien conceptuel et logique qui serait mis en avant, après l'énoncé il la regarda, elle lui sourit par l'imparfait narratif deux mois après ils se mariaient et non par le plus « neutre » deux mois après ils se marièrent.

Là commencent les ennuis. Car on serait tenté de tout formaliser avec des lois logiques universelles ; mais comment distinguer alors, avec le seul quantifieur logique universel que fournit le calcul des prédicats, des expressions génériques pourtant linguistiquement très différentes comme le soldat français, les soldats français ou tous les soldats français ? En outre, il existe pourtant et heureusement des Italiens qui ne sont pas voleurs, des villages sans églises et des cardinaux qui n'obéissent pas au Pape : faut-il en résumer que la langue s'appuie nécessairement sur une sémantique conceptuelle faite de stéréotypes idéologiques et d'images d'Épinal ? Les tentatives de tout sauver en introduisant des systèmes logiques « avec exceptions » (cf. par exemple [16]) débouchent enfin sur des choses telles que des quantifieurs « quasi » universels, des « implicatures », des systèmes « non-monotones » ou déductifs mais seulement « par défaut », bref, de pures monstruosités logiques - car, malgré leur vernis logique, ces « formalisations » ne passent même pas l'épreuve minimale de logicité : l'élimination des coupures.

Tant pis, dira-t-on : la langue, produit hasardeux et contingent de l'histoire humaine, aurait la sémantique logique qui lui sied. Le besoin de se fier en dernière instance à une science grammaticale - une science des normes purement syntaxiques, propres à chaque langue, qui permettent de décider de la correction des phrases produites, voire de produire l'ensemble de toutes les phrases correctes - n'en ressortirait que renforcé. Ainsi, dira-t-on encore, ce n'est pas un hasard si c'est par des règles grammaticales syntaxiques, et non par des formalisations logiques, qu'on enseigne et qu'on apprend les langues. Or, pour étonnant que cela puisse paraître, c'est justement dans le cadre didactique de l'enseignement des langues, là où l'approche grammaticale semble pourtant bien « fonctionner », qu'apparaissent les points aveugles de la grammaire et, plus en général, d'une approche syntaxique « aveugle » aux phénomènes de la langue.

1.4 Encore un détour du côté du didactique - L'accord faussé de ceux participant au cours

Des problèmes que pose enseigner une langue

Qu'on imagine - l'exemple est tiré de notre expérience d'enseignement - un cours de langue italienne, donné à des élèves adultes d'origines linguistiques diverses, parmi lesquels un élève de langue maternelle française. La leçon du jour - les constructions pronominales de l'italien - est assez difficile : l'enseignant donnera donc d'une manière très étendue la définition grammaticale du pronom réfléchi ou réflexif et expliquera les cas de figure où la construction réflexive se présente (« action qui concerne le sujet, action dont le sujet est aussi l'objet », etc ), ainsi que ses contraintes syntaxiques - le fait, par exemple, qu'il faut la construire avec l'auxiliaire être. Pour illustrer tout cela il présentera finalement des exemples tirés du manuel ou inventés par lui : mi lavo (je me lave), mi alzo (je me lève), mi sveglio (je me réveille), etc. L'élève français, futé, remarquera d'une part que l'explication donnée par l'enseignant correspond à l'explication donnée par la grammaire française, d'autre part que les exemples choisis correspondent en français aussi à des constructions pronominales ; il acquiert donc l'assurance d'avoir « compris » comment fonctionnent les phrases pronominales, à savoir : exactement comme les phrases pronominales françaises, via une fonction qui traduit mot à mot les pronoms réfléchis français par les pronoms italiens (me mi, te ti, etc).

L'enseignant, toutefois, dans la suite de ses cours, prononcera aussi des phrases qui sont en italien absolument « normales », standard, comme mi bevo una birra (je me bois une bière). Une telle phrase, à coup sûr « familière » en français, ne troublera pas l'élève francophone : il ne la remarquera pas trop s'il est lui-même habitué à utiliser surtout le registre « familier », ou il pourra même apprécier le choix si c'est le type d'élève qui aime les enseignants « qui filent des trucs sympas à leurs élèves » ; il n'appréciera guère si au contraire il se convainc que l'enseignant fait passer pour des exemples d'italien « correct » des phrases de toute évidence « familières » : l'élève, qui pourrait être lui-même, par ailleurs, professeur de français, pourra même en arriver au jugement drastique que son enseignant est un mauvais enseignant, car il enseigne un italien familier, donc mauvais.

Les doutes de l'élève sur les qualités de son enseignant deviendront enfin une certitude quand celui-ci dira par malheur qu'une dame si è permessa - s'est permise - de faire quelque chose. L'erreur est grave et impardonnable, l'élève français le sait fort bien, car sur cette faute exemplaire et malheureuse les enseignants français de sa jeunesse auront insisté longuement : le participe passé ne s'accorde pas dans ce cas avec le pronom réfléchi « se » car celui-ci n'est pas un complément d'objet direct ; que l'enseignant italien, et avec lui absolument tous les Italiens, accorde en vérité le participe passé avec le sujet féminin, et ce à cause de la présence de l'auxiliaire être, cela ne sautera pas à l'esprit de l'élève français, car d'une part ses enseignants français lui auront dit que ce verbe être est en vérité un verbe avoir [10], d'autre part parce qu'il est naturel, pour lui comme pour tout Français scolarisé, qu'un cas litigieux concernant le participe passé « s'explique » par une histoire d'accord ou de non-accord avec le complément d'objet direct : problème négligé en italien car considéré comme banal, mais ô combien central, formellement, dans l'apprentissage scolaire de la langue française.

L'élève français résumera donc - au choix - que son enseignant est définitivement un illettré et qu'il vaudra mieux en changer, ou que la langue italienne est définitivement une langue moins logique que la langue française - puisqu'elle ne respecte pas ses propres principes grammaticaux. Sûr et fort de ses raisons, il dira donc, en parlant en italien à un interlocuteur italien, qu'une dame s'est permesso de faire quelque chose, et son interlocuteur, grand seigneur, passera outre, car il est normal que des étrangers commettent des fautes dans une chose aussi difficile que ... l'accord du participe passé avec le sujet du verbe être. Le malentendu est d'autant plus remarquable que la règle « française » de l'accord du complément d'objet direct n'est que la traduction d'une règle grammaticale italienne, introduite en France en tant que règle italienne par les poètes et enfin validée, non sans maintes discussions, par les grammairiens [11]. Si dans un cours d'italien pour étrangers l'enseignant ne ressent pas le besoin de s'arrêter sur l'accord du « c.o.d. » c'est qu'il ne s'agit pas d'un point sur lequel on aurait besoin de s'arrêter dans un cours d'italien pour Italiens - et on n'aurait pas besoin de s'y arrêter parce que dans une langue comme l'italien, où on entend toujours à l'oral l'accord en genre du participe passé, un enfant qui aurait acquis au moins la capacité de distinguer le masculin du féminin ne pourra jamais commettre une erreur pareille [12] Au contraire, c'est bien parce qu'il s'agit d'une « faute » que les natifs francophones commettent souvent et normalement que l'enseignant français d'un cours de français soulignera la nature fautive de phrases comme Cunégonde s'est permise de ; et si la plupart des grammaires françaises peuvent stigmatiser de telles phrases pourtant normales et cohérentes avec le fonctionnement de la langue française, c'est pour des raisons bien précises : par exemple, parce qu'il n'y a environ que soixante-dix verbes en français dont on puisse distinguer, à l'oral, l'accord du participe passé - et de cette poignée de participes passés « pertinents », à peine une dizaine (faite, dite, mise, prise ...) sont effectivement attestés dans l'activité normale des parlants (cf. [8, p. 150]).

L'accord du participe passé joue donc un rôle tout à fait marginal dans le fonctionnement effectif de la langue française, mais cela n'est aucunement en contradiction avec le rôle central que cette règle a acquis dans l'enseignement de langue française aux parlants français ; car ceux-ci savent déjà parler français quand ils reçoivent leur premiers cours de grammaire : ce qu'ils apprennent en vérité est le bon usage du français, c'est-à-dire à parler comme il faut quand il faut et à ne pas parler comme il ne faut pas quand il ne faut pas, bref, à ne pas mettre en avant leur âge, leur éducation, leur origine géographique ou sociale - et ce, en apprenant par exemple à parler sans accent ou sans régionalismes, à ne pas oublier le « ne » de la négation, ni l'accord du c.o.d., etc. Mais si un natif d'une langue apprend, par l'enseignement scolaire de cette même langue, à se distancier, si besoin est, de son propre niveau langagier familier et privilégié, et à s'approprier d'autres niveaux - premièrement ce niveau socialement très important qu'est le niveau qui se donne comme énonciativement « neutre » - un non-natif, au contraire, voudra sortir d'un niveau langagier purement « informationnel » pour arriver, dans la langue étrangère, à se mettre en avant énonciativement comme il le ferait dans sa langue maternelle, à entretenir avec les parlants natifs un rapport familier, fait d'exclamations, d'ironie, d'allusions. Dans un cours de langue, partant, les questions que poserait ou se poserait un élève non-natif de cette langue paraîtront aux natifs soit triviales soit dépourvues de sens ; inversement, les réponses qu'un enseignant peut donner aux questions posées par les natifs d'une langue à propos de cette même langue se révéleront tout à fait inutiles pour les élèves non-natifs.

Revenons maintenant à notre français italianisant. Ses déboires ne se limiteront pas à l'énonciation de phrases fautives mais toujours compréhensibles comme la signora s'è permesso (cf. supra, p.27). Il pourra se retrouver par exemple dans la situation de vouloir dire, en italien, qu'il « met ses chaussures » : il traduira donc mot à mot à partir du français, en se rappelant ce que l'enseignant lui a dit à propos de l'adjectif possessif en italien, à savoir « qu'il faut toujours faire précéder l'adjectif possessif par l'article : mon livre IL mio libro ». L'énoncé français je mets mes chaussures sera donc traduit par l'élève par l'énoncé italien metto le mie scarpe, sans qu'il se rende compte qu'en ajoutant une chose aussi forte que l'article défini il dit beaucoup plus que quelque chose sur « ses chaussures » : il met en avant qu'il est question de ses chaussures, « les siennes », et pas celles de quelqu'un d'autre - effet de sens pourtant prévisible, vu que l'article défini fonctionne de la même manière en italien et en français. L'adjectif possessif français tout seul n'est pas là pour mettre en avant la possession, mais plutôt pour dire qu'il s'agit de chaussures qui sont « chez-moi », donc « sur moi ». C'est justement ce rôle que joue d'une manière essentielle le pronom réflexif italien, et c'est pour cette raison qu'en italien on se met les chaussures, on se regarde des films, on s'enlève le manteau, on s'emmène des amis. De fait, « se mettre » et « mettre » sont, en italien, deux verbes très différents avec deux sens très différents : se mettre quelque chose dessus, pour le premier ; mettre quelque chose quelque part, c'est-à-dire poser quelque chose, pour le second.

L'énoncé metto le mie scarpe que l'élève français prononce avec l'intention de traduire en italien l'énoncé français je mets mes chaussures se traduit donc bien autrement : je vais poser (quelque part) mes chaussures à moi, pas celles de quelqu'un d'autre. La phrase n'est pas fautive : elle a tout simplement un autre sens, qui sera communiqué « avec succès » à l'interlocuteur italien et retenu comme information par celui-ci si rien dans le contexte d'énonciation ne le pousse à soupçonner que le locuteur voulait en réalité dire autre chose. Le malentendu se boucle et s'installe définitivement en inversant les rôles : si l'italien dit mi metto le scarpe (je me mets les chaussures), l'allocutaire français, pourtant incapable, comme on vient de le voir, de produire cet énoncé car dupé par la traduction mot à mot, le comprendra dans son vrai sens ; il le comprendra, parce qu'en français aussi, pour peu que les enseignants français aient envie de l'accepter, la construction pronominale est utilisée, normalement et, surtout, productivement, pour « se faire des choses », et pas seulement pour « se boire des bières » : on s'approprie, on s'empare, on se saisit, on se permet ... Bien qu'il ait compris que son interlocuteur italien « se met les chaussures », le locuteur français répliquera tout de même que lui aussi rangera quelque part ses chaussures à lui.

Résumons : le professeur effectue une réduction de sa propre langue à l'ordre normal ou standard établi dans le manuel et dans la grammaire qu'il suit, ordre normal ou standard que le cours va recopier et reproduire dans les productions orales et écrites des élèves. La preuve du succès du cours résidera pour l'enseignant dans le fait que les élèves arrivent à rendre des exercices, oraux ou écrits, bien faits, en appliquant bien les règles et le vocabulaire enseignés aux situations, elles aussi standard et choisies par l'enseignant ou par l'auteur du manuel, qui sont censées résumer exemplairement « les usages de l'italien » : commander une pizza, écrire une carte postale de Venise, demander le chemin pour la Tour de Pise, dire à quel point la mafia est un problème, dire à quel point Fellini est un génie. L'enseignant se contentera donc d'obtenir des élèves qui réussissent à faire et à comprendre tout ce qui est évident - des élèves donc pas mauvais - et ne s'inquiétera pas du fait que ces mêmes élèves, puisqu'ils n'arrivent pas à faire ou à comprendre des choses non évidentes qu'après coup, jamais sans que l'enseignant les corrige ou leur explique, ne sont pas forts non plus ; cela ne l'inquiétera pas car ce ne sera pour lui qu'une preuve du fait que ses élèves ont besoin de continuer le cours - véritable dette inextinguible contractée vis-vis de l'enseignant et qui paraît normale, aux yeux des élèves aussi, puisqu'ils ne sont pas de langue maternelle et qu'ils ne peuvent donc pas « être aussi forts » que quelqu'un qui a appris la langue « naturellement ».

L'élève, à son tour, effectuera pendant le cours une traduction mot à mot de l'ordre syntaxique standard enseigné par l'enseignant dans l'ordre syntaxique standard auquel il sait par ailleurs réduire sa propre langue : content et convaincu de parler, toujours mieux, italien, alors qu'il est toujours en train de parler un mauvais français avec des mots italiens.

Le cours pourra donc « progresser » dans la pleine satisfaction de ses acteurs sans qu'il y ait de véritable « apprentissage » de la langue ni de véritable « enseignement ». Il suffirait pourtant de très peu pour sortir de cette impasse : par exemple, que l'enseignant souligne que « se faire des choses » n'est pas forcément familier en italien, pour ensuite mettre en avant ces usages français des pronoms réfléchis que les francophones ne « voient » pas forcément. Le professeur pourrait, en somme, apprendre à l'élève à faire de « bons détours » du coté de sa langue maternelle pour ensuite les éliminer et « rester » dans la langue apprise. Mais pour ce faire - pour que l'enseignant puisse remettre en question ce que l'élève croit comprendre de la langue qu'il apprend, ainsi que ce qu'il croit savoir de sa propre langue maternelle, pourtant pour lui « d'usage évident » - il faudra que l'enseignant apprenne à voir le cours et sa propre langue avec les yeux de l'élève.

Cela n'a, on s'en doute, rien de évident : un cours d'italien pour francophones ne pourra pas être fait de la même manière qu'un cours d'italien, par exemple, pour anglophones. Mais si la conception du « bon cours de langue » n'a rien d'évident, on aura acquis au moins une certitude : le cours le plus sûrement voué à l'échec pédagogique est justement ce cours qui paraît le plus transparent, à savoir le cours en immersion totale. Sorte de pièce de théâtre où l'on exige que l'enseignant « oublie » que ses élèves parlent d'autres langues et donne le même cours qu'il donnerait à des Italiens, voire à des enfants italiens - un « cours pour enfants italiens » qui refoule d'ailleurs le fait que les enfants italiens savent déjà parler italien - le cours en immersion totale se présente comme une véritable pantomime qui imite la situation, considérée comme « idéale », d'immersion dans la langue. Dans cette situation, grâce à un natif qui « joue le jeu » (l'enseignant), les élèves peuvent se flatter de parler italien parmi les Italiens, voire d'être italiens, alors qu'ils ne « sortent » jamais de leur langue - en somme, on fait semblant d'avoir atteint dès le début du cours ce qui devrait en être, au contraire, le but ultime : l'oubli, de la part de l'élève, de sa propre langue.

Mais le refus du cours en immersion totale présuppose un refus plus fondamental : le refus, voire le renversement, d'un certain point de vue sur la syntaxe de la langue, si bien illustré, par exemple, par les approches linguistiques « à la Chomsky ». On rejoint là, enfin, le tournant « géométrique » accompli par les logiciens mathématiques : ne pas voir dans l'agencement syntaxique le déploiement de règles qui permettraient de produire aveuglément, de haut en bas, l'ensemble des phrases correctes et de transmettre ainsi les « vraies informations », mais mettre en avant, au contraire, la possibilité de l'échec, de l'incompréhension. Cela implique qu'on voie, dans le discours du locuteur, la construction du bas vers le haut d'une stratégie qui lui permette de faire comprendre à son interlocuteur ce qu'il voudrait qu'il comprenne - ce qui n'est ni mécanique, ni trivial, exactement comme l'écriture d'un algorithme qui accomplirait une spécification donnée. Deviennent donc pertinentes les raisons qu'on a de transmettre certaines informations et, surtout, la manière dont on le fait.

Conclusion. - Du logique jusqu'à l'énonciation, la signifiance, le philologique

La syntaxe linguistique, comme jadis la syntaxe logique, se charge ainsi de sens, devient elle-même « sémantique » ; et si le tournant logique a été, comme nous l'avons vu, « géométrique », dans le sens qu'il a mis en avant ce qui est sensible au codage, le tournant linguistique analogue ne pourra qu'être stylistique, voire poétique et argumentatif, puisque c'est bien la partie créative, stylistique et argumentative de l'activité langagière qui est sensible à la paraphrase. La science linguistique achève ainsi le même renversement fondationnel vécu par les recherches logiques : dans les décennies où les logiciens prétendaient fonder, par une syntaxe aveugle, l'activité mathématique et ses « paradoxes », les grammairiens français, en confondant bon français et français correct, prétendaient réduire le style à la syntaxe et fonder, grammaticalement, l'activité littéraire et ses « perversions du bon français » : les phrases averbales de Loti, les luisants des parapets des Goncourt, le Monsieur Teste de Valéry qui se voit se voir, jusqu'au puriste Gide et à ce « maître d'erreurs » que devient, sous la plume de Léon Daudet, l'ancien maître de style Gustave Flaubert [13]. De cet échec fondationnel surgiront les recherches de Bally qui, tout en libérant la linguistique du « préjugé littéraire », mettra enfin en avant la nature éminemment stylistique de la syntaxe.

Ce tournant argumentatif est aussi, essentiellement, philologique, car c'est bien en philologie qu'on a compris - après les échecs de la méthode de Lachmann et depuis les recherches de Paris, de Bédier et de Pasquali, jusqu'aux travaux de Contini et ceux, plus récents, de Cerquiglini - que la compréhension d'un document ne passe pas par le simple « redressement » des erreurs de sa transmission ni par l'établissement de son texte prétendument vrai et original, mais au contraire par la construction - hautement non-triviale - d'un instrument qui permette d'interroger son véritable sens, donné par sa tradition et par sa vie dans les siècles, c'est-à-dire par ses interactions avec les autres documents ; cet instrument sera l'édition, littéralement, critique du document. Benveniste saura tirer, en linguistique, des conclusions éclairantes à partir des leçons des philologues, ainsi qu'un concept linguistique très philologique : celui d'énonciation [20] et notamment [41], qui met en avant le rapport nécessaire, et non pas de correspondance arbitraire - dans le sens de « conventionnelle » - entre signifiant et signifié. Rapport, interne à un système, de signifiance - qui ne peut que s'opposer à un rapport externe de complétude entre « structures ». Plus qu'entre deux héritages saussuriens, c'est enfin entre deux lectures décidément incompatibles de Saussure - entre un Saussure de la signifiance, d'une langue vue comme système [39, 40], et un Saussure d'une langue vue comme structure, dont on a grossièrement croqué, pour mieux s'en réclamer ou pour mieux le réfuter, un portrait posthume en structuraliste - que les résultats des logiciens permettent désormais de trancher, nécessairement.

Que la philologie et la poétique puissent finalement être à la linguistique ce que l'informatique est à la logique ne devrait pas étonner. Encore moins étonnant devrait être le fait que la possibilité d'une approche véritablement logique dans le langage soit finalement à chercher dans les travaux de ces linguistes qui, dans le sillage d'un Saussure « non-structuraliste » et de Benveniste, revendiquent un farouche anti-logicisme. Anti-logicisme, par exemple, au nom d'une sémantique du rythme non sémiotique, sérielle et poétique, ou anti-logicisme d'une sémantique énonciative non référentielle, polyphonique et argumentative - nous entendons les travaux du regretté Henri Meschonnic [14], d'Oswald Ducrot [23, 22, 21], mais aussi ceux, plus récents, de Marion Carel [11]. But that is another story.

Références

[1] V. M. Abrusci, Logica. Lezioni di primo livello, Rome, CEDAM, 2009.

[2] R. Amadio, P.-L. Curien, Domains and Lambda-Calculi, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 1998.

[3] D. Apothéloz, « Le passé surcomposé et la valeur de parfait existentiel », French Language Studies, 20 : 105-126, 2010.

[4] M. Artigue, « Ingénierie didactique », Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 9, 3 : 281-308, La pensée sauvage éditions, 1990.

[5] G. Berry, P.-L. Curien, « Sequential algorithms on concrete data structures », Theoretical Computer Science 20 : 265-321, 1982.

[6] G. Berry, Penser, modéliser et maîtriser le calcul informatique, Paris, Collège de France - Fayard, 2009.

[7] U. Besson, L. Viennot, « Modèles à l'échelle mésoscopique dans l'enseignement de la physique : exemples du frottement solide et de la pression dans les fluides », in [52], pp. 29-59, 2008.

[8] C. Blanche-Benveniste, Ph. Martin, Le français. Usages de la langue parlée, Leuven-Paris, Peeters, 2010.

[9] M. Bréal, Essai de sémantique (science des significations), Paris, Hachette, 1897.

[10] H. Caldas, « Les étudiants et le sens des forces de frottement solide. Le modèle de la brosse », Bulletin de l'Union des Physiciens, 822 : 471-485, 2000.

[11] M. Carel, L'entrelacement argumentatif. Lexique, discours et blocs sémantiques, Paris, Honoré Campion, 2011.

[12] N. Catach, Les Délires de l'orthographe, Paris, Plon, 1989.

[13] B. Cerquiglini, La parole médiévale. Discours, syntaxe, texte, Paris, Éditions de Minuit, 1981.

[14] A. Chervel, Histoire de la grammaire scolaire (1ère éd. Et il fallut apprendre à écrire à tous les petits Français), Paris, Payot, 1977/1981.

[15] J.-Cl. Chevalier, Histoire de la syntaxe. Naissance de la notion de complément dans la grammaire française (1530-1750), Genève, Droz, 1968.

[16] R. Clark, « Prima facie Generalizations », in Conceptual Changes, G. Pearce et P. Maynard eds., Dordrecht, D. Reidel, pp. 42-54.

[17] J.-L. Closset, « Les obstacles à l'apprentissage de l'électrocinétique », Bulletin de l'Union des Physiciens, 716 : 931-949, 1989.

[18] G. Contini, Breviario di ecdotica, Turin, Einaudi,1992.

[19] P.-L. Curien, « Playful, streamlike computation », Chengdu, Proc. Int. Symp. on Domain Theory, Kluwer, 2001.

[20] G. Dessons, Émile Benveniste, l'invention du discours, Paris, In Press, 2006.

[21] O. Ducrot et al., Les mots du discours, Paris, Éditions de Minuit, 1980.

[22] O. Ducrot, Le dire et le dit, Paris, Éditions de Minuit, 1980.

[23] O. Ducrot, Dire et ne pas dire, Paris, Hermann, 3e éd. aug., 1998.

[24] S. Feferman, In The Light of Logic, Oxford University Press, 1998.

[25] L. Foulet, « Le développement des formes surcomposées », Romania, 51 : 203-252, 1925.

[26] J.-Y. Girard, « Linear Logic », Theoretical Computer Science, 50 : 1-102, 1987.

[27] J.-Y. Girard, P. Taylor, Y. Lafont, Proofs and Types, Cambridge University Press, 1989.

[28] J.-Y. Girard, « Du pourquoi au comment : la théorie de la démonstration de 1950 à nos jours », in Jean-Paul Pier ed., Developments of Mathematics 1950-2000, Birkhauser, 2000.

[29] J.-Y. Girard, « Locus Solum », Mathematical Structures in Computer Science, 11 : 301-506, 2001.

[30] J.-Y. Girard, Le point aveugle, Cours de Logique, tome I, [Vers la perfection], Paris, Hermann, 2006.

[31] J.-Y. Girard, Le point aveugle, Cours de Logique, tome II, Vers l'imperfection, Paris, Hermann, 2007.

[32] J.-Y. Girard, « La logique comme géométrie du cognitif - Manifeste », in J.-B. Joinet ed., Comptes-rendus de la table ronde de la Sorbonne, Avril 2003, Paris, Presses de la Sorbonne, 2007.

[33] J.-Y. Girard, Titres et travaux, téléchargeable à la page web iml.univ-mrs.fr/ girard/Articles.html, février 2009.

[34] Cl. Gruaz, sous la direction de, L'accord du participe passé - Études pour une rationnalisation de l'orthographe française, quatrième fascicule, Limoges, Lambert Lucas, 2012.

[35] G. Kleiber, L'article LE générique. La généricité sur le mode massif, Genève, Librairie Droz, 1990.

[36] G. Kleiber, A.-M. Berthonneau, « Pour une nouvelle approche de l'imparfait : l'imparfait, un temps anaphorique méronomique », Langages, 112 : 55-73, 1993.

[37]G. Kleiber, Nominales. Essais de sémantique référentielle, Paris, Armand Colin, 1994.

[38] G. Kleiber, L'anaphore associative, Paris, Presses Universitaires de France, 2001.

[39] H. Meschonnic, Le signe et le poème, Paris, Gallimard, 1975.

[40] H. Meschonnic, Pour la poétique V - Poésie sans réponse, Paris, Gallimard, 1978.

[41] H. Meschonnic, « Seul comme Benveniste ou Comment la critique manque de style », Langages, 118 : 31-55, 1995.

[42] M. Meyer ed., Perelman, le renouveau de la rhétorique, Paris, Presses Universitaires de France, 2004.

[43] Fr.-J.-M. Noël, Ch.-P. Chapsal, Nouvelle grammaire française, Paris, Vve Nyon Jeune, 1823 (80 éditions jusqu'en 1889).

[44] C. Perelman, L. Olbrechts-Tyteca, Traité de l'argumentation. La nouvelle rhétorique, 1ere éd. Paris, Presses Universitaires de France, 1958 ; Bruxelles, de l'Université de Bruxelles, 1988.

[45] G. Philippe, Sujet, verbe, complément. Le moment grammatical de la littérature française (1890-1940), Paris, Gallimard, 2002.

[46] C. Plantin, « Sans démontrer ni (s')émouvoir », in [42], pp. 65-80, 2004.

[47] M. Rogalski, « Les rapports entre local et global », in [52], pp. 61-87, 2008.

[48] S. Tronçon, Dynamique des démonstrations et théorie de l'interaction, Thèse de doctorat, Université Aix-Marseille I -Université de Provence, 2006.

[49] D. Trudeau, Les inventeurs du bon usage (1529-1647), Paris, Éditions de Minuit, 1992.

[50] L. Viennot, « Bilan des forces et lois des actions réciproques », Bulletin de l'Union des Physiciens, 716 : 951-970, 1989.

[51] L. Viennot, Raisonner en physique. La part du sens commun, Bruxelles, De Boeck Université, 1996.

[52] L. Viennot ed., Didactique, épistémologie et histoire des sciences, Paris, Presses Universitaires de France, 2008.

[53] M. Wilmet, Le Participe passé autrement : protocole d'accord, exercices et corrigés, Paris-Bruxelles, De Boeck-Larcier, 1999.

[1] La plupart des travaux et des articles publiés par Jean-Yves Girard ces vingt dernières années s'accompagne d'un grand effort de contextualisation rétrospective des résultats obtenus, effort qui a une visée non spécialement historique mais heuristique et, surtout, polémique, pour remettre en cause l'histoire de la logique telle qu'elle est enseignée par les « logiciens philosophes ». Cf. [28] et [33]. Ce dernier inclut une bibliographie exhaustive des travaux de Girard.

[2] Cf. notamment la thèse de Samuel Tronçon, [48]

[3] Bien sûr, certains logiciens (cf. par exemple [24]) poursuivront, et poursuivent aujourd'hui encore, des recherches pour « fonder les mathématiques », mais leur échec épistémologique, dans les faits, demeure : ces mathématiques abstraites et « trop infinies » qu'ils voudraient fonder se passent fort bien de leurs efforts fondationnels, voire les négligent tout à fait. Douady par exemple, dans son Algèbre et mathématiques galoisiennes, manuel de vraies mathématiques infinies s'il en est, dédie à peine une page (p. 21) à la « difficulté d'ordre logique » que représente la possibilité de considérer l'ensemble de tous les ensembles. Il rassure alors le lecteur en postulant « un grand fourre-tout » qui serait un Univers et non pas un ensemble, solution qu'il déclare préférer à la distinction entre classes et ensembles, et c'est tout ; il pose - et résout - donc le problème comme on l'aurait fait dans les années 1930, sans besoin d'aller plus loin : plus qu'un problème, une avocasserie grammaticale, qu'il aborde une fois pour toutes pour éviter qu'on lui cherche chicane, et dont il ne parle plus dans tout le reste du livre. Car il faut bien qu'il passe à ce qui intéresse le lecteur, c'est-à-dire les algèbres de Galois.

[4] D'ailleurs, effectuer une « coupure textuelle » comporte un risque : que le lecteur peu discipliné s'égare dans la lecture du texte auquel nous l'avons renvoyé, sans ne jamais terminer la lecture de notre texte.

[5] Cf. le Manifeste [32] du groupe LIGC (Logique et Interaction : vers une Géométrie de la Cognition) rédigé par Girard.

[6] Cf. le désormais classique [51].

[7] Nous renvoyons, sur la syntaxe, au fondamental [15] ; sur la sémantique, cf. [9], qui en introduit la notion même.

[8] Les exemples de sémantiques où la différence entre les « méta-niveaux » est illustrée par l'usage de langues différentes ou de polices de caractère différentes, ne font qu'exploiter, bien sûr, d'autres phénomènes de polyphonie linguistique.

[9] Cf. [48, pp. 51-82].

[10] Pour une systématisation d'école de cette « furieuse gymnastique de substitution d'avoir à être » [53, p.66], véritable tour de magie remontant à Port-Royal, cf. la grammaire scolaire de Noël et Chapsal [43], qui établit la règle scolaire de l'accord du c.o.d. avec le participe passé telle qu'on la connaît.

[11] C'est le poète Clément Marot, cité inlassablement par tous les grammairiens en guise d'autorité, qui donne pour la première fois la règle en France, sous François I : « Enfants, oyez une leçon : / Noste langue ha ceste façon / Que le terme qui va devant / Voluntiers regist le suivant / [...] / Il faut dire en termes parfaictz : / Dieu en ce monde nous ha faictz / Fault dire en parolles parfaictes / Dieu en ce monde les ha faictes / Et ne faut point dire en effect : / Dieu en ce monde les ha faict ; / Ne nous ha faict pareillement, / Mais nous ha faictz, tout rondement. / L'italien, dont la faconde / Passe les vulgaires du monde / Son langage ha ainsi basty / En disant : Dio noi à fatti » (c'est moi qui souligne). Cf. [49, p. 51] et [12, p. 183].

[12] Nous entendons, bien sûr, le cas de l'accord du participe passé avec le sujet en présence du verbe être, et le cas de l'accord avec le c.o.d. en présence du verbe avoir - mais dans ce dernier cas seulement avec les c.o.d. des troisièmes personnes, qui sont bien les seuls à exiger, linguistiquement, l'accord avec le participe passé. On dira toujours et seulement, en italien et en français, qu'une lettre on l'a écrite, alors qu'une dame, aussi bien française qu'italienne, pourra dire il m'a séduit ou il m'a séduite, la variante avec accord étant même le cas marqué.
Quoi que les grammaires françaises en disent, ces cas d'accord ou de non-accord entre le participe passé et les c.o.d. situés entre le sujet et le verbe ne sont absolument pas à confondre avec ceux du type la chose que j'ai fait/faite, où la position du que, avant le sujet de la proposition relative, n'entraîne nullement un accord nécessaire avec le participe passé ; l'accord est obligatoire seulement dans une phrase comme De l'aventure que dite ai / Li Breton en firent un lai, mais dans ce cas c'est l'antéposition, poétique, du participe passé qui force son accord (comme dans une fois faite, cette chose ne peut pas être défaite...), et certainement pas la présence du que, qui n'est ni nécessaire ni suffisante pour que l'accord s'impose nécessairement - on a par exemple Passée a la première porte (Jehan Maillart), Un certain loup, dans la saison / Que les tièdes zéphyrs ont l'herbe rajeunie (La Fontaine), Les grands, ensorceléz par subtilles querelles, / Ont remplis leurs esprits de haines mutuelles (D'Aubigné), et Corneille, dans une œuvre aussi mal écrite que le Cid (1636), écrit aussi bien Mon père est mort, Elvire, et la première épée / Dont s'est armé Rodrigue a sa trame coupée que Ces tristes vêtements, où je lis mon malheur / Sont les premiers effets qu'ait produit sa valeur. En somme : on a bien sûr le droit de dire, en italien comme en français, l'erreur que j'ai commise, mais qu'on sache que c'est une option, linguistiquement marquée et finalement aussi marqué que, mettons, j'ai commise une erreur. Marque de mise en relief familière ou poétique ou autre (cf. [3], ainsi que [25], article séminal de Lucien Foulet), c'est évidemment la mise en discours qui tranche. Cf. par exemple l'accord du participe passé que l'on trouve dans la phrase sans un mot j'ai été à la cuisine faire le repas puis doucement, je lui ai demandé pourquoi il avait faite cette chose interdite par notre seigneur de façon pourtant bien claire (http://forum.aufeminin.com/forum/couple2/__f134233_couple2-Mon-epoux-se-masturbe.html), où se mêlent effort de style correct voire, pour un forum électronique, maladroitement surcorrigé (je suis perturbée, perdue[...] j'ai peur que notre seigneur ne bénisse plus notre foyer. hors des considérations religieuses, y'a [sic] t-il un moyen biologique pour faire cesser ce comportement ?[...]), ton religieux et pathétique, habitude probable de l'usage modal du passé surcomposé, (pourquoi il avait eu faite cette chose interdite $\rightarrow$ pourquoi il avait faite cette chose interdite).

Qu'on remarque d'ailleurs que le passé surcomposé, ce point aveugle de la langue française qu'il faut cacher parce que les grammairiens ne sauraient le voir, entraîne tout naturellement, lui, l'accord du participe passé dans les propositions relatives : ce n'est qu'un petit indice, mais l'expression surcomposée avec accord la chose que j'ai eu faite est, par exemple, 43 fois plus attestée sur google.fr que l'expression la chose que j'ai eu fait, alors que, inversement, c'est l'expression simplement composée non accordée la chose que j'ai fait qui est plus attestée (36 fois plus) que l'expression la chose que j'ai faite. Il y a peut-être là matière à réflexion.

[13] Léon Daudet, « Un maître d'erreurs », L'Action française, 24 mai 1912. La « querelle sur le style de Flaubert » sera déclenché en 1919 par l'article de Robert « Flaubert écrit mal », qui provoquera un réponse au titre humoristique (« Louis de Robert écrit bien ») de la part de Roubaud, les réponses piquées de Souday et, surtout, les célèbres interventions de Thibaudet et de Proust. Sur tout cela, cf. [45], surtout pp. 47-66.

[14] Les œuvres respectives du linguiste et poète Henri Meschonnic et du logicien et mathématicien Jean-Yves Girard présentent d'ailleurs des points de contact très frappants, et de style - notamment polémique - et, surtout, épistémologiques : mise en avant du sujet, respectivement, du poème et de la preuve, critique des « points aveugles » de l'« essentialisme » et du signe, approche épistémologique éminemment poétique, rôle analogue qu'ils attribuent, l'un à la traduction, l'autre à la programmation. Meschonnic est d'ailleurs excellent historien de la logique, et Girard grand lecteur de poésie : ils ne se citent pourtant jamais.

L'invisibilité, jusqu'à aujourd'hui, de ces points de contact aux yeux de ceux qui travaillent dans le sillage de Meschonnic d'un côté et de Girard de l'autre, est un autre indice, assez flagrant, de la fâcheuse distance qui sépare encore les recherches les plus rigoureuses sur la logique et sur le langage.

Le formalisme hilbertien est-il soluble dans la culture ?

Jean Lassègue — 2012-09-04T08:39:13Z

1. L'attitude à l'égard du langage et la notion de « contexte culturel »

La représentation que nous nous faisons du rapport que nous entretenons avec les langues est habituellement une représentation utilitaire : que ce soient celles que chacun de nous parlons de façon immémoriale comme langue maternelle ou celles que nous employons plus ou moins facilement quand il s'agit de langues apprises au cours de la vie, les langues seraient avant tout des moyens utilisés en vue de fins pratiques qu'elles soient sociales (dialogues entre les humains) ou descriptives (caractérisation des objets). Généralement, dans le contexte des sciences exactes et des sciences de la nature, cette attitude utilitaire à l'égard des langues naturelles condamne à brève échéance leur usage : passé le premier moment pédagogique nécessaire pour rendre un concept accessible à celui qui en ignore tout, les langues naturelles auraient le défaut d'être irrémédiablement diverses, réfractaires à toute détermination univoque et sujettes à des évolutions incontrôlables. Bref, les langues naturelles seraient sinon toujours des obstacles à la connaissance proprement scientifique, du moins de simples auxiliaires pédagogiques, car elles seraient des instruments globalement inadaptés pour ce que les sciences cherchent à penser, à savoir les déterminations univoques des objets ou complexes d'objets. D'où aussi le fait qu'à côté des langues dites « naturelles » viendraient s'ajouter, à la suite d'efforts considérables, des langues « artificielles » pour pallier les défauts des premières : universelles, univoques et invariantes, les langues artificielles viseraient ce que les langues naturelles ne seraient pas parvenues à viser, à savoir une description universelle, univoque et invariante des objets de la nature.

Ce faisant, force est de reconnaître que les langues artificielles, en reprenant à leur compte mais par d'autres moyens la capacité descriptive des langues naturelles, conserveraient bien toutefois un trait capital de celles-ci, celui de leur pouvoir de signification. Retenir du langage le seul pouvoir de signification tout en éliminant les langues dans leur diversité, somme toute trop imparfaites pour cet usage, voilà ce qui ferait partie du programme philosophique mis à l'ordre du jour depuis que Platon a considéré la signification comme ce qui tire son origine de l'essence conceptuelle de l'objet, susceptible d'être pensée en dehors de toute langue particulière et dans une parenté sans cesse à élaborer avec le nombre et la mesure.
Cette attitude, qui s'inscrit dans la tradition vénérable de la rationalité classique et moderne, a pour effet d'isoler les productions scientifiques des autres formes d'expression humaine, reléguées au rang de simple « contexte » autour de la signification conceptuelle. Par contexte, il faut entendre ici ce qui, situé hors du domaine du concept, n'en possède pas les traits d'universalité, d'univocité et de stabilité et qui de ce fait, est relégué au rang de contingence. La culture en général relèverait finalement de cette contingence, tout comme les langues naturelles mais aussi les sujets psychologiques et toutes les circonstances historiques particulières dans lesquelles sont plongées les vies des sujets. Les langues artificielles, dans la mesure où elles poursuivent des buts conceptuels, n'en relèveraient pas et tenteraient de parvenir, grâce à des ressources énigmatiques et non précisées à ce jour, à s'extraire de ce contexte contingent. La culture deviendrait de ce fait une réalité biface : contingente pour certaines expressions, elle déploierait cependant une nécessité à travers l'histoire quand on parviendrait à préciser ce qui relève en elle du concept.
Pourtant, on devine tout de suite le grave défaut d'une telle représentation dans laquelle le partage entre nécessité et contingence introduit une rupture passant à l'intérieur même des sujets et des expressions linguistiques qu'ils utilisent. En particulier, le rapport que peuvent entretenir les dimensions nécessaire et contingente dans la vie des sujets devient immédiatement énigmatique. Un tel rapport oblige en effet à supposer d'étranges facultés psychologiques ou tout au moins des dispositions spécifiques dont la nature reste obscure, susceptibles d'articuler l'une à l'autre nécessité et contingence : on imagine immédiatement les difficultés sans nombre qui attendent ceux qui tenteraient d'envisager les rapports entre des dimensions que, par définition, on a commencé par déclarer hétérogènes. Entre un type d'expression linguistique à visée conceptuelle et le « contexte culturel » dans lequel cette expression conceptuelle se manifeste, il ne peut y avoir de rapport véritable et c'est finalement deux histoires qu'il faudrait finir par concevoir : une histoire contingente énumérant empiriquement des événements et une histoire nécessaire, celle de l'auto-déploiement de la rationalité conceptuelle, qui n'entretient plus de rapports véritables avec le temps de la contingence. On en arrive à cette conséquence paradoxale « parmi beaucoup d'autres » selon laquelle le gros du travail des historiens des sciences consisterait à replacer dans un « contexte culturel » des expressions conceptuelles dont les auteurs ont passé le plus clair de leur temps à tenter de s'extraire. Si c'était le cas, l'histoire des sciences ne vaudrait évidemment pas une heure de peine.
Il faut envisager les choses autrement et commencer par se retenir de réintroduire plus ou moins subrepticement des séparations étanches entre des expressions conceptuelles et des expressions qui ne le seraient pas. Il faut partir du fait premier qu'il y a un seul matériau expressif, qu'il faut commencer par l'envisager comme un tout divers et articulé et que celui-ci est de ce fait susceptible de différenciations et de recompositions selon des modalités à décrire, dont l'une d'entre elles peut être de nature mathématique. L'exemple que nous allons tenter d'analyser pour ce faire est celui du formalisme hilbertien.

2. L'exemple du formalisme hilbertien

Pourquoi avoir choisi cet exemple ? Il a un double avantage : directement conceptuel puisqu'il vise, dans son projet, à décrire de façon univoque la totalité des propositions mathématiques, il suppose également une réorganisation profonde des moyens linguistiques mis au service d'un tel but. A la croisée du concept et du langage, cet exemple a ainsi l'avantage de poser très directement la question des rapports entre nécessité et contingence au sujet de la notion de « contexte culturel ».
On se rappelle qu'Hilbert distinguait plusieurs points de vue sur les mathématiques : d'une part, une mathématique à contenu qui portait sur des concepts exprimables sous la forme de propositions (y compris en langue naturelle) et qui respectait la relation de signification entre le signe et ce à quoi il renvoie ; d'autre part, des extensions idéales de ce premier domaine, extensions dans lesquelles le transfini pouvait intervenir soit dans les propositions soit dans l'application de règles logiques (en particulier le tiers exclu) et pour lesquelles la relation de signification risquait d'être prise en défaut dans la mesure où des paradoxes pouvaient surgir en elles. Le formalisme tel que l'entendait Hilbert était avant tout conçu comme une méthode visant à rendre mathématiquement licite les propositions ou règles logiques ayant recours au transfini. Pour ce faire, le formalisme consistait à ne prendre en considération que les caractères écrits des expressions, en faisant l'hypothèse qu'en s'en tenant à la réplique graphique des propositions et règles logiques, réplique intégralement manipulable sans faire usage du transfini, il serait possible de faire un usage consistant de toutes les propositions et règles logiques, qu'elles appartiennent à la mathématique à contenu ou à ses extensions transfinies. L'usage des extensions transfinies s'en trouverait immédiatement justifié puisqu'il y aurait toujours moyen de prévenir l'apparition de paradoxes dissimulée dans la relation de signification élargie au domaine transfini. Pour s'assurer de cette consistance, il fallait introduire une nouvelle distinction de méthode, résidant entre le plan graphique propre à la mathématique formelle et le plan du jugement méta-mathématique, exclusivement saisi de la vérification de la conformité de l'enchaînement des caractères avec les règles explicites mises en œuvre dans les déductions. Ce plan méta-mathématique partageait avec la mathématique à contenu au moins un trait : toutes les deux s'en tenaient à un contenu finitaire, la mathématique à contenu en se reposant sur des signes pour examiner sémantiquement des concepts, la méta-mathématique en examinant la syntaxe des caractères au moyen d'une pensée que l'on suppose finitaire dans son déroulement. Ainsi le passage par le niveau du formel permet-il d'abandonner la relation de signification propre aux signes et d'introduire une coupure radicale entre syntaxe et sémantique reposant sur l'hypothèse selon laquelle la pensée est un processus finitaire portant sur l'examen de caractères graphiques.
Le formalisme fait donc sortir de la relation de signification proprement dit qui suppose l'adéquation au moins potentielle du signe au concept qu'il vise et fait pénétrer dans le domaine de ce qu'il faudrait appeler le fonctionnement syntaxique de la pensée pure. On sait quel avenir sera réservé à ce nouveau cadre théorique à partir du moment où l'hypothèse d'un fonctionnement syntaxique de la pensée sera rendue effective sous la forme des langages de programmation.

3. Le contexte culturel et le formalisme hilbertien

Comment rendre compte de la transformation considérable opérée par la perspective mise en place par Hilbert ? On peut expliciter cette démarche en montrant, d'un point de vue strictement épistémologique, ce qu'elle rend possible : mise en place du programme de Hilbert, questions formelles de consistance, de complétude et de décision, numération de Gödel, machine de Turing, etc. On peut aussi plonger la démarche de Hilbert dans un contexte culturel qui ne se limite pas à l'histoire de la logique mathématique, en envisageant en particulier le formalisme comme une nouvelle étape dans l'histoire de l'écriture. C'est ce que nous allons tenter d'esquisser plus bas. Mais attention : établir le fait que Hilbert emprunte à la culture dans laquelle il est immergé un certain nombre de traits typiques ne vise pas du tout à diminuer l'originalité mathématique de Hilbert en uniformisant tous les types de production culturelle. Il s'agit au contraire de montrer qu'en utilisant les ressources graphiques propres à la culture à laquelle il appartient, Hilbert diffuse certains traits graphiques jusque dans la mathématique, ce qui transforme en retour l'outil alphabétique lui-même en le dotant d'une forme mathématique qu'il n'avait jamais eue auparavant. Il ne faut donc pas du tout en revenir à une conception dans laquelle le contexte culturel serait conçu comme un substrat inerte et les mathématiques comme une forme nécessaire qui ne dépendrait pas de ce substrat : il s'agit au contraire de penser la transformation de la culture à partir des pratiques spécifiques qui, à un moment donné, la font basculer dans une nouvelle forme. Bref, la perspective rendue possible par le travail de Hilbert transforme la culture et n'en est ni un produit ni une émanation parce que ce travail participe à la transformation de la culture en changeant les conditions mêmes de sa production. Le seul principe requis pour ce type d'analyse d'histoire culturelle des sciences est donc : « Il y a un matériau signifiant, investi par différentes pratiques qui le modifie en retour » et tout autre principe (la différence entre nécessaire et empirique, a priori / a posteriori, par exemple) a seulement une pertinence régionale.

4. Le formalisme et l'histoire de l'écriture

Commençons par une comparaison très générale entre écriture des langues et écriture mathématique, du seul point de vue qui nous intéresse ici, à savoir le point de vue graphique. Par graphique, nous entendons les moyens qui permettent de capter sur une surface matérielle des flux perceptibles par les sens et dotés de signification.

4.1 Logogramme et alphabet

L'écriture des langues vise à capter quelque chose du flux sonore de l'oralité, ce « quelque chose » pouvant être différent selon les systèmes d'écriture employés pour sa retranscription. Cette retranscription a pour base un répertoire de caractères qui peuvent être de deux types, soit schématique soit alphabétique. Dans le type schématique, deux cas sont possibles : soit les formes schématiques ont en elles-mêmes une forme reconnaissable (comme les hiéroglyphes égyptiens représentant des êtres vivants ou des parties du corps) soit une forme conventionnelle standardisée (comme les logogrammes cunéiformes ou les idéogrammes chinois) captant des éléments sonores ou de signification (morphème, lemme ou notion). Dans le type alphabétique, intervient un répertoire fini de formes conventionnelles standardisées (des lettres) qui captent soit des syllabes (dans le cas des alphabets logo-syllabiques) soit des phonèmes (dans le cas des alphabets vocalo-consonantiques) correspondant à certaines positions physiques de l'appareil phonatoire.
L'écriture mathématique n'a pas pour but propre de capter quoi que ce soit de l'oralité des langues naturelles, même si l'écriture mathématique fait un usage constant, mais accessoire, de l'écriture de ces langues. L'écriture mathématique vise plutôt à capter une certaine idéalité du diagramme ainsi que le caractère formel de la preuve, le plus souvent de manière conjuguée, en vue de faire apparaître des invariants de structure.
Si maintenant on compare l'écriture des langues et l'écriture mathématique, on se rend compte que l'écriture mathématique fait intervenir essentiellement des ressources qui relèvent du premier type d'écriture, celui qui se fonde sur la reconnaissance de formes schématiques ayant en elles-mêmes une forme soit directement reconnaissable soit conventionnelle. Autrement dit, l'écriture mathématique entretient avec l'écriture logogrammatique des rapports qu'il faut expliciter.
Les formes schématiques utilisées en mathématiques sont en effet soit directement reconnaissables quand il s'agit de « dessins » ou de « diagrammes », soit conventionnelles quand des caractères conventionnels sont utilisés, caractères que l'on classe dans la catégorie générale des logogrammes, c'est-à -dire des marques graphiques qui représentent directement une notion, comme , ou =. Les logogrammes mathématiques s'étendent du non-alphabétique (il s'agit de tous les symboles fonctionnels qui peuvent s'ajouter au corpus des caractères au fur et à mesure de l'avancée des mathématiques comme « », « » ou « ») au quasi-alphabétique dans le cas des nombres (en particulier, les chiffres hindo-arabes et leur base décimale). Dans ce dernier cas, le répertoire des numéraux forme en effet un ensemble à part dans la mesure où il s'agit d'un répertoire fini où la base sert de règle de production pour toutes les nouvelles formations, selon un principe équivalent à la production de mots dans une langue à partir de l'alphabet. Mais il ne s'agit pas de lettres à proprement parler puisque chaque numéral isolé représente la signification d'un nombre (le « 2 » représente tout ensemble de deux éléments, qu'il s'agisse d'unités, de dizaines ou de tout autre multiples de dix), ce qui n'est pas généralement le cas des lettres. Qu'en français par exemple, la lettre « a » prise isolément fasse autre chose que de représenter un son mais désigne aussi directement une préposition et une forme verbale reste évidemment un cas particulier.
Qu'en est-il alors du point de vue formaliste dans cette comparaison ? Du fait de l'élimination de toute perspective diagrammatique et du fait de l'adoption de caractères alphabétiques d'un certain type au sein du formalisme, la notion de traduction formelle assure le passage du logogrammatique à l'alphabétique dans le domaine de l'écriture mathématique : le traitement finitiste de marques sans signification relève en effet de la même démarche que l'utilisation d'un alphabet. Autrement dit, si l'on s'en tient à la comparaison avec l'écriture des langues, le point de vue formaliste serait celui qui ferait basculer d'un premier système d'écriture fondé sur le diagramme et le logogramme à un second système d'écriture, fondé sur l'alphabet. De ce point de vue, toute « arithmétisation de la logique » suppose, au préalable, une phase antérieure d'alphabétisation du nombre.

4.2 Alphabet des langues et alphabet formel

Il devient alors possible de comparer l'alphabet des langues et l'alphabet d'un système formel parce que, dans les deux cas, on néglige tout aspect diagrammatique autre que celui de la reconnaissance des marques-caractères, c'est-à -dire tout ce qui relève du « dessin » ou du « schéma », bref tout ce qui est apparenté, dans un sens encore peu défini, au géométrique. Les marques sans signification d'un système formel sont bien dès lors comparables à des lettres telles qu'on les trouve dans les alphabets des langues, lettres dépourvues de signification intrinsèque et dont le regroupement permet la constitution d'un lexique lui-même régi par des règles grammaticales (les deux niveaux n'étant d'ailleurs pas étanches). Cette comparaison, pour avoir une certaine portée, doit cependant aborder deux problèmes : le nombre des marques employées et leur traitement spécifique.
Au premier abord, les cas de l'alphabet des langues et de celui de l'alphabet d'un système formel semblent diverger quant au nombre des marques. En effet, l'alphabet d'une langue est composé d'une seule liste de marques, elles-mêmes en nombre fini (nos 26 lettres par exemple). Au contraire, dans un système formel, on a affaire à plusieurs listes de marques (variables, constantes, signes logiques) qui, outre qu'elles sont indépendantes les unes des autres, sont composées d'un nombre infini dénombrable de marques puisqu'il est toujours possible d'en ajouter de nouvelles (de type ... ) en les indexant sur les entiers. Il semble donc que, du point de vue du nombre des marques, la comparaison tourne court et que les deux alphabets ne soient pas identifiables. Cependant, il faut faire intervenir la notion de traitement des marques pour aller jusqu'au bout de la comparaison.
Pour ce faire, on doit distinguer trois types de traitement des marques dans le cas de l'écriture des langues orales. Comme l'a montré Havelock [1], le principe de l'écriture des langues reposait à l'origine sur la règle « un signe pour un son », ce son étant généralement identifiable à une syllabe. Dans la constitution des syllabaires (akkadien ou sumérien par exemple), ce principe a eu pour conséquence une multiplication des marques très peu propice à la production de systèmes stables de marques, manipulables par une communauté, même réduite, de scribes. D'où l'apparition ultérieure au cours de l'histoire de deux autres types de traitement des marques dont le principe de base repose sur la réduction du nombre des signes : les alphabets consonantiques (tels qu'ils existent dans les langues sémitiques) et l'alphabet vocalo-consonantique (grec, puis étrusque et latin). Le cas des alphabets consonantiques est pleinement mis en lumière par le cas de l'écriture des langues sémitiques et de leurs racines trilitères. Cette écriture alphabétique hérite des syllabaires antérieurs la volonté de capter les syllabes de la langue mais s'en démarque quand elle se trouve confrontée au problème de leur prolifération. Pour limiter celle-ci, les lettres écrites y sont réduites à un petit nombre, la conséquence étant que ce que l'écriture gagne du point de vue du nombre des marques employées en devenant un alphabet, elle le perd en univocité, chaque lettre devenant susceptible de capter plusieurs syllabes et donc plusieurs sens [2]. Les lettres écrites, en devenant ambiguës, sont en elles-mêmes imprononçables et c'est le locuteur qui, par son intervention active dans le discours, lève leur ambiguïté et reconstitue les syllabes des mots de la langue au moyen de sons qui font vibrer les cordes vocales [3]. Le cas de l'alphabet vocalo-consonantique (tel qu'il est illustré au premier chef par l'alphabet grec) est différent : il ne vise pas à capter les syllabes de la langue, c'est-à -dire des unités sonores porteuses d'une esquisse de sens, mais les phonèmes, c'est-à -dire les composants sonores sans signification présents dans la langue [4]. Ce deuxième type d'alphabet est le plus général parce qu'il peut s'adapter à toute langue [5], son principe de traitement ne consistant pas à imiter des syllabes linguistiques mais à isoler des sons physiques tels qu'ils sont produits par les différents éléments anatomiques modifiant la colonne d'air du souffle. Seul ce deuxième type d'alphabet, en se donnant pour principe théorique de reproduire tous les sons quels qu'ils soient (en tenant évidemment compte des contraintes anatomiques liées à l'appareil phonatoire humain), et non d'imiter des syllabes préexistantes dans les langues, découple a priori le problème de la captation de l'oralité de celui de la signification. C'est ce découplage qui distingue les systèmes d'écriture vocalo-consonantiques de tous les autres systèmes d'écriture.
Ce découplage a ainsi tendance à orienter le système en question vers la captation d'éléments en dehors de toute considération de sens et cela a trois conséquences au moins. Premièrement, un tel système d'écriture ne cherche pas exclusivement à rendre compte de l'oralité mais, virtuellement, contient la captation de toute pratique susceptible de se présenter sur un mode combinatoire d'éléments. Deuxièmement, un tel système permet l'automatisation de la reconnaissance des marques parce que celles-ci renvoient uniformément à tous les composants sonores sans s'arrêter à la distinction signifiante et subjective de la syllabe : il s'agit donc de marques intégralement publiques dont l'aspect prononçable ou non est secondaire puisqu'elles ne nécessitent pas l'intervention d'un locuteur pour être reconnues. Troisièmement, et c'est le point le plus important dans la comparaison avec l'alphabet des systèmes formels, la question du nombre des marques employées par l'alphabet devient accessoire parce qu'il n'a pas besoin d'être fixé une fois pour toutes pour se tenir au plus près des syllabes d'une langue donnée puisque la notion de syllabe n'est plus pertinente ; selon les cas, il devient possible de rajouter des marques pour prendre en considération des sons qui n'étaient pas pris en compte dans un autre contexte linguistique. Aussi, à la limite, le nombre des lettres pourrait être potentiellement infini (dénombrable) parce qu'il est toujours possible d'en rajouter si le besoin se présente. L'alphabet d'un système formel représente donc un passage à la limite mathématique d'un cas virtuellement présent dès la mise en place progressive des systèmes d'alphabets vocalo-consonantiques, c'est-à -dire dès les débuts de l'alphabet grec.
Ces trois traits permettent de saisir au moins trois des points par rapport auxquels l'alphabet a pu être réinvesti mathématiquement dans la perspective formelle.
Premièrement, le formalisme a cherché à développer un alphabet qui soit indépendant de la pratique logogrammatique antérieure des mathématiques jouant un rôle analogue à celui d'un syllabaire. Deuxièmement, l'alphabet d'un système formel est conçu, comme l'alphabet vocalo-consonantique [6], en vue d'une mécanisation du traitement de ses marques, selon la définition nouvelle que Hilbert propose de la pensée comme traitement technique d'un matériau signifiant disponible publiquement et non plus comme une capacité d'intuition du sens élaboré par un Sujet parlant. Troisièmement, le problème du nombre des marques devient accessoire parce que le traitement qui les accompagne ne vise pas l'imitation d'une signification qui préexisterait aux axiomes.
Il y a donc bien des traits communs aux alphabets des langues naturelles et à celui de la mathématique formelle et on peut retracer historiquement la façon dont l'alphabétisation progressive a conquis non seulement certaines langues naturelles mais aussi le domaine mathématique.

Conclusion

En rapportant, du point de vue graphique, le cas de la constitution d'une axiomatique formelle à des considérations plus larges sur la culture alphabétique dans laquelle ce projet a vu le jour, il ne s'agissait pas de diminuer ou de relativiser la perspective formelle telle qu'elle est construite par Hilbert. Il s'agissait tout au contraire de montrer que Hilbert était parvenu à diffuser certains traits graphiques jusque dans la mathématique et à transformer en retour l'outil alphabétique lui-même en le dotant d'une forme mathématique qu'il n'avait jamais eu auparavant : l'émergence de l'informatique en devient possible. C'est dans cette mesure que la perspective ouverte par Hilbert institue bien une étape complètement nouvelle dans l'histoire de l'écriture. De ce point de vue, les mathématiques ne sont pas extérieures à la pratique sémiotique, elles en sont partie prenante, comme tout ce qui relève des signes. Du point de vue de la méthode en histoire des sciences, il s'agit donc de se placer d'un point de vue dans lequel le matériau signifiant, toujours présupposé, se différencie en modalités qui, pour certaines, tendent à une pure expression conceptuelle reposant sur un matériau signifiant réduit à la reconnaissance de son tracé tandis que d'autres, en respectant la nature de signe du matériau signifiant, font jouer les parentés que le matériau signifiant entretient avec la nature vocale des langues. C'est par le biais de l'étude de ces mouvements de différenciation et de recomposition qu'une histoire des sciences, et en particulier des mathématiques, devient possible.

[1] E. A. Havelock, The Literate Revolution and Its Cultural Consequences, Princeton University Press, Princeton, 1982.

[2] E. A. Havelock, Origins of Western Literacy, Toronto, The Ontario Institute for Studies in Education, 1976 : « Les systèmes syllabiques antérieurs avaient au moins tenté d'assigner chaque son à un signe seulement. La multiplication des signes les plongea dans l'embarras. L'écriture sémitique réduisit de façon draconienne le nombre des signes à 22, ce qui eut un prix : il fallut assigner un signe à plusieurs sons linguistiques et attribuer la responsabilité du choix pertinent au lecteur. »

[3] E. A. Havelock, Origins of Western Literacy, Toronto, The Ontario Institute for Studies in Education, 1976, p. 68 : « En somme, le système syllabique se fonde sur le principe consistant à symboliser chaque son distinct véritablement prononcé dans une langue donnée. »

[4] Comme le fait remarquer E. A. Havelock, Origins of Western Literacy, Toronto, The Ontario Institute for Studies in Education, 1976, p. 80-81 : « Les systèmes antérieurs au système grec avaient pour but d'imiter la langage tel qu'il était parlé dans les unités syllabiques. Le système grec sauta au-delà du langage et de l'empirique. Il rendit possible de concevoir le fait d'analyser l'unité linguistique en ses composants théoriques, la colonne d'air vibrante et l'action que la bouche imposait à cette vibration. »

[5] En effet, il n'y a rien à rajouter du point de vue strictement sonore à l'alphabet vocalo-consonantique et la captation de l'intonation et de l'accent ferait revenir à la situation antérieure de captation d'éléments de signification comme la syllabe. Il vaudrait donc mieux appeler l'alphabet dit complet « objectif » au sens où il se situe au niveau purement sonore sans faire intervenir de regroupements de nature linguistique (syllabe, intonation, accent par exemple), et ne nécessite pas l'intervention de la catégorie de sujet parlant.

[6] Comme le fait remarquer E. A. Havelock, Origins of Western Literacy, Toronto, The Ontario Institute for Studies in Education, 1976, p.17 : « Un système d'écriture efficace ou développé est un système qui ne pense pas du tout. »

Le concept mathématique de Catégorie

Albert Burroni — 2012-11-26T12:08:01Z

1. Pertinence du terme catégorie en mathématiques ?

Lorsque l'on m'a proposé de faire un exposé sur le thème « les catégories dans les sciences », j'ai été un peu surpris et j'ai éprouvé un sentiment d'hésitation. En effet, si j'ai bien compris la demande, le concept de catégorie est pris ici dans son sens général, et est posé comme objet d'un débat interdisciplinaire. Or, s'il est exact que je suis bien un catégoricien, c'est-à-dire un spécialiste de cette discipline mathématique que l'on appelle la théorie des catégories - ce qui semble donner du sens à ma participation à un tel débat - je me suis d'abord demandé s'il n'y avait pas comme une erreur de casting, et ma première réaction a donc été presque négative. En effet, la pertinence du mot « catégorie » dans l'intitulé de ma discipline n'est pas très claire et on peut estimer que ses origines sont à la fois obscures et discutables [1]. Je me suis donc, avant tout, interrogé sur le rapport qu'il pouvait y avoir entre les différentes acceptions usuelles et philosophiques du mot catégorie et le concept qui porte ce même nom en théorie des catégories ? Et, question subsidiaire, quelle est la liaison entre les idées mathématiques de catégorie et de classification, étant entendu que, au moins dans le langage courant, ces deux notions sont conceptuellement liées ?
Voilà donc les deux questions préalables que je me suis posées et dont les réponses, comme on va le comprendre, ne vont pas de soi.

2. A propos de terminologie

D'une manière générale les mathématiciens, de même que les physiciens, les biologistes, etc. choisissent très librement leur terminologie pour désigner leurs objets d'étude ou leurs constructions idéelles. Personne ne se méprend quand un physicien nous parle de la saveur des quarks. De même, quand un mathématicien nous dit qu'il va « plonger un anneau dans un corps », on ne lui demande pas si ça fait mal. Dans cette dernière expression, il n'y a que le verbe « plonger » qui a une certaine valeur métaphorique. En général, le choix des noms ou des expressions scientifiques relève d'un mélange chaotique de bon sens, de tradition, d'esthétique ou, même, d'un certain goût pour la plaisanterie. Justement, le choix du mot « catégorie », par Eilenberg et Mac Lane, créateurs du concept au début des années 40, relève en partie de ce dernier cas. Ils l'ont emprunté - Mac Lane dira « volé » - à la philosophie, notamment à celle d'Aristote autant qu'à celle de Kant, mais sans l'accompagner de justifications sérieuses. Toutefois, dire que c'est sans justification sérieuse, ne signifie pas dire que c'est sans signification profonde. On peut en effet penser que le choix de ce mot, de par le niveau élevé d'abstraction qu'il évoque, de par son caractère globalisant et universel, traduisait l'ambition que ces auteurs plaçaient dans leur concept. Mais, pour le dire franchement, il ne m'est pas apparu spontanément qu'il pouvait y avoir un rapport digne d'une discussion importante entre les acceptions du mot catégorie en mathématiques avec celle du langage courant ou celles employées en philosophie. Et il me paraissait même qu'il y avait à peu près la même absence de lien entre le mot « catégorie » utilisé en mathématiques avec celui de « classification » utilisé dans le langage courant, qu'il y en a entre le mot « groupe » utilisé en mathématiques avec celui de « groupement » du langage courant (d'ailleurs, curieusement, un groupe est une catégorie particulière : une catégorie qui n'a un seul objet … ce qui « classe » peu de choses !).

Et puis je pense aussi à un précédent (qui n'est pas sans rapport avec celui discuté ici), celui du mot structure, apparu à la fois en mathématiques et dans divers autres domaines (linguistique, sociologique, etc.) qui a donné son nom à ce qu'on a appelé le « structuralisme ». Mais, en réalité, cette dénomination recouvrait des phénomènes conceptuels qui n'avaient - peut-être - guère plus de liens entre eux qu'une idée générale insuffisante pour former une théorie et l'emploi, pour les désigner, d'un terme commun séduisant.

3. Le concept de classification en mathématiques

Avant de pouvoir expliquer en quoi je suis revenu de cette première impression quasi négative, j'ai quelques remarques à faire sur la notion de classification en mathématiques. Comme je l'ai déjà indiqué, le langage courant établit une liaison conceptuelle entre les idées de classification et de catégorie. Et il est vrai qu'en mathématiques on classifie beaucoup, et depuis longtemps. On classifie des nombres, des fonctions, des courbes, des variétés, des nœuds, des langages formels, etc. et puis, surtout, il y a un type d'objets dont la classification va nous conduire mathématiquement tout droit, ou presque, vers les catégories : la classification des structures mathématiques.

S'il y a beaucoup de classification en mathématiques, au point qu'on pourrait dire qu'elles en sont le royaume, cela tient à la définition suivante : chaque fois qu'on a une fonction entre deux ensembles (les mathématiciens appellent souvent cela une « application », en donnant à ce mot un sens proche du sens propre : mettre une chose sur une autre), on peut considérer comme un ensemble dont on peut classifier les éléments grâce à leur valeur prise dans le second ensemble . Valeur qui est donnée, plus précisément, « calculée », par la fonction . Un élément de est ainsi placé dans la classe des éléments qui ont la même valeur que lui, la valeur . On appelle parfois les éléments de V des « invariants », car c'est ce qui ne varie pas pour les éléments qui sont dans une même classe déterminée par cette fonction (valeur qui participe donc à la caractérisation des éléments de .

Ainsi on classe les fleurs selon leur couleur, ou selon tout autre système de détermination plus substantiel. On classe les énoncés mathématiques en fonction de leur valeur de vérité. Quand cette valeur est le vrai, l'énoncé s'appelle un théorème. Comme vous le voyez, la complexité d'un classement, n'est pas représentée par celle du système de valeurs, mais par la plus ou moins grande difficulté du calcul de la fonction . Parfois ce « calcul » est très simple à effectuer quand il s'agit, par exemple, de classer les fleurs par couleurs (du moins si on n'est pas daltonien), mais souvent, extraordinairement complexe quand il s'agit de reconnaître si un énoncé est un théorème ou n'en est pas un.

4. Une définition épistémologique délicate

Je dois maintenant vous dire que, même si je trouve cette notion de classification intéressante, du point de vue conceptuel elle me pose un problème, car elle contient ce qui en logique s'appelle une autoréférence. En effet, dans son énonciation elle fait appel à sa propre définition. Cette circularité est camouflée par son utilité technique qui est indéniable, mais le mot « ensemble » qui y figure est synonyme du mot « classe » (dans son sens courant), et qui dit classe, dit classification. Ainsi, pour classer les fleurs, il faut d'abord avoir classé les choses du monde en fleurs et non-fleurs. Il faut aussi les avoir classées en choses et non-choses. Par exemple, on ne se demande pas quelle est la couleur de la bonté ou la saveur des catégories.

Je n'irai pas plus loin dans l'analyse de ce concept, je veux juste faire remarquer que le processus de classification est le propre du vivant (et même, plus largement, de la matière), c'est-à-dire, d'objets gouvernés par des tropismes : s'orienter c'est déjà classifier.

5. Les structures : une classification qui couronne un siècle de mathématiques.

J'en viens à la classification mathématique fondamentale des structures que j'évoquais ci-dessus. Mais qu'on me permette d'aborder les choses à partir d'une anecdote très personnelle et qui, je pense, peut éclairer mon propos. Quand j'étais adolescent, cela remonte à la fin des années 40, mon intérêt pour la science a d'abord été une vraie passion pour l'entomologie qui est l'étude et la classification des petites bêtes à six pattes. Je prenais conscience, à travers cette science, de l'immense diversité animale qui règne dans la nature et dans laquelle on a déjà inventorié des centaines de milliers d'espèces d'insectes (inventaire qui pourtant ne donne qu'une faible partie de ce qu'on suppose exister). J'étais fasciné par la classification de ces insectes. Il se trouve que, pour des raisons très improbables, et qui seraient trop longues à expliquer ici, cet intérêt m'a conduit assez directement à vouloir faire des mathématiques, et cela bien avant que je ne devienne un étudiant à l'Université. C'est donc avec une certaine candeur que j'ai entrepris la lecture des premiers fascicules des « Éléments de mathématiques » de Nicolas Bourbaki. Comme vous le savez sans doute, le projet de Bourbaki était centré sur le concept de structure : une structure est constituée d'un ou plusieurs ensembles munis de données (opérations et relations) et d'axiomes sur ces données. Ce fût alors pour moi un peu une surprise de voir apparaître dans ces « Éléments », a priori si éloignés des choses de la Nature, les structures traitées comme si elles appartenaient à un règne animal ou végétal. On y parlait d' « espèce de structure ». Par exemple les ensembles mathématiques etc. sont, chacun, munis d'une opération adéquate - qui est l'addition usuelle pour les deux premiers et la composition pour le troisième - et forment ainsi, des structures différentes, mais c'est structures sont, comme le dit Bourbaki, de la même « espèce », à savoir, l'espèce de structures de groupe. L'architecture des « Éléments » était alors, un peu, comme celle d'un manuel de zoologie, qui partant de l'étude des familles de structures les plus simples va vers celles dont l'anatomie est plus complexe. Je pourrais encore, par jeux, laisser filer la métaphore : les structures d'une espèce engendrent, par « produit » entre elles, de nouvelles structures de la même espèce, etc. Une espèce de structure apparaît donc comme une collection de structures apparentées. Plus précisément, elles forment une collection de toutes les structures dont l'anatomie est semblable, satisfaisant un même système d'axiomes et pouvant en produire d'autres de la même espèce par combinaison entre elles.

Cette conception « zoologique » des objets mathématiques a eu un impact considérable sur le développement de cette science pendant plusieurs décennies. Pour comprendre ce qu'il y avait de nouveau dans cette manière de repenser les mathématiques, ou « la mathématique » [2], et d'en tirer une classification des disciplines mathématiques, il faut la comparer à celles pratiquées antérieurement. En particulier, avec celle qui créaient un clivage traditionnel entre Algèbre et Analyse. Clivage qui a, depuis, perdu une grande partie de sa pertinence.

6. Des structures aux catégories (un changement de paradigme)

On va voir maintenant comment ce concept d'espèce de structure va se métamorphoser en un concept plus riche, et dont l'essence est d'introduire une dynamique, à savoir, le concept de catégorie qui jusque là, même chez Bourbaki en ses début, n'était pas repéré. Mais je dois d'abord, peut-être, rappeler informellement et brièvement ce qu'est catégorie. C'est d'abord un graphe : il y a des nœuds (qu'on appelle plutôt objets dans ce contexte) et des flèches (qu'on appelle aussi morphismes) qui vont d'un nœud source à un nœud but . On retrouve ici l'exemple fondamental des ensembles et des applications qui forment, respectivement, les nœuds et les flèches de ce qu'on appelle la catégorie des ensembles. Ensuite, il en est de même (à un bémol près, très significatif que je vais introduire plus loin) quand on envisage, au lieu d'ensembles, des structures d'une espèce plus riche que celle d'ensemble (ces derniers représentant, en quelque sorte, la base des structures, ou structure de niveau 0) et, au lieu d'applications, des « homomorphismes » qui sont des applications qui, comme le suggère leur étymologie, conservent la « forme » entre structures (on emploie aussi le terme plus bref de « morphisme » dans la versions abstraite de cette notion). Le caractère dynamique d'une catégorie est alors donné par le fait que deux flèches (ou morphismes) qui se suivent et peuvent donner une nouvelle flèche, dite composée et notée

Si, jusqu'à présent, une espèce de structure apparaissait comme une collection statique de structures - collection de toutes les structures satisfaisant un même système d'axiomes -, l'introduction de morphismes entre ces structures crée une dynamique qui renverse une hiérarchie : les objets deviennent seconds tandis que les morphismes sont, du point de vue de l'action, les éléments premiers. Ainsi le bémol que j'ai évoqué plus haut porte sur le point suivant : à une même espèce de structure sont parfois associés des morphismes de natures différentes. En voici un exemple : aux espaces topologiques, on associe généralement, comme morphismes, les applications continues, mais aussi, parfois, selon une autre perspective, on leur associe une autre notion de morphisme, les applications, dites, « ouvertes ». On doit alors considérer que sous le nom d'« espace topologique » on a, en réalité, affaire non pas à une, mais deux espèces de structures différentes puisque soumises à des dynamiques différentes. Ce point de vue est le résultat d'une constatation : le travail effectif du mathématicien est uniquement sous-tendu par les morphismes, même si ce sont les structures qui portent les intuitions de ce travail. Ce sont les morphismes qui donnent leur forme aux structures (on pourrait dire, qui les « sculptent » et les auscultent).

7. Structures de structures

Une conséquence de ce changement de paradigme est qu'un nouveau cycle de structures apparaît : les catégories elles-mêmes forment à leur tour une nouvelle espèce de structures. Ce sont, en quelque sorte, des structures d'un ordre supérieur. Disons, de manière informelle, que ce sont des « structures de structures ». Comme on l'a noté plus haut, elles possèdent deux sortes d'éléments, les objets et les flèches, et ont donc aussi deux sortes d'égalités, une pour les objets (les nœuds du graphe), laquelle ne sert à peu près à rien, et une vitale pour les morphismes (les flèches). Cette deuxième égalité est le moteur des calculs (d'où est tiré le concept de « diagramme commutatif »).

Munies d'une axiomatisation adéquate, les catégories possèdent alors leur propre notion de morphisme appelé foncteur (autre emprunt fantaisiste à la philosophie, celle de Carnap). Dans cette nouvelle espèce de structure … pardon, dans cette nouvelle catégorie, la catégorie des catégories, on voit alors apparaître un nouveau phénomène : ses morphismes, c'est-à-dire les foncteurs, vont à leur tour vont devenir des structures et on aura des morphismes entre foncteurs, des morphismes de morphismes …

Ce changement d'échelle (ou de dimension) évoque, pour moi, un autre phénomène biologique, celui de l'évolution des plantes : la famille de plantes à laquelle appartient la marguerite s'appelle les « composées » (ou astéracées). En général, dans une plante, les fleurs, pour des raisons d'efficacité de pollinisation, l'évolution a tendance, sur une même tige, à les faire se rapprocher les unes des autres. Elle les conduit à se grouper comme dans les ombellifères, puis la tendance va vers la fusion. Ainsi, la marguerite n'est pas une fleur, mais une fleur de fleurs. Chaque pétale de la marguerite est une fleur. Une autre plante va même plus loin : l'edelweiss est une fleur de fleurs de fleurs ... Les catégoriciens aussi connaissent un phénomène d'itération similaire : après les catégories il y a les 2-catégories qui sont, pourrait-on dire, des catégories de catégories. On pourrait aussi évoquer le passage des protozoaires aux métazoaires. Mais, au-delà du plaisir de faire des métaphores, cela montre le caractère vivant et évolutif du concept de catégorie.

8. Réflexivité des mathématiques

L'introduction des catégories a renforcé l'autonomie formelle des mathématiques et a représenté un saut qualitatif dans l'extension du domaine de leurs compétences : ce qui conduit à ce qu'on peut appeler leur « réflexivité ». C'est-à-dire qu'elles n'ont cessé d'intégrer des fragments du langage et de la logique dans ce domaine de compétence. L'Histoire commence loin, en Mésopotamie, où, pour des nécessités comptables, l'écriture des nombres (mais aussi celle de l'écriture en général) a été inventée. Et l'acquisition de cette réflexivité s'est faite tout au long de cette Histoire par palier successifs. En tout premier lieu, on peut distinguer l'introduction du zéro d'origine indienne qui a été introduit en occident au Moyen-âge par les savants arabes. Il ouvre une porte à la pensée en mettant en acte la distance irréductible (nécessaire) entre un symbole et son signifié. Puis, également, l'introduction du symbole de l'égalité par Robert Recorde au 16e siècle qui est, en quelque sorte, le premier fragment du langage logique qui devient un objet formel, et qui donc peut, ainsi, être soumis au formalisme. Cette nouvelle porte s'ouvre alors en grand au 19e siècle pour faire entrer les autres symboles du langage de la logique, connecteurs et quantificateurs, comme objets mathématiques. Et, enfin, l'étape catégorique qui fait passer du calcul dans les structures au calcul des structures. Ensuite, il est facile de se persuader que cette étape n'est pas la dernière d'une activité dont on a tant de mal à cerner les contours.

Conclusion

En guise d'épilogue, je voudrais répondre ici à une question qui m'a été posée au cours de l'exposé oral de ce texte : en quoi la représentation des applications par des flèches, au-delà d'une jolie métaphore (la flèche étant le symbole d'une synthèse entre l'espace et le temps), introduirait-elle une dynamique dans l'univers cantorien des ensembles et des structures ? En quoi ces flèches on-t-elle un rapport avec la temporalité (l'idée d'un avant et d'un après) ? La réponse tient dans la capacité de composition de ces flèches (pour une relation d'ordre, cela correspond à la propriété de transitivité, comme l'est l'ordre temporel de causalité). On peut mieux comprendre cela en comparant l'univers des ensembles dont la description ou la construction est traditionnellement basée sur la relation d'appartenance, laquelle n'est en rien transitive, avec ce même univers vu comme une catégorie et dans lequel le concept constructeur, ou descripteur, est celui de morphismes, et les morphismes sont composables - ce qui est le moteur de toute transformation.

[1] On notera, par exemple que ce terme de « catégorie » se retrouve avec une tout autre signification en analyse à propos de parties des nombres réels, et l'adjectif « catégorique » en logique, également avec un sens qui demande à être déchiffré

[2] Cet emploi du singulier est suggéré et appliqué par Bourbaki. Si, sur le plan des idées, nous acceptons pleinement une telle innovation terminologique, nous ne la suivrons ici, car elle peut se révéler déroutante à la lecture

J'adresse mes remerciements à Samuel Tronçon, qui me donne une occasion, relativement rare pour un mathématicien, de me livrer à quelques réflexions épistémologiques générales à propos de ma discipline, la théorie des catégories. Ces réflexions sont livrées à un public averti en matière philosophique, mais que j'imagine non spécialisé. Donc, l'épistémologue en herbe que je suis, n'étant ni philosophe, ni habitué à ce genre d'exercice, souhaite ne pas s'égarer dans la technicité sans pour autant dénaturer son sujet. J'ai aussi conscience du ridicule qu'il y aurait de croire que dans un court article, je puisse faire autre chose que donner l'envie, à qui le souhaite, d'en savoir plus. Merci aussi à Jean-Yves Heurtebise pour son insistance à ce que je produise ce texte qui est le reflet fidèle de mon intervention au Collège International de Philosophie « Les catégories à l'épreuve de la science contemporaine » du 28 novembre 2009 à la Cité Internationale Universitaire de Paris.

La négation entre l'absolu et le relatif : philosophie et psychanalyse

Roberto Finelli — 2012-11-21T09:09:35Z

1. Titre partie

La prémisse de cette communication est la conception de la philosophie élaborée par Wittgenstein. Pour le penseur autrichien, et particulièrement dans ladite deuxième phase de sa pensée, la fonction essentielle de la philosophie est celle, critique et thérapeutique en même temps, d'affranchir l'humanité des illusions linguistiques, c'est-à-dire des maladies engendrées dans la pensée par la méprise des instruments communicatifs que les langues naturelles en même temps lui mettent à disposition et lui imposent. Ce que j'essayerai de faire ici, c'est justement d'appliquer cette conception du philosopher comme procédure critique et thérapeutique à la compréhension d'un épisode initial mais crucial de l'histoire de la philosophie. On peut définir cet événement théorique originaire comme l'absolutisation du négatif, ou l'absolutisation du non-être, et son importance relève du fait que, en vertu de sa nature initiale et fondatrice, cette opération a pesamment conditionné l'histoire entière de la philosophie occidentale.
Au sujet des débuts de la philosophie, et plus précisément du commencement grec de la philosophie occidentale, les opinions des philosophes sont fort divergentes. Dans le sillage de Nietzsche, Martin Heidegger a lu, par exemple, la philosophie grecque présocratique comme l'expérience d'une plénitude de vérité et d'une authenticité de vie qui ont été oubliées et trahies par l'histoire suivante de la civilisation et de la culture, de la pensée discursive et de la science représentative. Au contraire, avec son idée d'un sens progressif de l'histoire, d'une histoire conçue comme approfondissement de la compréhension que l'Esprit a de soi-même, Hegel a bien interprété la philosophie présocratique comme un lieu de la pensée, mais d'une pensée qui, précisément à cause de son caractère originaire, ne peut qu'être encore pauvre et abstraite, c'est-à-dire dépourvue de raffinement, d'articulations et de distinctions. Dans cette même perspective, du commencement comme expérience abstraite et pauvre de distinctions et médiations, la genèse de la philosophie grecque a été lue aussi par un philosophe et éminent spécialiste italien de philosophie ancienne, Guido Calogero. Contre l'interprétation crypto-religieuse heideggérienne, Calogero comprit que la philosophie n'a pas pu naître innocente et pure comme Athéna de la tête de Zeus, comme une vérité proche de la vraie source des choses, mais profondément conditionnée par les cultures religieuses, magiques, cosmogoniques qui l'ont précédée [1]. De même que pour un autre grand historien de la philosophie et des idées, Cassirer, auteur de la Philosophie des formes symboliques, ainsi, selon le penseur italien, la philosophie naît très proche d'une mentalité archaïque [2]. Les fragments d'Anaximandre ou de Thalès, de Parménide ou d'Héraclite conservent encore les traces d'une fusion entre symbole et symbolisé, entre langage et réalité, justement là-même où l'on trouve dans les expressions linguistiques rituelles et les formulations magiques, une modalité de la pensée dans laquelle les mots se laissent encore difficilement distinguer des choses, où ils ne signifient pas la réalité mais l'évoquent ou la produisent eux-mêmes. Une modalité dans laquelle, par exemple, le prénom de l'Hélène homérique, l'Hélène de Troie, est dit par les poètes et les aèdes « nom véridique », parce que la vraie identité et l'histoire d'Hélène, « destructrice de navires », est déjà comprise dans le nom « », lu comme composé de « » (détruire) et « » (navire).
C'est ainsi que, dans le domaine de cette mentalité archaïque encore profondément enveloppée dans la conception d'une coalescence originaire, d'une unité indissociable entre réalité, vérité et parole, et donc dans l'ignorance de la nature symbolique et arbitraire du signe linguistique, que l'on peut comprendre le geste théorique avec lequel Parménide déclara solennellement l'indicibilité et l'inconcevabilité du non-être. Pour l'archaïque Parménide, le « non-être » n'est pas un « ne pas être » ceci ou cela, une négation déterminée par la relation avec la chose niée, mais une négation abstraite de tout contexte communicatif concret : une négation isolée, hypostasiée et absolutisée, qui renvoie à un vide absolu de réalité, un trou noir qui ne peut être, justement, ni pensé ni prononcé. Si d'une part, l'acte d'affirmer comme existant et réel ce qui n'est rien d'autre que la négation de chaque existence et réalité est sans doute un acte contradictoire, d'autre part la possibilité ou pensabilité de cette contradiction, c'est-à-dire la légitimité de la dénonciation de son illégitimité, sont fondées seulement sur ce que j'ai appelé l'absolutisation du négatif, sur le caractère indéterminé et absolu de la négation. Le fondement refoulé de la primauté et de l'absoluité de l'« Être » parménidien, et donc de la vision entière de la réalité élaborée par l'éléate, est alors l'interdiction de penser le non-être. Principe et totalité du réel ne peut être que l'Être : ou mieux, un être universel et absolu, clos en lui-même, qui ne peut jamais s'entremêler ou s'imbriquer avec le non-être. Mais si chaque chose singulière est elle-même seulement en tant qu'elle se distingue des autres choses, en tant qu'elle « n'est pas » les autres, et donc aussi en tant qu'union contradictoire de l'Être et du non-Être, le monde des réalités particulières et concrètes finit par être distingué et scindé de celui de l'Être, et pour ne pas pouvoir être pensé que comme inatteignable par la pensée, ni dit autrement que comme ineffable.
Comme on l'a vu, c'est à l'absolutisation de la négation, ou réification du non-Être, que l'on doit imputer le divorce entre le monde de l'Être et celui des êtres, au pluriel, et donc la transformation pathologique de l'« est », c'est-à-dire une formation verbale, un symbole du langage, en l'« Être », avec l'E majuscule, c'est-à-dire un principe ontologique, une structure de la réalité. On a vu en outre que, une fois absolutisés, le non-être et la négation ne peuvent qu'être refoulés ou niés. La philosophie parménidienne est alors bien une philosophie de l'identité ; pourtant, cette valorisation de l'identité ne peut passer qu'à travers une radicale dévalorisation des différences, et donc du devenir, puisque la différence est l'unité contradictoire d'être et non-être, et le devenir est une différenciation, un passage de l'être au non-être. Si seul l'Être, un et éternel, est réel et scientifiquement intelligible, alors les choses singulières, avec leur pluralité et temporalité, doivent être reléguées dans le monde des opinions, à cause de l'inintelligibilité de leurs différences, comme aussi de leur génération ou corruption. Conçue comme coïncidence immédiate avec soi-même, l'identité coïncide aussi avec le refus de toute altérité ou altération. Cette exclusion de toute diversité ou diversification, devenant le critère fondamental du vrai et du réel, est aussi l'expulsion de tout ce qui est pour nous réel dans le monde de la doxa, un monde d'opinions qui sont toutes équivalentes, parce que toutes également privées de toute valeur véritative. Le monde de la vérité, de l'identité, de la permanence, donc, « n'est pas » celui des opinions, des différences, des relations et des changements. Mais si le premier monde est la négation du deuxième, et l'un est l'autre de l'autre, alors leur différence se révèle constitutive de l'identité du premier non moins que du second. L'Être ne peut être pensé comme absolu, identité sans différence, si non refoulant, niant sa relation constitutive avec le non-être. Si le non-être, absolutisé, doit devenir « tabou », c'est parce que son refoulement, ou négation, est le fondement caché de l'absolutisation de l'être.
C'est seulement avec le parricide accompli par Platon que la philosophie grecque commence à s'émanciper de l'interdit parménidien de prononcer la négation, et donc de l'opposition abstraite et inarticulée entre deux mondes que cette interdiction implique. Dans le Sophiste, Platon soustrait le « non-être » à la substantialisation opérée par Parménide en identifiant le signifié de « négation » avec celui d'altérité ou diversité. Le « non-être » n'est plus quelque chose d'ontologiquement, radicalement opposé à l' « être », mais signifie désormais seulement la relation de diversité entre une chose déterminée et les autres, autrement déterminées. Le non-être platonicien, étant un non-être non plus absolutisé mais relatif, n'exprime plus un trou noir de réalité, mais le lien qui joint, dans la réciprocité de leur différence, deux ou plus êtres, tous positivement existants. C'est-à-dire qu'il exprime la nature une et en même temps duale de l'identité, parce qu'il n'y a aucune identité en-deçà du lien de distinction sur lequel elle se fonde, ni aucune reconnaissance de cette identité sans la reconnaissance de cette fondamentale relation avec l'autre. C'est vrai, Platon assigne à ce qui, selon lui, constitue le monde de la réalité et de la science, c'est-à-dire au monde des idées, les mêmes caractéristiques que Parménide avait assignées à l'Être, à savoir la parfaite immutabilité et l'éternelle coïncidence avec soi. Néanmoins, il articule l'Un parménidien dans la multiplicité des idées, et définit la dialectique comme la science philosophique qui étudie les relations de compatibilité et d'incompatibilité, de connexion et d'exclusion, d'implication et de subordination des idées entre elles. Le monde de l'être, de l'identité, de l'intelligibilité devient ainsi un monde de déterminations, de différences, de relations. Et cette réfutation de l'unicité inarticulée de l'être prend sa source en Platon précisément dans la relativisation du « non-être » et de sa sémantique.
Commencée avec Platon, cette émancipation de la pensée des terreurs monistes d'une parole traduite archaïquement en réalité ne s'achève qu'avec Aristote. Non seulement, d'une part, Aristote redonne dignité ontologique et épistémologique, avec sa Physique, au monde du mouvement et du changement, pour l'explication duquel avec le couple puissance-acte, il ouvre des nouvelles voies interprétatives par rapport aux difficultés parménidiennes et platoniciennes de concevoir génération et corruption comme passage de l'être au non-être. Mais surtout, d'autre part, il approfondit avec ses écrits logiques et métaphysiques, la polysémie de la négation, la multiplicité des sens ou des formes dans lesquelles elle peut être employée par le langage. D'ailleurs, en partant toujours de l'expérience et du savoir commun pour les conduire aux niveaux les plus élevés de l'abstraction scientifique, la philosophie d'Aristote se termine souvent en une clarification de plusieurs modalités dans lesquelles catégories et expressions linguistiques peuvent être concrètement employées et signifiées. « $\tau o ~; o \nu ~; \pi o \lambda\lambda\alpha\kappa\omega\zeta ~; \lambda\acute\varepsilon\gamma\varepsilon\tau\alpha\iota$ », dit Aristote dans sa Métaphysique : l'être, l' « est », est dit en une pluralité de sens. Le non-être aussi est dit en une analogue pluralité de sens. Le « non est » exprime en effet pour Aristote : 1) le non-être comme faux, quand le discours porte sur quelque chose qui existe dans le langage ou dans la représentation subjective, mais pas dans la réalité ; 2) le non-être comme copule, c'est-à-dire la négation de l'inhérence d'un certain prédicat à un certain sujet ; 3) le non-être comme privation, « quand une chose n'a pas quelque attribut qu'elle-même ou son genre devraient avoir pour leur propre nature » (Métaph., $\Delta$, 1023b, 22-25). C'est alors grâce à cet approfondissement de la diversité des sens de l'être et du non-être, qu'Aristote parvient dans le livre ? de la Métaphysique à l'un des résultats les plus profonds et influents de sa philosophie, c'est-à-dire la définition de la contradiction comme l'impossible conjonction, dans la même unité de temps, de deux jugements dans lesquels le même sujet est uni au même prédicat avec une copule dans un cas positive et dans l'autre négative. En outre, si on tient compte de la distinction à laquelle Aristote est parvenu, entre jugement négatif (A n'est pas B) et infini (A est non-B), on peut comprendre à quel point de raffinage sa réflexion sur la nature polysémique de l'être et du non-être est arrivée, et combien elle est désormais loin de l'hypostase substantialiste du non-être, avec laquelle Parménide avait hypothéqué le chemin entier de la philosophie grecque. En bref, il est possible d'interpréter l'histoire entière de la philosophie grecque comme progrès dans l'affranchissement des réifications linguistiques d'origine pré ou extra-philosophique, dans la libération de la pensée du poids des symboles et paroles transformés en principes ontologiques et configurations de la réalité extralinguistique ; et spécifiquement, comme progressive transition au-delà de l'absolutisation archaïque de la négation, en direction de sa relativisation et de la compréhension de sa polysémie. Même si les limites de cette émancipation, ainsi que la continuité avec la tradition archaïque et sa valorisation de l'identité, se manifestent encore avec toute leur force dans la définition aristotélicienne de la substance comme principe de la réalité : to ti hén einai, la substance se pose, selon cette expression, comme l'être qui était, à savoir l'être qui, au-dessous du passé du temps et des changements, demeure inaltéré dans sa coïncidence avec lui-même.

2. Titre partie

Dans la deuxième partie de notre colloque, j'abandonne le terrain de la philosophie ancienne pour développer quelque considération dans le domaine, plus proche de nous, de la psychanalyse. Et je fais cela dans le but de confirmer de façon inverse, à travers un chemin renversé, la thèse selon laquelle, si l'absolutisation des signes linguistiques, et en particulier de la négation, est un obstacle à la pensée et au progrès scientifique, alors la relativisation et contextualisation des mêmes symboles linguistiques s'impose comme la condition de la libération de l'expérience et de sa dicibilité. Mon intention, je l'ai dit, est de confirmer ma thèse à travers un chemin inversé par rapport à celui que nous avons parcouru pendant notre rapide excursion dans le terrain de la philosophie grecque. A mon avis, en effet, le passage de la conception freudienne à la conception lacanienne de l'activité mentale représente dans l'histoire de la psychanalyse une véritable fracture qui est aussi une régression, et cette fracture est intimement liée à une différence entre deux conceptions de la négation ou du non-être. Si Freud se sert d'un concept concret et relatif du non-être, Lacan, avec l'influence cachée mais profonde exercée sur lui par la pensée de Heidegger, n'a pas eu de scrupules à remettre en jeu, dans la théorie et l'expérience clinique de la psychanalyse, des termes absolus comme le Grand Autre, le Non-être, le Néant, en poussant ainsi la science freudienne sur un niveau qui n'est pas le sien, mais celui de l'ontologie.
La fonction de la négation à l'intérieur de la construction freudienne de la psyché humaine est fondamentale. Ce n'est pas par hasard qu'en 1927, Freud dédie à la négation un essai bref mais bien significatif, intitulé justement Die Verneigung, ou La négation. Mais en dehors de cet essai, c'est de son œuvre entière qu'émerge l'importance de la négation comme acte constitutif même de la pensée entière et de toute capacité symbolique de l'être humain. Déjà en 1895, dans un de ses premiers écrits, Projet pour une psychologie, un essai qui n'est déjà plus neurologique mais pas encore psychanalytique, Freud théorise que la faculté de penser naît quand l'organisme renonce à une modalité primaire et hallucinatoire de satisfaction de ses besoins. Sous la commande absolue du principe du plaisir, quand l'esprit primaire en avertit le besoin, il tend à fantasmer sur la scène d'une satisfaction déjà expérimentée, à la reproduire hallucinatoirement, comme si la représentation intérieure était l'objet même. Seulement en accueillant les avertissements du principe de réalité, l'esprit devient capable de tolérer la perte de l'omnipotence imaginaire et solipsiste originaire, de tolérer l'objet vide, c'est-à-dire le fait que le sein ou la chose gratifiante ne soit pas présente, que la satisfaction du besoin ne soit pas immédiate, et qu'une activité récognitive et réflexive sur le contexte environnant se rend alors nécessaire, activité qui est à l'origine de la pensée. Cette pensée est intrinsèquement symbolique, parce que ses raisonnements ou jugements portent sur un non-être, une absence : une absence, il faut remarquer, qui n'est pas une absence absolue, mais relative seulement à l'objet désiré, l'objet d'une satisfaction précédemment éprouvée. D'une part, alors, on peut affirmer que la pensée, la capacité symbolique-linguistique de l'esprit humain, naît précisément comme réponse à une double exigence, l'exigence de distinguer entre elles les représentations des choses comme présentes et les représentations des mêmes choses comme absentes, entre sensation ou perception et imagination ou mémoire, et l'exigence de lier entre elles ces représentations ou images mentales des choses absentes, dans le but de rendre possible une orientation de l'action qui soit cohérente avec la réalité extérieure, avec une satisfaction différée mais réelle, non hallucinatoire du besoin. D'autre part, on doit reconnaître que la fonction de la pensée, de la conscience, est inséparable de celle de la négation, comme capacité de l'esprit de se référer aux choses en tant que non présentes, d'en reconnaître l'absence, en reconnaissant ainsi aussi que la pensée, le Moi, n'est pas le monde.
Ce passage de l'esprit d'un processus primaire ou primitif, à un secondaire ou plus mûr, est aussi caractérisable pour Freud comme le passage de l'appareil psychique d'une première phase, dans laquelle il fonctionne de façon dominante selon la pratique de la négation comme opposition/exclusion, à une deuxième phase, caractérisée par un psychisme qui se structure sur la prévalence de la fonction proprement symbolique de la négation même : comme le passage de la psyché, donc, d'une topologie et d'une pratique structurées surtout sur l'opposition « dedans/dehors » à une configuration plus articulée et complexe. Le « Moi-plaisir » scinde le monde entre ce qui est intérieur et ce qui est extérieur, en plaçant à l'intérieur tout ce qui donne plaisir, qu'il peut manger et assimiler, et à l'extérieur tout ce qui donne douleur et qu'il veut cracher et rejeter hors de soi. Obéissante aux plus archaïques pulsions orales, la scission/répulsion est l'opération constitutive de l'esprit, sa modalité plus primitive, conformément à laquelle le Moi se constitue originairement comme identification symbiotique avec soi de tout ce qui est bon et expulsion hors de soi de tout ce qui est méchant. Dans le Moi le plus évolué, ou « Moi-réalité », qui a désormais dépassé l'omnipotence du principe de plaisir et pour lequel la satisfaction ne peut plus être simplement hallucinatoire, la distinction dedans-dehors est subordonnée et ré-fonctionnalisée à la distinction réel/non-réel. « Le non-réel, écrit Freud, le simplement représenté, le subjectif, n'est que en dedans ; l'autre, le réel, est présent aussi en dehors. […] L'expérience nous a montré qu'il n'est pas seulement important de savoir si une chose (objet de satisfaction) possède la « bonne » propriété, donc mérite l'acceptation dans le Moi, mais aussi de savoir si elle existe dans le monde extérieur, de sorte qu'on puisse s'en emparer au besoin » [3]
Comme accueil dans l'esprit de l' « objet vide », de la non-réalité, on a vu que la négation est pour Freud fondatrice de la pensée et de l'entière symbolisation linguistique qui en dérive. La pensée, c'est-à-dire la fondamentale fonction symbolique de l'esprit, est tout un avec sa capacité de se rapporter au non-être de l'objet de satisfaction, de le symboliser. Sans cette fonction, sans cette capacité à se rapporter à l'absence de l'objet en la symbolisant et donc à l'insatisfaction et à la douleur comme quelque chose d'intérieur, l'esprit demeure dans une modalité archaïque et pathologique de dysfonction, caractérisée par la scission et l'expulsion de tout ce qui est autre que soi. Le « Moi-plaisir » ne mûrit pas, il ne se développe pas en « Moi-réalité ».
En tant qu'absence de l'objet, ou présence de la non-chose, la négation est donc pour Freud à la base de la formation de la pensée. Pour Wilfred Bion, psychanalyste postfreudien élève de Melanie Klein, cette même capacité à tolérer la non-chose devient l'instrument fondamental pour l'approfondissement de la nature relationnelle, outre que logique-symbolique, de l'esprit humain et de sa genèse. Bion joint la négation à la rêverie, à la capacité de la mère ou de celui qui exerce la fonction maternelle, d'apercevoir les besoins ou les peurs de l'enfant, de les accueillir au-dedans de soi, de les déchiffrer et identifier, et de les redonner à l'enfant une fois compris et mitigés par rapport à leur originaire violence. C'est seulement cette relation primaire avec un autre que soi, cet aller-retour d'émotions primaires, qui consent alors de tolérer la non-chose, en empêchant que le sentiment de frustration ou d'impuissance lié à l'absence de l'objet ne se transforme en panique, en une terreur sans nom. L'appareil pour penser les pensées naît dans l'esprit seulement s'il y a un autre esprit capable de penser et d'accueillir le premier. Sans cet esprit au carré, cette relation récipient/contenu, aucune capacité de tolérer, de penser, de symboliser la présence de l'absence ne peut naître. La capacité de la symbolisation ne peut pas naître sans celle de tolérer la non-chose. Les besoins, les tensions émotives vécues par un esprit qui n'est pas originairement contenu dans un autre esprit, restent des « choses en soi » kantiennes, des tensions sans nom qui dans leur angoisse terrorisante ne peuvent, selon Bion, qu'être scindées d'elles-mêmes et expulsées hors d'elles-mêmes, évacuées à l'extérieur où elles demeureront avec une valence d'extranéité et d'altérité absolue et persécutrice. La psychose se structure exactement comme cette dysfonction de la faculté de penser, comme cette pathologie de la fonction symbolique de l'esprit. Le psychotique n'est pas capable de penser, c'est-à-dire de formuler et d'utiliser mots et pensées en absence de l'objet, de sorte qu'il ne peut pas produire de souvenirs, d'actes représentatifs intérieurs reconnus dans leur irréalité, mais seulement des « actes nus et crus », parce que ses représentations-hallucinations sont des « choses en soi », des non-pensées [4].
Dans l'évolution de l'esprit, en bref, tout se passe comme s'il y avait une sorte de proto-cerveau qui emploie la négation comme exclusion-opposition, un appareil psychique qui, de façon analogue au Moi-plaisir de Freud, projette hors de soi tout ce qui à l'intérieur-même de soi est signalé comme négatif, c'est-à-dire opposé à soi-même. Et comme si ce proto-cerveau procédait ensuite à une sorte de restructuration fonctionnelle, à travers l'introduction d'une nouvelle fonction de la négation, qui n'est plus employée comme exclusion-opposition, mais comme symbole de la non-chose, c'est-à-dire comme symbolisation de la présence de l'absence. Comme si la destination originaire de l'esprit, avec son activité assimilative-expulsive, n'était pas encore celle, successive et plus appropriée, de la pensée symbolique, qui pour pouvoir naître exige au contraire une profonde réorganisation et réorientation de l'activité mentale.
On a vu la naissance freudienne et un des développements postfreudiens d'une réflexion critique sur la centralité de la négation dans le passage de l'esprit d'une modalité de fonctionnement expulsive et réifiante à une modalité symbolique et discursive, c'est-à-dire à la capacité de penser les pensées et d'opérer la distinction fondamentale entre fantaisie et réalité, hallucination et perception. Or, cette même réflexion est complètement absente, à mon avis, dans la relecture que Jacques Lacan a faite de l'œuvre freudienne, relecture qui revient à un fort alourdissement ontologique de la négation. Une fois abandonnée l'économie matérialiste et pulsionnelle de Freud, Lacan range l'origine du sens de l'existence, origine à laquelle l'être humain désire toujours retourner, en une condition prénatale de fusion supposée entre enfant et mère, dans laquelle dominent l'absence de confins, le non séparé, l'indéterminé, le Néant, ou la grande Béance. Ce Néant originaire ou grand Autre, avec son énorme force évocatrice et attractive, constitue le « signifiant » par excellence, et institue la différence et l'incommunicabilité entre désir et besoin. Liés à l'économie de la satisfaction des petits objets, les besoins dissimulent, refusent et refoulent l'instance plus profondément désirante liée au grand Autre. De cette façon, l'expérience humaine se redouble et se scinde de nouveau entre deux plans, le plan concret mais banal et aliéné des femmes et des hommes mus par leur besoins, et le plan noble et authentique, mais inatteignable, de la voix inconsciente du grand Autre. Pour qui qui a lu Heidegger, il n'est pas difficile de comprendre combien sa remise en question, après quatre siècles de pensée moderne, des catégories ontologiques de l'être et du néant, et d'un gouffre entre ce niveau « ontologique » et celui « ontique » des êtres, a profondément conditionné la dite « révolution » - en un sens non nécessairement progressif - que Lacan a achevé dans la psychanalyse.

Conclusion

Dans notre colloque, j'ai essayé de donner quelques exemples des possibles typologies de la négation et des conséquences pathologiques de leur distinction manquée. Comme Platon et Aristote l'ont enseigné, en mouvant contre l'interdiction du vénérable Parménide, la négation est polysémique et renvoie à une pluralité de sens et d'emplois. Encore aujourd'hui, dans celle qui a été appelée l'époque du désenchantement, la surveillance critique de l'attitude magique, sinon mystique, de traduire les mots dans la prégnance des choses, maintient toute son actualité. Surtout aujourd'hui, peut-être, après les longues décades de l'hégémonie heideggérienne et lacanienne dans la philosophie, et plus en général dans les sciences humaines, il n'a pas cessé d'être nécessaire de réaffirmer la fonction critique et thérapeutique d'une philosophie capable de s'opposer polémiquement à chaque absolutisation ou réification des signes verbaux.

[1] G. Calogero, Storia della logica antica, vol. I, L'età arcaica, Laterza, Bari 1967.

[2] Cf. E. Cassirer, La philosophie des formes symboliques. 1. Le langage, trad. fr. de J. Lacoste et O. Hansen-Løve, Ed. de Minuit, Paris, 1972.

[3] Cf. S. Freud, La (dé)négation, trad. fr. in A. Kremer-Marietti, La symbolicité, Presses Universitaires de France, Paris, 1982, p. 227.

[4] Cf. W. R. Bion, Aux sources de l'expérience, Presses Universitaires de France, Paris, 1979 ; Id., Transformations : Passage de l'apprentissage à la croissance, Presses Universitaires de France, Paris, 1982 ; Id., Éléments de la psychanalyse, Presses Universitaires de France, Paris, 1979.

La ludique, arguments et types

Pierre Livet — 2012-11-21T08:37:23Z

Au lieu de fonder la preuve sur l'application d'une multitude de règles d'inférences pour remonter de la proposition qu'on veut prouver vers les axiomes (on remonte en utilisant les règles d'élimination des connecteurs et les règles structurelles) Girard a proposé de la fonder sur une interaction entre les développements qui partent de la proposition qu'on veut prouver et ceux qui partent de sa contre-proposition. Celle-ci résulte de celle-là par l'échange entre les parties gauche et droite de la relation de conséquence. Pour simplifier, quand la proposition dit |-A, la contre-proposition dit A|-. La contre-proposition implique donc d'avoir fait passer A à droite ce qui, on l'a vu, revient à attacher à A une négation, nous assurant bien ainsi qu'il s'agit d'une contre-proposition. Le principe de la ludique consiste alors à poursuivre en parallèle les développements de la proposition et de la contre-proposition. Ces développements donnent des arbres (partant d'une formule complexe comme racine d'un arbre, on obtient les formules qui résultent de sa décomposition - des ensembles de formules plus simples - comme des branches qui elles-mêmes se ramifient. On s'intéresse alors aux symétries entre les deux arbres de développements (symétries toujours par rapport à la relation de conséquence), et plus spécifiquement aux symétries d'une formule qui apparaît dans la branche d'un arbre à une formule qui apparaît dans une branche de l'autre. Ces formules sont dites « convergentes », quand ce qui est à la droite de la relation de conséquence dans l'une est à gauche de cette relation dans l'autre. Entre ces formules symétriques par rapport à la relation de conséquence, il y a une interaction, ce qui permet d'utiliser une notion de « coupure », qui en fait connecte deux expressions symétriques, et on peut alors éliminer les formules simples qui sont connectées.

Ce développement se poursuit en parallèle entre les deux arbres, mais vient un moment où, dans une des branches, on ne dispose plus de formules en lesquelles on puisse décomposer les formules précédentes, alors que dans la branche correspondante de l'autre arbre, on peut encore poursuivre le développement. On est alors obligé d'introduire une règle de terminaison de la première branche, en posant une sorte de point final à cette branche, synonyme d'impasse, que Girard appelle le « Daimon ». Le développement qui est conduit à ce genre d'impasse a rompu la symétrie et est donc récusé, celui qui peut toujours poursuivre est validé comme prouvant la proposition dont on était parti.

Ce dispositif permet de révéler les symétries (ou convergences) entre une proposition et sa symétrique relativement à la relation de conséquence - donc sa négation - et d'utiliser la brisure de symétrie finale du Daimon comme principe de décision. On voit la parenté avec un débat argumentatif dans lequel on défalquerait les paires d'arguments qui sont exactement des opposés l'un de l'autre, jusqu'à ce que l'une des parties ne puisse plus trouver d'argument à développer alors que l'autre peut poursuivre et développer des arguments plus spécifiques.

Pour arriver à mettre en évidence ces symétries, Girard a dû regrouper les connecteurs en deux catégories. Il s'agit d'une dualité dite de « polarité » entre les opérateurs logiques (connecteurs, voire quantificateurs pour la logique de premier ordre), qui se combine à une dualité dans les opérations de développement de la preuve (en remontant à partir de la proposition à prouver) entre les opérations « irréversibles » et celles dites « réversibles ». La combinaison entre le quantificateur « quelque » et « irréversible » est triviale : quand je suis mis en demeure d'exhiber au moins « quelque » item qui puisse justifier mon affirmation que « quelque x est F », le choix d'un item est irréversible, parce que si je changeais d'item à volonté, mon opposant ne pourrait plus tester mon choix ; la combinaison entre le quantificateur « tout » et « réversible » tient à ce que si l'on doit et si l'on peut tout considérer, l'ordre de ce passage en revue n'a pas d'importance.

Girard pose une dualité qui lie « réversible » et « négatif », ainsi que « irréversible » et « positif ». Le négatif désigne ce qui fait des offres et est indifférent à l'ordre de parcours, le positif désigne les actions de choix qui orientent le parcours. Ainsi « tout » est négatif , alors que « quelque » est positif. Cette dualité s'applique aussi aux connecteurs.

Grâce à ce regroupement des connecteurs positifs entre eux et des connecteurs négatifs entre eux, il peut proposer seulement deux règles de remontée dans ce dialogue entre preuve et contre-preuve, deux règles de développement d'une partie de la proposition en ses sous-formules, règles qui sont activées en alternance. Chaque règle permet de remonter d'un niveau donné de décomposition de la proposition initiale à un niveau plus avancé.

Le qualificatif de « positif » est lié à l'acte de choisir : je fais une proposition d'action, ce qui introduit une certaine irréversibilité dans le développement, en fonction de l'ordre irréversible de mes choix. Dans les termes de la ludique, je choisis une « ramification ». Mon action en effet comprend la plupart du temps des sous-actions, et je vais devoir assurer toutes ces sous-actions, en même temps si c'est possible, sinon tour à tour et sans que l'ordre importe, caractéristiques qui correspondent au connecteur qui est nommé « tenseur » (une conjonction multiplicative).

Le qualificatif de négatif est lié à une forme de réversibilité : je vous offre différentes ramifications possibles entre lesquelles vous avez le choix sans qu'aucun ordre soit imposé (« réversibilité »). Puis, quand vous avez choisi une des ramifications de ce « répertoire », elle m'est imposée et je dois la développer. Comme vous auriez pu m'en proposer une autre que j'aurais aussi bien dû développer, de ce point de vue le connecteur utilisé est celui du « avec », la conjonction additive, qui est un « et », une conjonction dont on peut choisir un des deux termes « ad libitum ». Pour pouvoir revenir développer une autre ramification, il faut que nous puissions opérer des copies et des répétitions.

On peut retenir de ces constructions l'idée que la dynamique de l'opération logique interactive implique une articulation entre focalisation (choix) et déploiement (offre), et que cette articulation peut prendre deux régimes qui se répondent et alternent, l'un, dit positif, où l'on commence par sélectionner irréversiblement pour ensuite devoir tenir compte de tous les éléments de la sélection (mais sans ordre imposé, ce qui est une forme de réversibilité) ; l'autre, dit négatif, où l'on commence par faire des offres sans ordre, mais qui impose ensuite à celui qui a fait l'offre de développer la ramification choisie par l'autre (ce qui est une forme d'irréversibilité). Ainsi chaque régime présente une des deux combinaisons inverses d'irréversibilité et de réversibilité.

Quel rapport pourraient avoir ces interactions logiques avec la typification ? Il semble que ne peuvent être typés que les éléments de l'interaction qui convergent. Leur typage « ludique » pourrait alors tenir à ce qu'ils peuvent jouer un rôle et dans une démarche positive et dans une démarche négative. Si l'on pense au typage par « e » et « t », et leur enchâssements, ce qui correspond à « t » (vérité, signe qu'on a une formule signifiante et évaluable), c'est toute interaction (coupure) qui permet ensuite de continuer le développement (puisque c'est le côté qui peut continuer le développement qui finit par avoir raison). On pourrait alors avoir aussi des typages indicatifs du stade du développement, dans le développement qui ne pose pas le Daimon. Mais cela laisse aussi ouverte la possibilité de typer des « échecs » quand on pose le Daimon même trop tôt, à différents stades du développement, en fonction de la structure de l'interaction à ce moment là. Le Sconse, la Bombe, sont des typages de tels échecs (des structures repérables sur plusieurs étapes du développement). Les types pourraient donc indiquer des structures d'interaction qui présentent des formes saillantes, auxquelles on pourrait penser pouvoir réduire des développements plus longs.

Dans un débat argumentatif, on retrouve certaines de ces propriétés. Tout argument fait un choix parmi les éléments à verser au débat. Tout choix peut être susceptible de plusieurs interprétations, qui sont donc par là même offertes à l'argumentation de la partie adverse. Quand j'ai fait le choix d'un argument, je dois pouvoir assurer toutes ses justifications. De même quand je propose un projet, je dois satisfaire toutes ses contraintes de réalisation. Mais je peux le faire dans l'ordre que je veux. C'est la partie « positive ».

La partie « négative » tient à ce que le développement de mon argumentation offre à l'adversaire plusieurs pistes de répliques ou de mise à l'épreuve. C'est à lui d'en choisir une, et de me défier de pouvoir soutenir cette mise l'épreuve sur ces points précis. Ce défi, je dois le relever, je ne peux pas m'en dispenser.

La ludique attire donc notre attention sur deux caractéristiques d'un débat argumentatif réglé, comme l'est celui du contradictoire en droit : la première, c'est que tant que les arguments pro et contra sont symétriques, on ne peut pas décider, et qu'il faut une brisure de symétrie où l'un est bloqué dans son argumentation tandis que l'autre peut la poursuivre par exemple en fournissant de nouveaux faits - pour arriver à une décision. C'est là ce que montre le dispositif d'interaction par symétrie entre les formules qui développent la preuve et celles qui développent la contre-preuve, et de brisure de symétrie finale par le Daimon. La seconde, c'est que la dynamique de l'argumentation est scandée par ces deux modalités : sélectionner une piste d'argumentation au risque de diminuer la force argumentative d'une autre piste possible, parce que le processus argumentatif se développera à un niveau bien plus riche dans la piste choisie que dans la piste laissée de côté et en biaisera l'interprétation ; offrir un ensemble complet de pistes possibles, mais devoir alors accepter le défi d'une épreuve qui porte sur une seule de ces pistes.

Ce sont là des modalités qui analysent de manière plus fine cette évidence : l'argumentation du débat est interactive. C'est seulement le contre-argument qui révèle la force - ou la faiblesse - de l'argument, et réciproquement. L'image classique du raisonnement syllogistique nous amenait, en réfléchissant sur la notion de force logique, à penser que plus on déroulait des inférences complexes, plus on perdait en force logique. Mais si nous nous appuyons sur cette relation entre un débat argumentatif et ces développements parallèles qui mènent à la conclusion qu'une des propositions opposées est prouvée, la remontée dans ces développements revient à gagner en force logique, non pas au sens strict, mais au sens d'une justification supérieure, puisque la formule est maintenant prouvée. Or ce gain de justification, il est ici fondé sur la symétrie entre la proposition et sa contre-proposition, sur le dispositif d'émondage, par interaction ou par « coupure », des arguments strictement opposés (dits « convergents »), et sur l'alternance des deux règles, l'une dite positive, l'autre dite négative, qui alternent donc la clôture/ouverture : ouverture d'un chemin argumentatif mais aussi biais sélectif en faveur de ce chemin ; et l'ouverture/clôture : prise en compte de tout un ensemble de suites interprétatives, mais contrainte d'avoir à défendre celle qu'on n'aurait pas forcément préférée.

Pour montrer que l'on peut réaliser cette transposition de la ludique à l'analyse de la preuve dans un débat argumentatif, puis dans le contradictoire juridique, il a fallu d'abord appliquer la ludique à l'analyse de dialogues, comme l'ont fait sous la direction d'Alain Lecomte les membres de l'ANR Prélude. Chaque acte de langage y a deux faces, une face de choix et une face d'offre, un aspect « positif » et un aspect « négatif ». Par exemple une question restreint l'ensemble d'informations possibles à celles pertinentes pour cette question, mais en même temps elle exige de pouvoir admettre différentes possibilités de réponses. Une réponse clôt certaines de ces possibilités, mais en même temps elle ouvre vers d'autres répertoires possibles de questions, et ainsi de suite.

Nous avons nous-même proposé une combinaison similaire de « positivité » et de « négativité » pour étudier les arguments d'un débat public. Devant la commission du Débat Public, les porteurs de projets (des projets qui engagent des sommes considérables et modifient durablement l'environnement) doivent exposer leur projet, qui est alors soumis aux critiques de l'assistance (qui comprend des élus locaux, des responsables d'associations, et de simples citoyens). Le projet exposé est évidemment déjà bien construit et en principe, satisfait les contraintes de sa réalisation. Il est nécessaire qu'il satisfasse toutes ces contraintes. On est donc dans le régime d'une règle positive. En revanche, les citoyens et les associations rappellent que ce projet ne satisfait pas certaines exigences environnementales (on ne peut pas toutes les satisfaire). Ils utilisent donc le fait qu'en proposant un projet et en le soumettant au débat public, le porteur de projet a implicitement fait aussi une offre (régime négatif) qui ouvrait un répertoire d'exigences envisageables. Les différents opposants se donnent alors chacun le droit de choisir de mettre à l'épreuve ce projet sur au moins une exigence. Et le porteur de projet doit alors pouvoir montrer soit qu'il satisfait cette exigence, soit que cette exigence ne figure dans aucun répertoire de projets réalisables dans le domaine considéré. En général, il se bat sur deux fronts : il montre que son projet satisfait certaines des exigences que les différents opposants lui opposent, et que les autres exigences non satisfaites ne le sont pas non plus par les projets que pourraient proposer les opposants. Dans cette deuxième réplique, il renverse les rôles : il admet que les opposants à eux tous avaient offert un répertoire d'exigences (rôle négatif), et que c'est maintenant à lui d'indiquer parmi ce répertoire une ramification d'exigence pour laquelle il met au défi ses opposants de dire comment ils en satisferont les contraintes de réalisation.

Si nous transposons dans le débat contradictoire, il faut noter que nous regagnons de la force logique de justification en pensant les arguments les uns relativement aux autres, du moins si nous constatons des différences entre les deux lignes argumentatives qui vont majoritairement dans le même sens, si bien que la décision peut souvent s'appuyer sur cette asymétrie entre thèse et anti-thèse qui subsiste quand on a défalqué toutes les symétries. Il s'agit d'une différence relative de force, et non d'une force absolue.

En revanche, si on adoptait en droit une logique de la preuve qui ne serait pas interactive mais simplement descendante (du style : on part des principes fondateurs du système du droit et on redescend déductivement jusqu'à des règles plus spécifiques, ensuite on applique ces règles aux cas via un syllogisme) et ce parce qu'on croirait suivre le modèle d'une déduction logique, on ne pourrait pas conserver suffisamment de force logique pour que la décision soit autre chose qu'un dictat d'une volonté. Il se pourrait donc que le décisionnisme en philosophie du droit tienne à une conception dépassée de la preuve en logique (celle qui réduit la preuve au syllogisme).

On pourrait prétendre lier sélection (règle positive) et volonté, et lier offre de prise en compte (règle négative) de tous les éléments aux nécessités normatives qui contraignent le juge et rationalité juridique. Mais on peut faire une analyse plus fine. Au départ, le droit offre à celui qui veut déposer une plainte un répertoire de normes de référence différentes. C'est au plaignant de choisir à quelle norme il se réfère. L'offre du droit, comme il se doit, a donc lancé une règle dite « négative ». Une fois que le plaignant a choisi la norme qu'il invoque, et s'il a bien choisi sa norme, le défenseur doit répondre à cette attaque dans le cadre de la ramification propre à cette norme. Il le fait en choisissant lui aussi une norme de référence (une sous-ramification), mais cette fois selon une règle dite positive. Dès lors il doit s'assurer de disposer de tous les moyens de preuve nécessaires à la satisfaction des conditions de cette norme - il ne peut pas en laisser de côté. Il est parfois possible de revenir en arrière et de repartir sur le choix d'une autre ramification, en changeant de système de plaidoirie (par exemple de plaider coupable alors qu'on a commencé par plaider non coupable) mais c'est une stratégie assez ruineuse (on a vu que revenir en arrière exigeait de faire comme si on pouvait commencer un deuxième procès, partant d'une copie d'une partie du premier). Si tous les procès étaient assurés logiquement de se clore, ils se termineraient quand dans ces alternances de coups négatifs et positifs, l'une des parties ne pourrait plus soit (échec d'une règle négative) proposer à l'adversaire une offre dans laquelle il trouve un défi qu'il ne puisse éviter de relever, soit (échec d'une règle positive) trouver dans ses moyens de preuves tous les éléments pour satisfaire les normes de référence que l'adversaire le défiait de satisfaire. Le Daimon serait posé par l'une ou l'autre partie, ou par le juge qui peut mieux que les parties évaluer où en est l'interaction.

Il est aussi possible que le plaignant ait choisi une norme de référence dont le défenseur puisse prétendre que son cas ne relève pas. Autrement dit, la ramification choisie par le plaignant ne figure pas dans le répertoire du défenseur. Dans les termes de la ludique, cela revient pour le plaignant à devoir poser un Daimon, à révéler au tribunal que l'interaction du contradictoire diverge au lieu de converger. Cela peut forcer le plaignant - voire le juge dans l'instruction - à choisir un autre chef d'inculpation ou une autre norme de référence, pour que le procès puisse se développer (ou bien, au contraire, l'instruction peut conduire à un non lieu). De même, celui qui doit jouer un coup positif peut prétendre avoir fourni les moyens de preuve adéquats, alors que l'autre partie le dénie. Ici encore, c'est le juge qui peut intervenir, soit, dans le premier cas, pour montrer qu'en fait le cas relève bien de la norme de référence, soit, dans le second, pour montrer que le moyen de preuve est défaillant. La possibilité toujours latente de telles divergences fait que la fonction du juge reste nécessaire et que son rôle ne se réduit pas à enregistrer les conclusions logiques du contradictoire, mais qu'il peut intervenir pour relancer le jeu du contradictoire qui était tombé dans une impasse.

Il ne s'agit donc plus d'une opposition entre volonté et raison, mais d'un entrelacement entre deux dynamiques rationnelles, qui ont chacune leur intérêt et leurs limitations, et que la rationalité exige d'entrecroiser.

L'informatique aux interfaces des savoirs

Giuseppe Longo — 2012-08-30T11:40:24Z

1. L'origine de la machine numérique à états discrets : entre mathématiques et philosophie.

Au cours des années 1930, un croisement très riche entre le questionnement philosophique sur les fondements des mathématiques, la réflexion sur la cognition humaine et les techniques mathématiques nouvelles, est à l'origine de l'ordinateur moderne. A l'époque, les machines à calculer existent déjà, de celle de Babage (1850) aux machines analogiques comme le « Differential Analiser » de V. Bush (1927), mais c'est le problème épistémologique de la complétude déductive des formalismes axiomatiques, qui amènera à l'invention des concepts fondamentaux du calcul digital moderne.
L'analyse logique de la preuve chez Herbrand (sa thèse, 1930, Ens-Sorbonne) contient une première définition de la fonction récursive primitive (calculable au sens fort). Gödel (1931) et Turing (1936) enchaineront en donnant une réponse définitive au questionnement fondationnel de l'époque : est-ce qu'un calcul de signe potentiellement mécanisable et sans référence au sens permet de décider tout énoncé mathématique ? Peut-on en démontrer la cohérence par des arguments « finitaire » et formels ? Et, en fait, le raisonnement humain est-il
complètement réductible à un système de signes potentiellement mécanisable ?
Pour répondre à de telles questions philosophiques, ces grands mathématiciens durent préciser ce que veut dire « potentiellement mécanisable ». Autrement dit, pour construire des propositions indécidables ils durent préciser ce que veut dire décidable ou calculable en général, en donnant une formalisation mathématique (la classe des fonctions récursives) de la notion informelle de calcul. Turing, en particulier, en propose une définition particulièrement originale, sa Logical Computing Machine (LCM), idée abstraite d'un « homme dans l'acte minimal de calcul » (une remarque de Wittgenstein), et définit formellement par ce biais des fonctions non-calculables. Les deux idées au cœur de la LCM sont l'invention et la distinction, purement mathématiques à l'époque, de la notion de logiciel et de la notion de matériel.
Ces deux « non » retentissants, de Gödel et Turing, à l'hypothèse de complétude de la déduction formelle constituent donc une réponse technique à un questionnent philosophique sur le raisonnement déductif et la cognition humaine. Et l'univers du calculable ainsi construit et bien délimité permettra, dix ans après, de réaliser cette machine électronique à état discret qui
est en train de changer nos formes de connaissance, voire notre rapport au monde. Plus précisément, quel impact cette machine a-t-elle aujourd'hui sur la construction des savoirs scientifiques, et des « savoirs » en général ?

2. Imitation et modélisation.

Dans deux articles, de 1950 et 1952, Turing propose implicitement une distinction de très grande importance concernant l'intelligibilité que la Machine peut nous donner du monde. Dans le premier, il décrit un « jeu de l'imitation », entre une femme et un ordinateur, confrontés à un interlocuteur qui leur pose des questions pour comprendre, sur une télétype. Dans le deuxième il propose un « modèle mathématique » (un système d'équations) de l'engendrement physico-chimique de formes (« morphogénèse »).
Plus précisément, dans le premier article, il précise la nature physique de sa machine logique : elle est une « discrete state machine » (DSM) qu'il utilise pour duper l'interlocuteur (qui est la femme ?). Le deuxième développe une analyse innovante d'une dynamique (action-réaction-diffusion) dans un « système continu ». La différence conceptuelle est radicale. La première construction n'envisage pas de rendre intelligible les processus mentaux, mais de les imiter sous contrainte (l'interface linguistique discrète, la télétype – l'examinateur ne peut pas toucher, par exemple). La deuxième, « qui peut être fausse », dit-il dans l'introduction, essaye de faire comprendre ce qui se passe dans un processus dont on met en évidence des
causes et des conséquences : les équations mathématiques donnent une structure de la détermination possible de la dynamique physico-chimique – elles la rendent intelligible et permettent la prédiction, au moins qualitative, de l'évolution (sous certaines conditions, une structure modulaire, en bande, va paraître, dont les détails des formes dépendront de fluctuations initiales en dessousde l'observable – conséquence de la « dérive exponentielle »,
dit-il, dans son génie de précurseur).
Cette « sensibilité aux conditions aux contours » (la dérive exponentielle), si bien comprise par Poincaré (1890) mais que l'on décrira dans des termes mathématiques précis seulement dans les années 1970, est au cœur des dynamiques continues non-linéaires. Elle échappe au discret computationnel, car la discrétisation force un niveau minimal d'accessibilité du calcul :
l'approximation propre à son univers de données discrètes. Turing le dit explicitement, en 1950 : sa « DSM n'est pas sujette à ce phénomène », la dérive exponentielle, qui l'intéresse tout particulièrement dans le deuxième article.
Réfléchissons à cet enjeu de façon plus générale. Le discret et le continu nous proposent des regards différents sur le monde, ils l'organisent mathématiquement de façon différente. Dans les décennies suivantes, on clarifiera par des théorèmes que l'un n'est pas l'approximation de l'autre, en général : dès que l'on décrit une dynamique continue d'interactions (non-linéaire, mathématiquement parlant), les trajectoires dans le discret divergent rapidement des évolutions possibles dans le continu et la prédictibilité mathématique change. Des « théorèmes de poursuite » spécifient les possibilités et les limites des approximations digitales. Le monde organisé en petites cases bien séparées est tout autre chose que le monde lisse (et différentiable) de Cantor et des équations différentielles. La DSM permettra d'en résoudre comme jamais auparavant, mais le modélisateur doit analyser ce qu'il perd et apprécier ce qu'il gagne : la force du calcul, bien évidemment, mais aussi la possibilité de l'itération à l'identique de la simulation computationnelle, même de la plus sauvage des turbulences et du plus étrange des attracteur. Cela est inconcevable pour ces processus physiques – ils n'itèrent jamais à l'identique : la dérive exponentielle l'empêche, en tant que croissance exponentielle de fluctuations non mesurables, qui deviennent observables dans le temps. dans la machine à état discret on gagne énormément en puissance de calcul, mais on perd du sens : l'intelligibilité proposée par le modèle continu.
La Mécanique Quantique confirmera l'importance de l'enjeu : la distance de Planck ne partage pas l'espace en petits cubes phénoménologiquement séparés, car l'intrication empêche la séparation par la mesure ; la dynamique est décrite par les équations de Schrödinger, dans le continu des espaces d'Hilbert, hors du monde (de dimension infinie, si nécessaire). Et elle posera le problème de la « prochaine machine », où la nature du matériel, quantique, modifiera profondément la conception du logiciel et l'organisation de la connaissance qu'il nous propose.

3. La simulation et l'interaction.

Souvent, le terme de « simulation » gomme les distinctions que l'on vient de faire. Et la machine est supposée « représenter » le monde et nos savoirs de façon plus au moins fidèle, sans autres précisions. Or, il faudrait prendre garde à ce terme, ou en trouver d'autres qui permettent de préserver la finesse des analyses. Appelons alors simulation la pluralité intégrée et
interactive de l'expérimentation virtuelle, telle qu'elle est faite aujourd'hui. Dans ce cas, l'implantation numérique d'une image du monde précède ou guide la modélisation, en tant que tentative mathématique d'intelligibilité causale. D'approche naïve, elle est devenue une méthode scientifique, très utilisée de la météorologie et de la géophysique à la biologie végétale. On
insère dans la machine une grande quantité de données, voire de paramètres et d'observables, même, dans certains cas (en biologie végétale, typiquement), avant que l'on puisse concevoir un cadre conceptuel et mathématique apte à saisir in abstracto l'immensité de ces espaces de phases. Ce cadre sera dans la machine, il se co-constituera dans l'interaction
homme-machine. Voilà une nouvelle forme d'empirie qui se joue entre le chercheur et la machine : elle est si puissante et si constitutive de nouvelles connaissances scientifiques (et non scientifiques), qu'elle exige un approfondissement épistémologique et gnoséologique fort important. C'est un savoir-faire et un savoir qui se mêle de tous les savoirs.

4. Les réseaux et l'interaction entre machines.

Un nouveau niveau d'organisation s'est ajouté au fil du temps à ceux de la machine originelle : celui des réseaux locaux et mondiaux d'ordinateurs. On ne peut pas mentionner ici les problèmes mathématiques que cette nouvelle organisation du matériel pose, voyons-en seulement quelques conséquences.
La machine séquentielle ne modélise pas l'aléatoire physique. Les générateurs pseudo-aléatoires en sont une (modeste) imitation, en fait un exemple des plus pertinents d'imitation de l'aléatoire physique. Typiquement, ils itèrent à l'identique si on les relance sur les mêmes
données au contour, ce qui n'a pas de sens dans des dynamiques quelque peu sensibles. Par contre, l'aléatoire, et l'un des plus « forts » aléatoires, est au cœur des réseaux. Les interventions humaines, le hasard des files d'attente, de l'accès multiple à une même base de données… voilà du « vrai » hasard. Est-ce pair ou impair, le nombre de gens branchés en ce moment sur Skype ? Cette parité peut même dépendre du hasard quantique (qui diffère du hasard classique), car des expérimentateurs au CERN peuvent décider d'accéder au réseau selon le résultat d'une mesure d'intrication quantique …. sans considérer les possibles et variés retards relativistes, quand le réseau entoure la Terre.
Voilà un nouveau rôle du hasard qui, de grand absent à l'origine de l'informatique, devient un phénomène puissant et inédit :
ces réseaux paraissent le seul cadre où l'on soit obligé de mêler l'aléatoire classique, relativiste et quantique, aussi bien que celui des activités humaines. Pourra-t-il nous aider à saisir, par exemple, l'aléatoire propre aux phénomènes biologiques ? Au cours de l'évolution, ainsi que de l'embryogénèse, le hasard des mutations peut avoir une origine quantique, mais il interagit avec des cadres que l'on comprend mieux en termes classiques : les interfaces de dynamiques variées, voire entre phénotypes et entre phénotypes et écosystème. De plus, des effets épigénétiques retro-agissent sur l'expression des gènes, voire sur la fréquence même des mutations. Une culture et une science des réseaux, même s'il s'agit de réseaux de machines, nous offre un point de vue nouveau pour comprendre ces réseaux de réseaux qui forment tout organisme, voire toute espèce biologique, ainsi que la possibilité, bien évidemment, de les imiter, voire de les simuler au mieux.
Tout en s'éloignant des sciences proprement dites, est-ce que les réseaux des savoirs sont étrangers à une « pensée des réseaux » ? Cette dernière peut-elle nous aider à comprendre ce qui est en train de se passer dans le monde de nos savoirs, dans la structure même de nos sociétés, à l'instant où tout individu est (potentiellement et) directement connecté à tout autre
individu, où la communication instantanée plurielle, à n'importe quelle distance, modifie les formes de l'interaction humaine ?

5. Un nouvel univers symbolique.

L'invention du langage, puis celle de l'écriture, ont institué l'histoire humaine en modifiant l'interaction sociale. L'invention des réseaux numériques est peut-être tout aussi importante : cette mémoire et cette présence de l'homme accessibles à tout autre homme enrichissent quantitativement et qualitativement l'échange humain et, donc, l'histoire. Il s'agit en fait d'un
nouveau constitué symbolique. Nous voulons en souligner deux aspects dans lesquels la forte mathématisation dans la conception et l'exploitation des réseaux d'ordinateurs joue un rôle essentiel. La première réflexion, 5.1, servira aussi à faire le point sur un élément ultérieur et fort général de l'interaction fructueuse entre savoirs et rôle de la langue, fût-elle celle,
nouvelle, de l'échange sur les réseaux numériques. La seconde, 5.2, posera la question de l'impact de l'invention récente de la monnaie électronique et réticulaire.

5.1 Référenciant/référencié.

De la même façon que l'on est amené à considérer, pour la raison, un double statut - la raison constituante et la raison constituée - on est conduit à distinguer pour toute forme symbolique, deux fonctions : une fonction référenciante et une fonction référenciée. Tentons de préciser [1].
Dans sa fonction référenciante, une forme symbolique fournit le moyen de formuler et d'établir, comme pour la langue ordinaire en physique (mais cela vaut aussi pour d'autres disciplines), les grands principes (théoriques, pour la physique) autour desquels elle s'organise. Relative au sujet fixant des normes, elle gouverne ainsi en un certain sens l'activité objectivante. Par contraste, dans sa fonction référenciée relativement à ces modélisations, une forme symbolique se caractérise plus par des termes que par des mots [2],
en rapports conceptuels qu'en enjeux de significations ; elle se soumet alors aux déterminations propres de ces structures mathématiques abstraites qu'elle a contribué à mettre en place et dont elle a déclenché la générativité propre. Et ce, jusqu'à ce que le mouvement de théorisation scientifique se serve, en reprise, de cet état référencié de la langue pour lui conférer une nouvelle fonction référenciante en vue de l'élaboration de nouveaux modèles, de nouveaux principes, plus généraux ou plus abstraits, « l'état final » d'une étape devenant en quelque sorte « l'état initial » de l'étape suivante. L'invention mathématique des réseaux et, ensuite, les nouveaux constitués formels qu'ils imposent, jouent ce double rôle dynamique. Dans ce processus dialectique sans cesse en action, le modèle mathématique comme tel maintient l'écart et la distinction - essentiels pour la construction
d'objectivité - entre ces deux fonctions de la langue, voire de tout univers symbolique, tout en assurant la nécessaire médiation entre elles. Il se renforce et se modifie grâce à l'une ; il ne cesse de transformer l'autre de par la dynamique interne qui lui est propre grâce à la générativité des mathématiques. Ce faisant, le modèle mathématique contribue à engendrer
la nouvelle langue de la connaissance à travers les fonctions qu'il lui fait alternativement adopter et entre lesquelles il assure une circulation réglée (un peu à l'image, mais dans le registre de la rigueur objectivante, de ce que parvient à créer la poésie dans le registre de l'engagement de subjectivité).
Un exemple physique de ce processus peut être trouvé, en droite ligne des innovations de Képler, Copernic et Galilée, dans le statut de la théorie de la gravitation universelle de Newton. L'état référenciant de la langue faisait jadis appel à une représentation (« aristotélicienne ») du monde selon laquelle le « supra lunaire » constituait un absolu de la perfection et de la permanence (invariabilité du cours des planètes décrivant des cercles parfaits, et modèle correspondant des épicycles ptolémaïques). Ce n'est pourtant qu'à partir de cette fonction référenciante (dont l'état encore quasi mythique se retrouve chez le même Newton dans ses travaux alchimiques ou bibliques) que se trouve néanmoins construit le modèle mathématique (comme le voulait Galilée) de la gravitation universelle, qui régit tous
les corps qu'ils soient infra ou supra lunaires. Cette relativisation radicale, grâce à la mathématisation, quant aux forces d'interaction, s'accompagne certes du maintien (voire, du point de vue conceptuel, de l'introduction) d'un autre absolu, celui de l'espace et du temps, mais elle redéfinit la langue du cours des planètes dans un état désormais référencié à ce modèle où les orbites elliptiques et les observations empiriques sont « expliquées » par la loi
de la gravitation universelle. Plus : sont dégagés grâce à ce modèle mathématique les invariants physiques pertinents qui serviront de structure d'appui pour toute considération ultérieure et qui modèleront la langue de cette cosmologie nouvelle. C'est cet état référencié (au modèle mathématique ainsi construit) de la langue de la cosmologie newtonienne qui servira ensuite de fondement nouveau pour la suite de la recherche, jouant alors désormais un rôle référenciant, pour relativiser ces absolus d'espace et de temps eux-mêmes et concevoir la théorie einsteinienne de la relativité générale.
Reprenons cette distinction d'un point de vue complémentaire, plus proche des procédures et des formalismes plus spécifiquement logiques. En tant que référenciée la langue doit d'une façon ou d'une autre, pour faire sens et conjurer les paradoxes, se plier à une sorte de théorie des types capable de discriminer entre les différents niveaux de ses énoncés. Mais la construction d'une telle théorie des types fait appel à la fonction référenciante de la langue. Celle-ci guide en effet l'élaboration conceptuelle et la formulation des énoncés formels. Ainsi, la fonction référenciante norme et invente. Elle régit l'activité créatrice et organisatrice. La fonction référenciée est objet d'étude et d'analyse. Elle exige la médiation d'un langage logico-mathématique qui l'objectivise et permette de la traiter rigoureusement au regard de sa propre fonction référenciante.
Notons, à ce stade, que l'exigence, formulée par des logiciens constructivistes, d'une « logique effective » porte donc essentiellement sur l'aspect référencié. Comme dans l'intuitionnisme qui voit l'activité de pensée à l'œuvre dans le processus d'élaboration et de construction mathématique. Mais en tant qu'elle innove et crée, c'est-à-dire en tant qu'elle fait surgir des
références inédites, l'activité de pensée ne répond pas à des critères ou des normes de constructibilité : elle les produit.
D'une façon un peu similaire, tout univers symbolique, à partir de la modélisation de la théorie physique, se présente lui aussi à la fois comme second et néanmoins comme déterminant : sa construction effective succédant à la réflexion (les réseaux et leur langue sont construits, ils ont une histoire scientifique) qui énonce les principes - ce qui est à modéliser - et dont l'antériorité peut lui conférer un statut d'absoluité apparente, patronne pourtant toute avancée théorique ultérieure, quand bien
même cette dernière irait jusqu'à contredire des principes antérieurement tenus pour acquis.
C'est sans doute cette configuration conceptuelle qui permet de comprendre comment les situations parfois si contre intuitives traitées, par exemple, par la physique quantique peuvent néanmoins être « parlées » dans une langue naturelle qui ne cesse spontanément de prétendre le contraire des résultats acquis : cette soi-disant langue naturelle ne l'est plus beaucoup (à
ses mots proprement dits ont été substitués des termes) et en tout état de cause elle s'appuie non plus sur ses structures linguistiques et sa grammaire propres (et les mentalités correspondantes) mais bien plutôt sur les structures mathématiques du modèle qu'elle interprète et commente, sans pouvoir pour autant en restituer la profondeur et, surtout, la générativité mais assurant néanmoins la communication culturelle.
Quelle nouvelle objectivité constituons-nous par cette langue électronique et réticulaire ? Quel nouveau rôle est-il en train de jouer dans nos cultures ce nouvel espace symbolique que nous donne l'écriture digitale et en réseaux, donc partagée instantanément, dont le contenu informationnel est toujours accessible et à tous, grâce à des mémoires digitales immenses et
exactes ?

5.2. La monnaie électronique et réticulaire.

La mise en place de la monnaie frappée, en Grèce ancienne, et celle de la monnaie en papier, à Florence, au cours de la renaissance italienne, se sont accompagnées, ceci n'est point un hasard, de l'invention de la philosophie et de la science ancienne et, ensuite, moderne. Le fait est que ces deux moments de la créativité humaine ont demandé et contiennent en soi
une composante extraordinaire d'abstraction. Que veut dire cette pièce à l'effigie de Kresus, dont la valeur quantifiée par des signes géométriques (carrés, triangles, cercles …) permet de tout acheter, transforme tout en or ? Et ce morceau de papier où l'écriture d'un nombre garantit une valeur commerciale ou de travail ? Une valeur qui, a priori, n'a pas de limite : n'importe quel nombre peut être écrit, et il se transfère très rapidement. Accepter ces deux abstractions successives ne va pas de soi :
c'est aussi fort que les inventions culturelles et scientifiques qui les ont accompagnées.
Nous sommes maintenant à un troisième passage : quel est le sens de ces valeurs boursières, simples écritures sur un écran, éloignées de toute référence à la liquidité (monnaie bancaire disponible) ? Que se passe-t-il quand les Credit Default Swaps, valeurs d'assurance, atteignent sur les écrans 60.000 milliards de dollars, le PIB du monde ? Ces titres ont augmenté, en quinze ans et à partir de presque rien, puisqu'ils … augmentaient. Ils ont aspiré de l'épargne, puisqu'ils… en aspiraient. Mais, en augmentant en dehors de toute valeur « réelle », ils ont fait perdre à l'épargnant tout rapport à la liquidité, même à celui qui auparavant en avait. Bien évidemment quand suffisamment d'agents « demandent à voir », le
Roi est nu et tout s'écroule. Ces nouveaux signes formels de richesse disparaissent comme de la monnaie papier qui brûle – mais bien plus rapidement et avec des effets globaux.
Seule la mathématisation massive de la finance et sa mise en réseaux permettent ces effets de croissance purement formelle que l'ont vient de décrire, sorte de divergence mathématique de sommes de séries qui expriment des effets de « résonnance ». Et encore, elles permettent des « arbitrages » immédiats (ventes et achats simultanés sur plusieurs bourses,
largement automatisés), qui imitent des productions de richesse observables, mais fictives, à partir de fluctuations infinitésimales (des différences de prix négligeables, mais qui, cumulées par millions de ventes/achats, donnent des grands effets formels).
Qu'est-ce qui est en train de changer dans le rapport de l'homme à la production de la richesse ? Quel impact ou corrélation cela peut-il avoir avec nos formes de savoir ? Cela sera-t-il comparable aux nouvelles inventions de l'abstraction grecque et de la Renaissance ou, en échappant au contrôle démocratique, cela servira-t-il surtout à transférer 80% de la croissance vers le 1% des plus riches, comme de 2000 à 2007 aux USA, tout en distribuant les risques sur le monde ?

6. Les réseaux et la puissance de la perte du sens : un problème sociétal et éthique.

Les grandes compagnies de cartes de crédit, comme Visa ou MasterCard, peuvent dire, avec un bon niveau de certitude, qui va… divorcer au cours de l'année prochaine. Attention, elles peuvent prédire non seulement le pourcentage des mariages qui se terminent, ce qui est une banalité pour tout bureau de statistiques, mais aussi les chances qu'un tel individu aura de
divorcer. En fait, sur la base des profils de dépenses de quelques centaines de millions de détenteurs des cartes bancaires dans le monde, elles connaissent les profils qui mènent, avec des probabilités bien définies, à tel ou tel autre comportement futur. Autre exemple à la portée de l'expérience de tout acheteur sur internet : la grande pertinence des conseils d'Amazon
sur le choix d'autres livres à acheter. La mise en relation statistique de votre achat avec ceux d'un grand nombre d'autres acheteurs du même livre permet d'en proposer de nouveaux, presque mieux que ne le ferait votre vieux copain, compétant libraire au Quartier Latin. Ce dernier vous parlait en connaisseur de vos préférences et des contenus des livres, bref il
agissait en référence à du « sens ». Les machines peuvent en faire autant, voire faire mieux, sur des bases « purement mécaniques » d'associations formelles sur des vastes bases de données statistiques, sans aucune référence au sens, bien évidemment.
Jamais l'homme n'a été confronté à des telles possibilités de connaissance et de contrôle de la part de ceux qui gèrent les réseaux et détiennent les données. Dans la guerre permanente entre contrôle et vie privée, disait récemment, au cours d'un exposé à l'Ens, A. Shamir, un des inventeurs de la cryptographie, on gagne des batailles pour la protection des citoyens,
mais on est en train de perdre la guerre : la force économique d'un état, d'une grande entreprise, lui donne toujours de l'avance sur tout individu. Seule une réflexion active, une référence permanente à notre humanité communicante sur les valeurs et les contenus, un humanisme fort, dans l'interaction des savoirs, peut donner un sens et enrichir ultérieurement
les potentialités de la DSM de Turing et sa mise en réseau.
L'usage de ce savoir technique, l'informatique sur les réseaux, même quand il est justement accessible à tous, s'il est pratiqué sans veille critique, peut aussi mener à des dérapages graves. Tous les savoirs profitent, par exemple, de l'accessibilité immédiate aux articles, aux citations, aux catalogues des bibliothèques... Et voilà, n'importe quel bureaucrate peut, en appuyant sur un bouton, prétendre évaluer la production de connaissance, grâce à la bibliométrie. Le facteur d'impact des revues, le nombre des citations dans les deux ans qui suivent la publication des articles, voire les citations globales d'un chercheur apparaissent en un rien de temps sur l'écran. La communauté savante vote ainsi, sans le vouloir et par une
méthode statistico-formelle, pour décider à la majorité de la qualité, en fait de « la vérité » scientifique. Les travaux marginaux et exploratoires, les nouveautés difficiles sont alors exclus ; les chercheurs qui disent « non » aux théories dominantes aussi. Or, la science et les savoirs se construisent autour d'une pensée toujours hérétique, car pensée de la nouveauté, depuis la Grèce ancienne, depuis Copernic et Galilée. Ces deux innovateurs, par exemple, se battaient contre des scientifiques compétents, qui travaillaient à une entreprise techniquement réalisable et de grande difficulté technique, mais biaisée du point de vue métaphysique : l'analyse des trajectoires des planètes en termes d'épicycles, dans le cadre de la théorie dominante. Et quel était le facteur d'impact, pendant dix, vingt, trente ans, des travaux de Cantor, Poincaré ou Boltzmann, des travaux qui changeront la science cinquante ans après ? La production du savoir doit être évaluée selon son sens, si difficile à cerner, selon l'audace nouvelle qui échappe aux statistiques toujours conservatrices, inertielles, toujours « en retard » sur la nouveauté, par définition. L'histoire des savoirs et leur futur est un changement permanent de regard, de point de vue, contre toute inertie majoritaire et théorie dominante. La science se renouvelle toujours et ceci dans un espace critique, forcement hérétique. Elle utilise de la démocratie non pas le vote majoritaire, mais son complément essentiel : la possibilité du désaccord.
D'une part, donc, nous avons bâti un nouvel monde de liberté et d'échange, un lieu extraordinaire pour la circulation des idées ; de l'autre, en l'absence de contrôles démocratiques et éthiques forts, des dérapages non maitrisables sont possibles, en particuliers puisque les potentialités des réseaux sont absolument nouvelles. Le dialogue sur les enjeux et les méthodes avec les sciences de l'homme, lieu de la réflexion sur le « sens », est plus que jamais nécessaire : ce n'est que dans l'interface entre les disciplines que l'on peut construire une veille qui enrichisse les nombreux savoirs et pratiques en jeu, sans les déformer ni en réduire la signification.

Conclusion.

Les ordinateurs ne sont pas seulement des instruments avec lesquels l'interaction est uni-directionelle et uni-dimensionnelle, une interaction qui a déjà changé la science par l'imitation et la modélisation. Grâce à la simulation, telle qu'on l'a définie plus haut, l'ordinateur est un élément actif d'un environnement, où machines, ingénieurs, scientifiques, chercheurs de toute discipline interagissent et s'engagent dans un dialogue. De plus, tout ordinateur est désormais dans un réseau, plus exactement dans un réseau de réseaux, qui le relie aux autres et qui relie les hommes entre eux. Ces réseaux nous proposent un monde de concepts et de comportements qui est en train d'acquérir le rôle d'un nouvel univers symbolique. Un processus qui modifie non seulement les connaissances, mais aussi la cognition et les activités humaines. Aujourd'hui, une vraie négociation sur les savoirs et les pratiques doit s'établir dans ces environnements et ces réseaux. Il faut alors mieux comprendre et maîtriser ce qui se passe une fois que l'ordinateur et les réseaux entrent sur la scène des savoirs et des comportements, ou plus généralement encore, sur la scène de l'histoire.

Note : Cette note reprend synthétiquement des idées qui sont en grande partie dans les textes ci-dessous, où l'on pourra aussi trouver des vastes bibliographies (les articles sont téléchargeables de http://www.di.ens.fr/users/longo/).

F. Bailly, G. Longo, MATHEMATICS AND THE NATURAL SCIENCES. The Physical Singularity of Life, Imperial College Press, London, 2011.

J. Lassègue, G. Longo. What is Turing's Comparison between Mechanism and Writing Worth ? Longo's invited lecture, Proceedings of « The Turing Centenary Conference (CiE 2012) », Computational Models After Turing : The Church-Turing Thesis and Beyond, Isaac Newton Institute programme, Cambridge, June 18 - 23, 2012 ; LNCS vol. 7318, Springer, 2012.

G. Longo. Critique of Computational Reason in the Natural Sciences, In « Fundamental Concepts in Computer Science » (E. Gelenbe and J.-P. Kahane, eds.), Imperial College Press, pp. 43-70, 2009.

G. Longo. Incomputability in Physics and Biology. Invited Lecture, Proceedings of Computability in Europe, Azores, Pt, June 30 - July 4, LNCS 6158, Springer, 2010.

G. Longo. Interfaces de l'incomplétude, pour « Les Mathématiques », Editions du CNRS, 2012.

G. Longo, T. Paul. The Mathematics of Computing between Logic and Physics. Invited paper, « Computability in Context : Computation and Logic in the Real World », (Cooper, Sorbi eds) Imperial College Press, 2010.

[1] Nous reprenons ici les considération dans le premier chapitre de Bailly F. Longo G. Mathématiques et sciences de la nature. La singularité physique du vivant. Hermann, Paris, 2006.

[2] En ce sens qu'elle se sert souvent des mots plus ou moins précis, plus ou moins polysémiques du langage courant pour désigner des notions beaucoup plus restreintes et abstraites et qui ne prennent leur signification que dans le contexte « technique » dans lequel on les utilise désormais.

L'identité exigée par l'identité personnelle

Pierre Livet — 2012-11-14T09:49:49Z

Introduction

Qu'est ce qui assure notre identité personnelle ? Les philosophes ont proposé des réponses toutes imparfaites, mais qu'il est intéressant de tenter d'ordonner. Nous pourrions sans doute traiter d'emblée l'identité personnelle comme un système d'isomorphismes, mais nous pouvons aussi tenter d'utiliser le travail en profondeur de Jean Yves Girard d'une manière plus diversifiée. La notion d'identité personnelle se révèle bien adaptée à ce genre de tentative, que nous allons maintenant développer.

1. Niveaux logiques et lectures philosophiques

Revenons sur la division des niveaux de profondeur logique que propose Girard : le niveau aléthique, (-1) qui s'intéresse seulement à ce qui est prouvable, cohérent et vrai ; le niveau fonctionnel (-2) qui traite de preuves, et peut différencier deux démonstrations d'un même énoncé, tout en disposant de critères d'équivalence entre deux preuves (isomorphisme de Curry-Howard) ; le niveau interactif (-3) qui fait jouer la dynamique de stratégies en interaction dans un jeu qui doit se terminer ; le niveau déontique (-4) qui élimine tout arbitre du jeu précédent et fait jouer des propositions qui se jugent les unes les autres, la simple poursuite du jeu faisant émerger la règle de l'interaction entre A et non A. A ce niveau, on tient compte des « localisations » des formules : chaque formule a un « lieu » disjoint de celui des autres et qui lui reste propre au cours de toutes les manipulations logiques. En particulier, à ce niveau, on peut écrire A et B= B et A, puisque le signe « = » nous informe que le A qui est à gauche de B a bien le même lieu propre que le A qui est à droite du B (même chose pour B). Mais l'identité A=A de fait pas sens, parce qu'elle ne nous donne aucune information, sauf à la lire comme une sorte d'isomorphisme entre deux copies de A : A' et A'', chacune de lieu propre [1] différent. Pour les identifier, il faudrait les « délocaliser ». Quand on exige de ne pas effacer cette opération de délocalisation, de garder le souvenir des lieux propres, l'identité A=A ne peut plus prétendre être davantage qu'un isomorphisme.
Si ces différents niveaux nous indiquent les conditions de possibilité de la logique, nous devrions pouvoir retrouver sinon leurs contraintes et leurs exigences, du moins des traces de ces exigences et contraintes dans les opérations de pensée que nous permettent nos langages dits naturels, et donc dans nos approches conceptuelles. Il ne s'agit pas de plaquer sur des problèmes philosophiques des structures logiques qui du coup deviendraient forcément métaphoriques, mais plutôt de repérer dans les problèmes philosophiques des traces des exigences qui guident la construction de ces structures, et peut-être aussi des blocages que peuvent induire les contraintes qui tiennent à la normativité des niveaux supérieurs. En effet deux lectures de ces relations entre niveaux sont possibles.
La première, qui n'est pas celle de Girard et que nous pourrions appeler selon un de ses termes une lecture « essentialiste », lie la montée vers le niveau supérieur à un accroissement de prétentions, irréalisables dans l'utilisation de procédés qui diminuent les contraintes. Dans cette perspective, la localisation, qui a pour limite la singularité des symboles, marquée par le fait qu'ils ont chacun un lieu propre, est une contrainte qu'il faut pouvoir dépasser (par exemple en admettant la règle structurelle de contraction, permettant de passer de AA à A et inversement), et c'est au niveau -1 qu'on a le moins de contraintes de ce genre, et qu'on est donc censé satisfaire le plus de prétentions : pour le calcul des propositions à tout le moins, l'exigence de complétude, c'est-à-dire le lien entre préservation de la vérité et prouvabilité (sans se contraindre à déterminer le type de preuves).
La seconde, plus proche de Girard et que nous pourrions appeler selon ses termes lecture « existentielle », en ce qu'elle part de l'existence des pratiques (en logique, des manipulations de symboles), consiste au contraire à voir dans le niveau -1 le maximum de contraintes associé au minimum d'exigences et dans le niveau -4 le maximum d'exigences. Au niveau aléthique, la logique est contrainte par la dépendance que l'on veut assurer entre ses constructions et un répondant sémantique externe. Descendons jusqu'au niveau « déontique », qui est le niveau d'exigence maximale d'élucidation des pratiques logiques - élucidation de ce qui est présupposé mais pas explicité aux autres niveaux. On s'y refuse alors à présupposer données toutes les facilités du niveau -1 (contraction, affaiblissement, démonstration utilisant des lemmes externes ou coupures, etc.), on exige de rendre explicites ces dispositifs de commodité, et du coup on doit montrer comment la logique joue en l'absence de l'imposition normative de ces dispositifs, et comment ce sont seulement des conditions de poursuite de ce jeu de la logique que résulte ce qui vaudra aux niveaux supérieurs comme règles. Mais cette élucidation permet par exemple de pouvoir expliciter la négation en mettant en jeu A et non A, et de la faire émerger comme règle qui permet d'assurer des interactions ordonnées entre elles, alors qu'aux niveaux qui ont plus de prétention, une normativité est instaurée, si bien que l'un des deux (A ou non A) ne peut pas apparaître dans les formules valides, et que la règle apparaît imposée de l'extérieur et non pas résultante de conflits entre formules qui se nient l'une l'autre.

Il est possible d'interpréter les différences entre les diverses réponses philosophiques au problème de l'identité personnelle en ayant à l'esprit cette opposition entre nos deux lectures. Pour schématiser, la lecture « essentialiste » de la question de l'identité personnelle a suivi un processus « descendant ». Elle est partie d'une conception de l'identité personnelle où l'on a la prétention d'exiger une continuité en bloc entre toutes les phases et manifestations d'une personne au cours de sa vie, voire au delà. Des philosophes comme Locke se sont alors interrogés sur les processus qui pourraient bien assurer cette prétention de continuité, comme la mémoire, ce qui revient à s'interroger sur un présupposé non explicité de la conception du niveau supérieur. Mais il peut y avoir plusieurs processus de mémorisation, et il faut trouver entre eux quelque critère d'équivalence – c'est l'objet du travail plus récent de Grice. Encore faut-il assurer que lors des « délocalisations » qui permettent de relier deux enregistrements, l'un perceptif, l'autre mémoriel, ou l'un et l'autre mémoriels, on puisse indiquer comment passer de l'un à l'autre sans se tromper d'identité. C'est ce que tente de faire Perry, posant ainsi le problème de la résistance des localisations à leur effacement.
La lecture « existentielle » est « ascendante ». Elle objecte que nous devons aussi rendre compte d'un processus de constitution de la personnalité, qui a pour point de départ le fait d'une certaine connectivité entre expériences vécues avec leurs singularités propres, qui, à partir de là, produit une normativité dont il nous faut reconstruire les conditions d'émergence. Il s'agit de cette normativité qui tient à ce que nous intégrions nos expériences dans notre style personnel de vie – en en récusant certaines et en en mettant d'autres en valeur- intégration dont les modalités peuvent changer – on peut modifier son style – à condition que nous ayons toujours la capacité de modifier rétrospectivement la portée de nos récusations et évaluations précédentes. Mais entrons avec un peu plus de détails dans l'évolution des philosophes sur cette question de l'identité personnelle.

2. Les tentatives des philosophes

Le point de départ de la question philosophique de l'identité personnelle est la difficulté de rendre compatibles deux choses : d'une part le sentiment que nous avons d'être une seule et même personne au cours de notre vie, d'autre part les différentes manières de résoudre un problème plus général, celui d'assurer l'identité d'êtres qui ont une fonctionnalité. Ainsi chacune des planches du bateau de Thésée peut-elle être conservée, ce qui assure l'identité de ses éléments matériels, mais certaines de ces planches étant pourries, et le bateau devant naviguer dans quelques cérémonies athéniennes, on remplace les planches pourries par des planches de forme équivalente, ce qui conserve la structure et la fonction du bateau. En revanche il finira par ne conserver aucune de ses planches originelles. On pourrait penser que l'identité d'un humain, qui conserve seulement une partie infime de ses éléments matériels d'origine, est de type structurel et fonctionnel. Mais la structure se déforme, et bien des fonctions peuvent être perdues et partiellement compensées au cours de la vie. Bref les modes de construction auxquels nous pouvons penser n'assurent pas le type d'entité de ce que les ontologues contemporains appellent un continuant ou endurant – un être dont l'unité dépasse tout découpage en phases différentes. En fait, il faut poser comme principe non démontré l'existence d'une identité personnelle substantielle, et les dispositifs constructifs dont nous disposons ne parviennent pas à assurer les propriétés exigées par cette substance. Autrement dit, nous n'arrivons pas à assurer une prétention de cohérence qui puisse faire penser à celle de la cohérence requise en logique au niveau -1. Notre prétention à une identité personnelle est trop forte pour que même en présupposant assurées bien des contraintes de continuité matérielle et fonctionnelle, nous parvenions à la satisfaire.

Comme on l'a rappelé, des philosophies ont tenté de trouver des processus qui explicitent certaines des contraintes présupposées satisfaites par l'identité personnelle, et qui assurent une forme d'identité personnelle aussi proche que possible de celle dont nous nous croyons dotés. John Locke a pensé que la mémoire de souvenirs vécus en première personne pouvait de proche en proche assurer la continuité de la personne (avec quelques lacunes comme les périodes de sommeil). Cette proposition s'est rapidement heurtée à une objection : un enfant qui a volé des pommes et a été puni pour cela peut devenir une brave officier décoré, puis un général, mais si l'officier se souvient d'avoir été le voleur de pommes, le vieux général pourra ne se souvenir que de la bravoure de l'officier et pas des méfaits du voleur de pommes : la relation mnémonique de proche en proche n'est pas forcément transitive et n'assure donc pas une unité suffisante. De plus, rien ne garantit, en fait, que le souvenir du vieux général concernant l'enfant qu'il était soit bien un souvenir d'un vécu en première personne, puisqu'il est capable de reconstruire ses souvenirs en en expurgeant les éléments gênants. Butler et Reid ont donc pu reprocher à Locke de présupposer la qualité de « vécu en première personne » de l'expérience sur laquelle portent les souvenirs, et par là de présupposer l'identité personnelle via l'identité de la première personne.
Grice a trouvé une manière de contourner l'objection concernant la non transitivité des souvenirs. Il imagine des blocs d'expériences tels que pour tout bloc, il soit possible et réalisable soit que ce bloc assure un raccord mémoriel avec un bloc précédent (pas forcément le bloc immédiatement précédent, en fait un bloc précédent quelconque de la vie de la personne), soit que ce bloc soit l'objet d'un raccord mémoriel assuré par un bloc suivant (là encore, ce bloc peut être lointain). Les raccords mémoriels peuvent donc se comporter comme des parenthèses qui s'entrecroisent voire parfois qui s'incluent l'une l'autre, mais comme tout bloc d'expériences est raccordé à quelque autre, finalement on a un tissu de connexité générale. La notion de raccord mémoriel permet donc de considérer tous ces raccords comme faisant partie d'une même intégration [2] : il en est un peu comme au niveau logique -2, mais à la place de la relation d'équivalence, on a une relation de connexité, qui a une fonction similaire puisqu'elle met dans une même classe toutes les relations mémorielles d'une même personne.

Mais une objection similaire à celle de Reid réapparaît. Si ces relations assurent bien une forme de connexité entre les expériences, via la mémoire, rien n'assure que ces raccords entre expériences raccordent bien des expériences d'une même personne (et cela vaut aussi contre l'approche de Grice et – mais moins fortement – contre celle de Wiggins). On a bien les raccords, mais ils pourraient faire des branchements déviants. Perry a tenté de bloquer cette objection. Celui qui se rappelle un événement doit avoir le même corps que celui qui est témoin de l'événement, croire tout ce que présuppose Grice et cette première condition, et de plus la procédure d'enregistrement de l'événement doit enregistrer non seulement l'événement mais le rapport à celui qui en est témoin, ceci dans une sorte de fichier marqué par l'indexicalité « essentielle » qui est celle du « Je ». Il y a bien là une tentative de se limiter au jeu de processus qui s'articulent les uns sur les autres selon certains rôles (celui qui vit l'événement, celui qui est le témoin de cette expérience, le jeu des indexicaux (Je, tu) ) où l'on pourrait voir une trace du niveau -3. Mais c'est une trace assez peu fidèle, puisqu'on en arrive à postuler un fichier et un mode d'enregistrement du « Je », au lieu de se refuser à définir les indexicaux autrement que par leurs interactions. A la limite on pourrait y voir une tentative de trouver un lieu propre des expériences personnelles. Mais ce « lieu propre » ne peut guère avoir le même statut que le lieu propre de chaque expérience singulière.

3. Perplexités

On peut alors amorcer un tournant : au lieu de tenir les intuitions qui nous rendent assurés de notre identité personnelle individuelle pour des exigences incontournables, et de tenter de les satisfaire – ce qui conduit à la démarche descendante que nous avons suivie jusque là – on peut, comme Parfit, mettre en question ces intuitions. Sommes-nous d'une identité si unifiée et isolée que cela ? Parfit n'exclut pas que des expériences qui ne sont pas strictement les nôtres en première personne, qui sont moins individuelles et plus collectives, puissent s'infiltrer dans nos vies et même y jouer un rôle important. Wiggins cependant critique cette perspective parce qu'elle n'est pas assez normative. Nous devons pouvoir distinguer une mémoire qui fonctionne bien et une autre qui fonctionne moins bien – qui mélange des souvenirs personnels et des formes de mémoire collective. Or pour ce faire, il faut bien admettre que nous devons présupposer la notion d'identité personnelle, puisque notre critère d'un moins bon fonctionnement est le mélange entre ce qui est vécu en première personne et ce qui n'est pas strictement tel. On pourrait dire que Wiggins refuse d'abandonner la perspective que nous avons nommée essentialiste, et qu'il veut donc maintenir la normativité liée à nos prétentions à l'identité personnelle comme position fondamentale en deçà de laquelle on ne peut descendre.
Wiggins voit dans une perspective plus interactionniste de l'identité personnelle un danger, car elle ferait dépendre l'identité personnelle d'éléments externes à la personne. Il reprend la fiction des Browninson ; on transplante le cerveau de Brown dans le corps de Robinson. La personne ainsi créée a-t-elle l'identité de Brown ? On divise le cerveau de Brown et on implante les deux parties l'une dans le corps d'un jumeau Robinson, l'autre dans l'autre jumeau. L'identité de Brown serait-elle divisée ? Un des jumeaux meurt, l'identité de Brown survit-elle dans l'autre ? Cette dernière variante permet à Wiggins d'affirmer qu'une notion d'identité qui pourrait faire admettre que l'identité de Brown peut disparaître à la suite d'un événement externe comme la mort du jumeau Robinson n'est pas une notion d'identité acceptable. Il faudrait selon lui disposer d'un principe (une forme d'activité qui est soit en exercice soit toujours là comme disposition, par exemple) qui permette de suivre à la trace la personne dans ses diverses manifestations. Il appelle ce principe un « sortal », qui indique de quelle sorte est la personne Brown. Mais pour assurer l'identité personnelle il faudrait un sortal « Brown » ! Ce serait à la fois un « lieu propre », et un type générique délocalisable. On voit ici que s'accrocher aux prétentions actives au niveau de nos intuitions ne conduit qu'à des impasses.
Il nous faut donc cesser de nous crisper sur ces prétentions et renverser la perspective ; voir les contraintes qui mettaient en question ces intuitions non plus comme des gênes mais comme les exigences d'une mise en jeu. Pour cela il nous faut retrouver dans notre problème des traces du niveau -4, celui de la localité. Or ces traces existent bien.

4. Remonter du plus profond

Les travaux philosophiques sur la notion d'identité personnelle nous montrent bien que ce qui est au cœur du problème, c'est l'interprétation de l'identité Je = Je, quand on veut l'établir en tenant compte des singularités des expériences localisée, à tout le moins dans le temps. Comme on l'a vu en introduction, au niveau -4, dans l'identité A= A, A ayant d'emblée son lieu propre, le signe d'égalité ne fait pas sens. Et si en revanche nous nous bornons à l'identité entre un ensemble de deux singularités et le même ensemble autrement présenté (A et B = B et A), nous ne verrons pas émerger d'identité personnelle. Si l'on admettait (comme chez Perry) un Je lié à chaque singularité, l'un de ces Je ne pourrait pas avoir le même lieu propre que l'autre. Ainsi chez Perry le Je qui vit l'événement n'a pas la même localisation temporelle que le Je qui témoigne du fait que le premier Je ait vécu l'événement. Perry se permet ensuite de « délocaliser », c'est-à-dire d'oublier la différence de localisation, ou de faire des copies de l'un sur l'autre : dès lors, le second Je peut poursuivre la même fonction indexicale que le premier. Cette fonction indexicale du « Je » leur est commune. Mais la conservation des fonctionnalités est d'un niveau supérieur, du niveau -2.
Or nos exigences vont au rebours des prétentions précédentes des théories de l'identité personnelle, puisque nous avons pris maintenant la perspective opposée : au lieu de devoir respecter d'emblée l'identité entre les deux Je, nous devons au contraire reconnaître qu'aucun des deux « Je » n'a d'accessibilité directe à l'autre, le premier parce qu'il est passé, et le second parce qu'il ne fait que se souvenir. Nous avons donc au départ des singularités irréductiblement localisées [3]. Il est clair que de telles singularités prises isolément ne peuvent pas suffire pour constituer une personnalité. L'identité personnelle recherchée doit cependant partir de ces singularités, et nous devons alors explorer les conditions du jeu de ces singularités qui permettent l'émergence de sa normativité - conditions parmi d'autres, mais les seules à poursuivre un jeu qui puisse mener à nos « intuitions » d'identité personnelle. Cela exige de ne plus voir dans l'identité personnelle une réalité substantielle, mais une normativité possible qui émerge sur le fond de certains fonctionnements des singularités.
Nos singularités d'expériences interagissent d'abord en tous sens (comme au niveau -4). Il y a interaction entre activités et dispositions d'un même moment, et interactions entre activités et dispositions de différents temps. Les interactions entre ces deux interactions font cependant émerger au sein de leur chaos un commencement de régularité : nos actions d'un moment sont guidées par nos anticipations et celles-ci par nos souvenirs et nos habitudes. Ces coordinations entre interactions sont des apprentissages, qui retiennent les interactions efficaces, et qui excluent les interactions auto-destructrices. Cette efficacité trouve sa validation aussi bien dans la concordance de nos actions présentes avec nos objectifs que dans les concordances entre ce que nous avons retenu, ce que nous anticipons et ce que nous percevons, et du coup nous nous méfions des possibles distorsions. Ces coordinations efficaces sont bien des normativités qui émergent de nos usages singuliers, et qui tissent un réseau d'interactions entre nos perceptions, nos souvenirs, nos anticipations et nos activités.
On retrouve ainsi une forme de trace du niveau interactif (-3). On pourrait aussi y retrouver une version interactive du principe d'activité et de fonctionnement de Wiggins. A vrai dire, c'est seulement dans l'émergence du niveau -3 à partir du niveau -4 que nous pouvons parler d'identité personnelle : les jeux interactifs qui n'ont pas encore de règle au niveau -4 n'assurent pas encore cette sélection par focalisation sur les coordinations (convergentes ou conflictuelles) focalisation qui tient aussi au contraste avec les interactions qui ne présentent pas la moindre symétrie. La simple poursuite de ces jeux sans règle amène la sélection de ces résonances et symétries. Mais si nous nous bornions à laisser faire toutes les interactions entre singularités, sans ce filtre de coordinations, nous aurions bien une démultiplication des singularités, mais pas une construction d'identité.
En remontant du niveau non normatif aux niveaux normatifs, nous passons d'un niveau où toutes les interactions – satisfaisantes ou non, permises ou pas permises – constituent le contexte qui nourrit la personne via ses singularités, à des niveaux qui, en émergeant de coordinations et de rencontres – de convergences ou d'oppositions – opèrent des sélections. Ces normativités qui émergent des interactions et qui les sélectionnent en retour forment autant de normes singularisées, de styles personnels. Les philosophes ont tous pensé que l'identité personnelle avait une dimension d'intentionnalité – l'individu se représentant lui-même sous l'aspect d'un soi. Or, avant même d'en arriver au soi, les styles privilégient certains aspects des activités, et comportent donc une dimension intentionnelle en ce sens. Inversement, une constitution d'un soi qui se voudrait seulement issue d'une simple réflexion transparente à elle-même ne produirait pas d'identité personnelle. La simple réflexivité, celle qui ne tient pas compte des effets de localisation et de positions, celle qui ne modifie pas en retour nos dispositions, ne contribue pas à l'identité personnelle. Comme le dit Girard, « se chatouiller soi-même ne fait pas rire ».

Il reste qu'une telle identité, qui tient à la production de coordinations par le jeu des singularités qui produisent le style personnel, semble bien présenter une structure commune qu'on peut repérer chez chaque individu. Le processus de sélection des singularités par coordinations (convergence et opposition) plutôt qu'incommunicabilité indifférente et absence de réponse, la dynamique qui mène à l'émergence de normativité et la dynamique inverse qui, à partir de cette sélection, redéfinit les interactions entre singularités comme des capacités structurantes de la personne, toutes ces structures de processus et de dynamiques présentent des similarités fondamentales d'une personne à une autre.
Nous rencontrons alors un dilemme possible de la notion d'identité personnelle. Si ces similarités de structure permettent de définir une classe d'équivalence, alors nous avons bien des processus de constitution de personnalité, mais ils n'assurent pas l'identité singulière. Nous sommes trop vite passés à l'universel, nous avons oublié la singularité. Si nous voulons en rester aux processus singuliers qui assurent une intégration qui ne peut être universelle mais qui reste personnelle, alors le problème est que partir de ce style nous amène nous-mêmes, comme aussi les autres quand ils nous observent, à négliger certaines de nos particularités comme ne faisant pas « vraiment » partie du style de notre personne, si bien que nous appauvrissons notre identité.

Il semble donc que la notion d'identité personnelle ne permette pas de remonter jusqu'au niveau supérieur (le niveau -1) où nous pourrions définir une notion d'identité qui soit un universel applicable à chacun, en mettant totalement entre parenthèses la chronique de ses interactions et la particularité de son style. La notion la plus générique d'identité personnelle semble bien exiger des spécificités qui correspondraient à des traces du niveau -2, celui qui en logique nous rendait sensible à la diversité des démonstrations tout en proposant une procédure (l'élimination des coupures) qui permettait de ranger toute une série de démonstrations dans une classe d'équivalence. Autrement dit, pour pouvoir parler d'identité personnelle de manière générale, comme la classe d'équivalence entre des identités chacune singulière, il faudrait nous lancer d'abord dans tout un travail qui construise cette classe d'équivalence, qui puisse nous faire passer d'une histoire d'interactions à une autre et d'un style personnel à un autre. Puisque – c'est notre hypothèse – la notion d'identité personnelle ne peut pas avoir les prétentions du niveau -1 – celles d'un universel unique qui en chacun de nous assure sa continuité et son unicité propre – c'est seulement par un travail de transpositions souvent difficiles (comme au niveau -2) que nous pouvons trouver des similarités entre des dynamiques d'identité personnelle différentes. Être sensible à la difficulté de ces transpositions, être sensible à l'irréductibilité de ces différences, c'est cela qui nous assure que nous sommes encore en prise avec les singularités qui sont le fond de l'identité personnelle et avec les processus d'interaction qui permettent à un style personnel d'émerger.

5. Les conditions de possibilité de l'identité personnelle

Il se pourrait donc que les difficultés des philosophes pour satisfaire toutes les prétentions qu'ils pensent inséparables de la notion d'identité personnelle tiennent à ce qu'ils veulent la penser au niveau des exigences universelles (celles qui en logique prennent la forme de la prouvabilité et de la vérité), alors que cette notion n'est pas déracinable de ses trajets en profondeur, au niveau des singularités d'abord, au niveau des interactions ensuite. Pour l'abstraire des chroniques et de styles individuels, il faut opérer des transformations et des sélections qui nous laissent encore au niveau que Girard appelle « fonctionnel », celui qui permet en logique d'une part de distinguer les démonstrations – ici les styles personnels – et qui d'autre part ne sait les rapprocher que par un travail de transformation qui d'ailleurs peut être infini – dans l'élimination des coupures. Pour prendre le contrepied d'une autre référence logique, référence au Modus Ponens, qui permet de détacher une conclusion du raisonnement qui y a conduit, nous ne pouvons « détacher » une vérité générale sur l'identité personnelle des niveaux précédents de son élaboration. Inversement, les singularités qui sont le fond de l'identité personnelle ne pourraient pas la faire émerger si elles n'entraient pas dans des interactions, y compris des interactions entre dialectes de facture privée qui sans encore communiquer directement entre eux se manifestent l'un à l'autre non pas leur contenu, mais leurs différences, quand ils procèdent par des canaux différents – comme lorsque ce que je veux exprimer va pour moi au-delà du sens commun des mots utilisés et que vous répondez non pas par d'autres phrases, mais par votre posture. Les manières dont ces positions se répondent définissent une structure, mais on ne peut détacher cette structure comme un universel parce que l'ensemble des essais et tentatives de coordinations sur le fond desquels elle s'affirme lui reste nécessaire. Cette structure ne joue que dans un rapport entre le fonctionnel et l'inabouti sur le fond duquel le fonctionnel se dégage, alors qu'un universel est censé fonctionner partout où il s'applique.

Cette perspective, qui prend à rebours les tentatives philosophiques, toujours marquée par la nostalgie des prétentions de l'essentialisme, peut elle rendre compte des apories qu'ont rencontrées ces tentatives ? Le bateau de Thésée posait le problème : partir des éléments originels ou maintenir la structure et la fonction. Mais dans le cas de l'identité personnelle, la structure et la fonction émergent des éléments singuliers, alors que ces deux facteurs peuvent être dissociés dans le cas du bateau, tant qu'on peut remplacer une pièce sans modifier même minimalement la fonctionnalité des autres, ce qui n'est pas le cas pour nos expériences existentielles. L'intentionnalité de la mémoire et ses opérations présupposent la validation des prétentions à l'identité de la première personne, font remarquer Butler et Reid. Mais en fait ce qui est présupposé, ce sont les coordinations entre activités qui émergent de leurs interactions, de pair avec une capacité à réorganiser ces activités en fonction de leurs coordinations, et non pas une identité substantielle. Les cas de science fiction, les Brownrobinsonnades, voient se dissiper leur mystère. Si le cerveau de Brown peut fonctionner dans le corps de Robinson, c'est en interaction avec ce corps, et ses fonctionnalités sont par là singularisées à nouveaux frais. Si les deux jumeaux pouvaient vivre avec chacun une moitié de cerveau brownien, il en serait de même. Quand un des jumeaux meurt, ce qui meurt est une des identités ainsi modifiées, et pas l'autre, qui avait aussi acquis quelques singularités. Ces énigmes deviennent des banalités si l'identité émerge de ces interactions.
Cela tient à ce qu'adopter la perspective « ascendante » nous a fait passer des prétentions en exigences. Au lieu de poser comme prétention un idéal d'unicité capable de se maintenir à travers ses variantes, nous avons eu comme exigences de partir des interactions entre localisations ou singularités différentes, et de rester au plus près de l'émergence de coordinations dans ces interactions, puis du travail qui permet de rassembler ces différentes coordinations. Dès lors, nous ne disposons plus que d'une identité personnelle prise dans son processus identitaire, et non plus d'une identité substantielle présupposée. Ce n'est plus l'identité substance qui assure son unité, ce sont les processus identitaires qui travaillent à constituer l'identité personnelle. Ils assurent ce travail à la fois en constituant des modalités d'intégration de nos expériences – récits que nous nous faisons de notre histoire, rôles sociaux que nous endossons aux yeux des autres, effets physiques de nos activités passées, apprentissages cognitifs et émotionnels – mais aussi des modalités de mise à l'écart – attribution de ce qui ne rentre pas dans ces intégrations aux aléas, à des contraintes externes, à des parties sombres ou des tendances récusées de notre psychisme, bref à notre part de conflits et de tension irrésolues, voire à la part de ce que nous négligeons et qui nous indiffère. C'est une identité interactive et en procès, et non pas une identité achevée ; c'est une identité qui a gardé son enracinement dans les correspondants ce que Girard appelle en logique des « enfers », ceux de tous les niveaux inférieurs.

Conclusion

On pourra peut-être considérer cet essai d'interaction entre la réorientation des exigences philosophiques et l'étagement des exigences du logicien comme une indication de ce que les travaux en profondeur de Jean-Yves Girard ont une fécondité qui va au-delà de la logique, ce qui pourrait soutenir la visée de leur auteur : déterminer des conditions de possibilité des structures logiques, qui aient une portée transcendantale – sous une forme modeste, non pas de conditions nécessaires mais de conditions que la pratique des interactions logiques montre suffisante. Ce transcendantal n'est pas un a priori qui formaterait d'en haut et de l'extérieur le divers du sensible, un transcendantal « descendant ». Il s'agit plutôt d'un transcendantal « ascendant » : les conditions de possibilité ne sont pas données d'avance, elles surgissent de la poursuite des interactions. En logique, il s'agit des interactions entre symboles. Pour nos apprentissages, il s'agit des coordinations entre nos activités, pour la formation de notre personnalité dans sa singularité, des rapports de cohérence et de tension entre nos différents apprentissages.

Références

Butler Joseph, Fifteen sermons preached at the Rolls Chapel.
Girard Jean-Yves, La syntaxe transcendantale, manifeste, 21 février 2011
Grice Paul, « Personal Identity », Mind, vol 50, n°200, oct 1941, pp. 330-350
Locke John, Essai sur l'entendement humain
Parfit John, Reasons and Persons, Oxford University Press, 1987
Perry John, Identity, Personal Identity and the Self, Hackett Publications
Reid Thomas, Recherche sur l'entendement humain d'après les principes du sens commun
Wiggins David, Sameness and Substance Renewed, Cambridge University Press, Cambridge, 2001

[1] Cette notion de lieu propre est plus précise que celle utilisée en philosophie de "token identity".

[2] Daniel Winggins a proposé indépendamment de partir d'une relation R d'être une expérience fortement co-consciente d'une personne P avec une autre expérience de même type d'une personne Q ultérieure, et de fonder alors la notion d'identité personnelle sur la relation ancestrale qui enchaîne ces relations R.

[3] L'analogie avec les lieux propres propres logiques n'est que partielle : certes deux expériences singulières qui se succèdent ont des places disjointes dans le temps, mais sur d'autres dimensions - par exemple leur résonance émotionnelle, ou simplement leur effet sur nos apprentissages, il reste difficile de garantir qu'elles soient disjointes.

Intrication quantique/classique

Thierry Paul — 2012-09-11T09:01:29Z

Introduction

« ...Non so più cosa son, cosa faccio... »
Da Ponte

L'intrication est à la mode. Décrite comme source de problèmes incontournables dans les années 30 lors des débats conceptuels sur la nouvelle mécanique, elle est de nos jours activement recherchée comme moteur fondamental de l'informatique quantique.

Quantum computing wants entanglement

Car la Mécanique Quantique sans intrication, c'est comme un baiser sans moustache, comme on disait dans les opérettes de ces mêmes années 30.
La propriété d'intrication de l'état d'un système quantique « formé » de deux particules interdit que l'on puisse parler d'un sous-système formé de l'un d'entre elles. Dans un état intriqué, non seulement les deux particules n'existent pas indépendamment, mais encore chacune contient le reflet de l'autre : 2particules ne sont pas deux particules.
Mais il est un autre sujet concernant la Mécanique Quantique que l'on peut, il me semble, rapprocher de l'intrication : c'est son rapport à la Mécanique Classique.
Les deux nouvelles mécaniques qui voient le jour à l'aube du XXIème siècle, et qui vont permettre de dépasser les deux écueils de la mécanique classique que sont l'interaction à distance et la structure microscopique de l'espace, sont deux évolutions épistémologiquement fort différentes quant au changement de paradigme qu'elles offrent à leurs prédécesseurs. La Relativité ne fait « que » déformer la structure de la cinématique classique mais, en revanche, présente du jamais vu quant aux aspects dynamiques : le tenseur d'énergie-impulsion ne trouve aucune racine dans le monde pré-relativiste.
En ce qui concerne la Mécanique Quantique la situation est en quelque sorte inversée. Le changement paradigmatique lié à la cinématique est immense : on passe d'un espace géométrique inerte à un espace de Hilbert d'états quantiques, du commutatif au non commutatif. En revanche la plupart des hamiltoniens quantiques sont obtenus à partir du modèle classique. L'énergie cinétique devient un laplacien certes, mais c'est toujours le carré de l'impulsion.
La Relativité déforme la cinématique et invente la dynamique, la Mécanique Quantique invente une nouvelle cinématique, et déforme les objets acteurs de la dynamique classique vers le paradigme de la nouvelle cinématique. Bien sûr on pourra objecter que la Théorie Quantique des Champs a inventé de nouveaux lagrangiens (le modèle standard par exemple), mais ils ont toujours un correspondant classique, tout comme la physique classique moderne a inventé de nouvelles interactions.
C'est de cette intrication bien particulière entre Quantique et Classique que je voudrais parler dans ce texte. Comme je l'ai dit plus haut l'intrication est symétrique par rapport aux deux parties présentes. J'envisagerai donc tout d'abord l'incidence du classique sur le quantique, puis les traces du quantique après que la limite classique ait été atteinte. Enfin je discuterai l'intrication entre deux concepts emblématiques de la Mécanique Classique moderne telle que la théorie des systèmes dynamiques chaotiques nous la présente, l'imprédictibilité, et de la Mécanique Quantique dans son essence même, l'indéterminisme.
Signalons pour terminer cette introduction qu'il ne sera ici nullement question d'une quelconque tentative d'interprétation de la Mécanique Quantique en termes classiques. La dynamique quantique appartient à un paradigme propre qui ne peut absolument pas se réduire ou s'interpréter au moyen du paradigme classique. Il ne fait que s'en inspirer.

1. Du classique dans le quantique

« ... questa poi ben la conosco ... »
Da Ponte

L'une des manières d'introduire économiquement la Mécanique Quantique à partir du formalisme classique consiste à présenter ce dernier sous la forme de l'équation de Liouville. Prenons un système à un degré de liberté pour être plus simple. Il est bien connu que l'espace de phases correspondant à cette situation est et que la dynamique classique peut se lire sur les fonctions du temps et de deux variables (position, impulsion) , , qui satisfait l'équation

où la fonction est l'énergie du système, habituellement de la forme énergie cinétique énergie potentielle : .
Le crochet de Poisson est égal à

Il est facile de remarquer que la solution est donnée à partir de la condition initiale par la formule

où satisfait les équations de Hamilton

La « quantification » de la discussion précédente, pendant quantique de cette dynamique classique, consiste simplement à remplacer les fonctions par des opérateurs (matrices, possiblement en dimension infinie) et le crochet de Poisson par le commutateur divisé par

Puisque, par définition, , l'opérateur correspondant à la fonction sera
où et seront deux opérateurs satisfaisant

l'équation de la dynamique devient alors

que l'on résout par où l'opérateur unitaire satisfait

qui est l'équation de Schrödinger si l'on écrit .
Cette discussion un peu technique montre comment la Mécanique Quantique s'empare des concepts classiques tels que l'énergie, les « quantifie » pour les placer dans SON paradigme. En aucun cas elle ne définit la forme du hamiltonien , elle l'obtient à partir de la notion classique d'énergie potentielle et cinétique par la règle de quantification satisfaisant en premier lieu l'adage .
Ainsi vue, la Mécanique Quantique apparaît comme une action, une application, une flèche. La plupart des équations de la physique mathématique (chaleur, ondes par exemple) qui sont des équations portant sur des quantités macroscopiques sont dérivées à partir d'un modèle microscopique par un principe de réduction. Certaines cependant traitent de quantités macroscopiques mais ne sont pas dérivées d'un modèle microscopique, les équations de la turbulence de la mécanique des fluides par exemple. Mais l'équation de Schrödinger, elle, porte sur des quantités microscopiques (fonction d'onde de l'électron) et est dérivée d'un modèle macroscopique. C'est un tour de force épistémologique qu'il faut remarquer, et qui a peut-être été à la source de bien des malentendus quant à l'interprétation de la Mécanique Quantique.
La deuxième occurrence de la présence du classique dans le quantique est fournie par le processus de la mesure. On considère de nos jours que la mesure fait partie de l'évolution quantique, qui se partage ainsi en deux :
- l'équation de Schrödinger
- la mesure.

La mesure rétablit pour nous notre besoin, hérité d'une solide et envahissante culture classique, d'obtenir une seule réponse à toute question posée. Le fait que la dynamique quantique se place dans un espace vectoriel (de Hilbert) crée dans le paradigme de celle-ci l'idée de superposition. L'équation de Schrödinger est linéaire, et on peut toujours considérer à partir de deux conditions initiales leur somme comme nouveau point de départ pour une dynamique qui va être la somme des deux évolutions. Il y a dans la nature quantique des états superposés qui ont une « décomposition spectrale » plutôt qu'une valeur bien définie d'une quantité observable. Mais ces états nous ne les voyons pas. Nous ne les voyons pas justement parce que, lorsque nous observons une observable, nous ne faisons que relever la valeur de celle-ci, comme l'on relève un compteur d'électricité. Nous effectuons une mesure quantique.
Le processus de mesure quantique a cette propriété de tout d'abord projeter l'état superposé sur un de ces termes, et ensuite de « relever » la valeur (unique cette fois) associée à ce vecteur. Cette projection est aléatoire, le résultat n'est pas prédictible. Nous avons satisfait notre besoin d'unicité de la réponse (par exemple nous avons supprimé l'idée d'ubiquité), mais nous avons perdu notre cher (et contestable, nous le verrons plus bas) déterminisme.
La mesure quantique est donc une incidence partielle et très particulière du classique dans le quantique, mais nous verrons dans la dernière section comment l'indéterminisme quantique se confond parfois avec l'imprédictibilité des systèmes chaotiques, un phénomène
tout à fait classique lui, rendant par là même cette incidence classique dans le quantique moins partielle que l'on pourrait penser.

2. Du quantique dans le classique

« ...a cenar tecco m'invitasti, e son venuto.... »
Da Ponte

La première incidence de la présence du quantique dans le classique se trouve tout simplement dans la perception de la matière qui nous entoure. Sans la Mécanique Quantique la matière n'est pas stable, et tout corps est formé essentiellement de vide : « passe-murailles » devient banal. La physique classique est donc déjà une théorie « en attente », utilisant des propriétés d'une théorie à venir. On pourrait mentionner aussi toute une série de phénoménologies de la structure atomique qui raisonnent presque exclusivement en termes classiques et ne gardent que quelques irisations quantiques, par exemple le principe d'exclusion de Pauli. Irisations certes, mais absolument nécessaires à l'obtention de résultats aussi « visibles » que la stabilité de la matière.
Mais il est une autre situation où le quantique s'invite à la table du classique, et cela de façon plus conceptuelle et plus drastique, c'est le cas où des traces de quantiques survivent à la limite semi-classique. Qu'entendons-nous par-là ?
Nous avons vu dans la section précédente la correspondance , que l'on doit en fait écrire

En effet cette flèche définit à la fois une façon de quantifier, et de retrouver la dynamique classique par passage à la limite (voir [2] pour plus de détails).

Le curseur permet donc de passer de chacune des théories à l'autre. Mais dès que l'on parle de dynamique deux questions « naturelles » viennent troubler un ciel pourtant a priori sans nuage : existence et asymptotisme. Sous quelles conditions les deux dynamiques existent elles, et surtout ces conditions sont-elles les mêmes pour les deux ? Et si l'on regarde la dynamique à temps divergent vers l'infini, la limite classique avant et après ce passage à l'infini temporel est-elle la même ? Retrouve-t-on le paradigme classique, ce cher espace absolu si cher à Newton (et à Kant) à tous les coups ?
Ces questions pourraient paraître techniques, et seulement techniques, si elles ne révélaient pas, lors des réponses correspondantes, une nouvelle phénoménologie classique où la solution prime sur l'équation. Nous traiterons dans la section suivante du lien entre le processus de mesure, ou plutôt les résultats qui lui sont associés, et la théorie du chaos classique. Mentionnons ici la possibilité, dans cette situation, du phénomène d'ubiquité.
Nous avons mentionné précédemment le fait que l'équation de Liouville était résolue par la composition de la condition initiale par un flot. Ce résultat est valable sous certaines hypothèses de régularité du potentiel entrant dans l'énergie. Si le potentiel est trop peu régulier la dynamique n'existe pas, au sens que les équations n'ont pas de solution. Ou plutôt elles en ont trop la plupart du temps. Un des exemples est bien sûr le potentiel newtonien, avec sa singularité à l'origine, qui interdit à la mécanique newtonienne de dire quelque chose en cas de choc.
Le paradigme classique n'aime pas les équations possédant plusieurs solutions. Car dans ce cas un flot, trajectoire d'une particule représentée par un point matériel, peut se scinder en plusieurs branches, et nous avons tendance à ainsi associer plusieurs positions à une même particule. Nous faisons ainsi, au fond, pour des raisons transcendantales : la particules vit dans un espace absolu, et elle ne peut occuper qu'une position et une seule. Mais la Mécanique Quantique, elle, a battu en brèche cette restriction, d'ailleurs de la façon la plus élégante qui soit : lorsque nous posons la question « Où es-tu ? » la particule choisit sa position parmi un jeu des possibles.
En général ce jeu des possibles est large, a la puissance du continu. C'est le sens des inégalités de Heisenberg : la position peut prendre toutes les valeurs dans une espèce de petite boule de rayon ... justement. Et il n'est pas difficile d'imaginer que, lorsque cette boule n'a aucune raison, a priori, de tendre bêtement vers un point. Elle peut tendre vers une variété étendue (comme un chewing-gum), nous le verrons dans la section suivante, ou elle peut se vaporiser en plusieurs points, ceux-là même que la mauvaise équation classique créait au travers de ses solutions multiples.

3. Intrication prédire/déterminer

« ... cosi fan tutt... »
Da Ponte

L'indéterminisme est certainement le trait qui a le plus choqué toute personne découvrant la Mécanique Quantique. Fort de sa culture classique prédictive, l'explorateur du quantique a du mal à imaginer que le résultat d'une mesure soit aléatoire, imbibé qu'il est de l'idée de trajectoire telle que nous l'avons décrite à la section précédente.
De hasard il n'y en aurait donc pas.
On fait donc en général (de moins en moins il est vrai, mais il y en a toujours qui exagèrent) le reproche à la Mécanique Quantique de n'être pas déterministe, alors que, de plus en plus là aussi, la complexité, le statistique et l'aléatoire nous envahissent culturellement. Si la température aujourd'hui n'est jamais égale à la moyenne saisonnière, c'est parce que la probabilité que cela soit le cas est (presque) nulle.
Pourtant la Mécanique Classique a remisé depuis bien longtemps ses prétentions pratiques à prédire exactement l'évolution lointaine dans le temps de la dynamique. Depuis plus d'un siècle maintenant, on sait que les équations parfaitement déterministes de la mécanique de Newton ont des solutions qui, lorsqu'on laisse le temps filer, gardent de moins en moins en mémoire le point dont elles sont issues. Cette sensibilité aux conditions initiales, cet effet papillon, a pour effet que, dans les bons systèmes chaotiques, une petite boule de points initiaux, que l'incertitude d'une mesure « classique » ne permettrait pas de différentier entre eux, va, cette boule, évoluer dans le temps et se transformer certes en conservant son volume (ça c'est toujours vrai, in eternam) mais en s'aplatissant et se dilatant dans des directions transverses. Cet effet « pâtissier » montre comment la dynamique chaotique est un rouleau à pâtisserie justement, et comment, même issus d'une toute petite boule, tous ces points initiaux (il y en a beaucoup, bien sûr) vont former une feuille, une variété plate, tout comme l'on forme chaque feuille d'une pâte feuilletée.
Bien sûr, « en principe », un point donne un point et cela est réversible, mais à la condition de la possibilité d'un accès à une précision infinie, autant dire un leurre. Imaginer que cela est possible, c'est faire une pâtisserie tout au leurre.
Le même phénomène se produit en Mécanique Quantique, mais sans besoin de leurre, puisque l'ambiguïté du résultat de la mesure est déjà dans la théorie. La fonction d'onde de la particule se délocalise le long, précisément, de la région classique où la petite boule classique s'était délocalisée tout à l'heure. Effectuons maintenant une mesure et tout naturellement le résultat indiquera une valeur précise, ponctuelle, et contenue dans cette région. Tout comme était ponctuelle la position du point après évolution sous la condition d'une précision infinie lors de la mesure classique initiale de la position. Le résultat quantique est aléatoire en raison de l'indéterminisme quantique, tout comme est aléatoire la position classique finale en raison de l'imprédictibilité classique (voir [3],[2] pour plus de détails).
Ainsi donc, dans la limite de systèmes quantiques à contrepartie classique chaotique,

l'indéterminisme quantique et l'imprédictibilité classique se rencontrent.

[1] G. Longo et T. Paul, The Mathematics of Computing between Logic and Physics, article invité, dans « Computability in Context : Computation and Logic in the Real World », S.B. Cooper and A. Sorbi, eds, Imperial College Press, (2010).

[2] T. Paul, A propos du formalisme mathématique de la Mécanique Quantique, « Logique & Interaction : Géométrie de la cognition », Actes du colloque et école thématique du CNRS « Logique, Sciences, Philosophie » à Cerisy, Hermann, (2009).

[3] T. Paul, Semiclassical Analysis and Sensitivity to Initial Conditions, « Information and Computation », 207, p. 660-669 (2009).

[4] T. Paul, Indéterminisme quantique et imprédictibilité classique, « Noesis », (2011).

[5] T. Paul et S. Poinat, « Are quantum systems emergent ? », preprint.

Fermions/Bosons-intrication-mesure : particules vos papiers

Thierry Paul — 2012-11-26T09:51:39Z

– Nous sommes tous différents les uns des autres
– Non, pas moi !
Monty Python, La vie de Brian.

Introduction

La citation extraite de La vie de Brian nous présente une situation paradoxale : comment un individu dans une assemblée peut-il ne pas être différent de tous les autres qui eux le sont ? L'extrait des Monty Python nous révèle à la fois un absurde comique, et un troublant manque de symétrie.
Car si l'on inverse la situation, la citation devient :

– Nous sommes tous les mêmes
– Non, pas moi !

et n'a plus rien de paradoxal. On est passé de l'humour britannique au culte du héros hollywoodien : il n'y a aucune difficulté, dans notre culture classique à imaginer un être différent de tous les autres, eux-mêmes égaux entre eux. Mais un être qui n'est pas différent de tous les autres qui le sont entre eux, seule la Mécanique Quantique peut le faire.
Les bosons aiment bien être tous dans le même état, les fermions ne le supportent pas. La situation du film des Monty Python est bien celle d'un boson plongé dans une assemblée de fermions. Cette dualité identitaire s'observe facilement dans le monde quantique, et est même primordiale. Il est en effet probable que la matière qui nous entoure ne serait pas stable si elle était constituée de bosons. Mais ce qui est tout à fait remarquable est qu'une propriété intrinsèque de particules, leur spin, gouverne ce comportement collectif.
La Mécanique Quantique, dans son besoin généreux de rétablir les symétries, plonge dans la réalité de la même façon l'humour britannique et Hollywood.
Mais si elle décerne ainsi des identités que le monde classique trouve extravagantes, elle n'en refuse pas moins une identité élémentaire aux particules dans un état intriqué, c'est-à-dire non factorisable. Ce phénomène d'intrication, que la Mécanique Quantique crée à loisir dès qu'il y a interaction, peut cependant être brisé à tout instant par l'opération de mesure qui rétablit l'ordre (?) en projetant vers des états factorisés. L'interaction tricote de l'intrication que la mesure détricote. Il apparaît donc ainsi en Mécanique Quantique une question relative à l'identité ... de l'identité elle-même.
Peut-on, faut-il (Mu es sein ?) décider l'identité ? Non pas laquelle, mais son existence. Doit-on parler de décomposition d'un système en « parties » alors que la possibilité d'une telle décomposition dépend de l'état quantique de ce dernier ? Nous essaierons de donner quelques éléments de réponse dans la dernière section de cet article.

1.Bosons/Fermions

1.1 Indiscernabilité

La notion de « particules identiques » est cruciale en physique classique, et a donné lieu à l'un des plus grands triomphes de la science de tous les temps : la théorie cinétique des gaz.
On imagine facilement que, dans un litre de gaz, se trouvent beaucoup de particules, en mouvement si compliqué que l'on n'oserait pas le décrire. Pour cela d'ailleurs il faudrait les distinguer, les colorier afin de les suivre dans leurs trajectoires.
Citons le tout début du livre de Jean Perrin (1913) « Les atomes »,
Il y a vingt-cinq siècle peut-être, sur les bords de la mer divine, où le chant des aèdes venait à peine de s'éteindre, quelques philosophes enseignaient déjà que la Matière changeante est faite de grains indestructibles en mouvement incessant, Atomes que le Hasard ou le Destin auraient groupés au cours des âges selon les formes ou les corps qui nous sont familiers.
Une môle de gaz est donc une, puisque constituée de particules toutes les mêmes, puisqu'elle ne change pas, qu'elle reste exactement la même lorsque l'on permute deux quelconques des particules la constituant. Une môle de gaz est donc une classe d'équivalence, c'est là son identité.
En fait il semble bien difficile d'imaginer ce qui pourrait changer lors de la permutation de deux particules classiques : nous allons voir que l'apparition de la fonction d'onde quantique va ouvrir un nouveau champ des possibles dans ce domaine.

1.2 Statistiques de particules quantiques

Un système de deux particules quantiques est représenté par une fonction d'onde à valeur complexe des deux variables de position de chacune des particules. Lorsque l'on a affaire à des fermions, cette fonction d'onde change de signe lorsque l'on permute les deux positions. Dans le cas des bosons elle reste inchangée. Autrement dit :

– pour deux fermions :
– pour deux bosons :

On déduit facilement de cela que

– pour deux fermions :
– pour deux bosons :

Donc, par l'interprétation probabiliste de la fonction d'onde, la probabilité pour que deux fermions soient à la même place est nulle, alors que deux bosons peuvent avoir une chance non nulle d'être au même endroit.
Cette dichotomie entre fermions et bosons a des conséquences immenses en physique : le fait que les fermions se repoussent assure la stabilité de la matière, et les condensats de Bose-Einstein seront peut-être bientôt à la base de réussites technologiques inimaginables : nous les aurons peut-être dans les puces de nos cartes.
Mais une autre question doit être évoquée à cet endroit : les différentes statistiques quantiques se réalisent-elles uniquement dans leur champ propre ? Autrement dit les fermions ont-ils besoin d'être à plusieurs pour se savoir fermions ? Les bosons ont-ils besoin de se voir se condenser pour découvrir leur identité ? Autrement dit encore : peut-on parler d'UN fermion, d'UN boson ?
La réponse est positive et d'une grande subtilité.

1.3 Spin et statistiques

Le spin est un degré de liberté des particules quantique sans pendant classique. C'est une propriété d'un système qui peut prendre des valeurs entières et demi-entières.
C'est donc une observable quantique, qui peut subir le processus de la mesure et qui crée de l'interaction entre particules et champs magnétiques.
Mais le spin a, de façon tout à fait inattendue, un lien très direct avec la discussion précédente : c'est là le contenu du Théorème « Spin-Statistiques ».

Théorème 2.1 (Théorème spin-statistique).

Ce théorème est un véritable miracle si l'on pense qu'il relie des propriétés collectives à des paramètres intrinsèques de chaque particule. Ainsi donc un fermion tout seul est fermion parce que son spin est demi-entier. Il lui suffit de connaître son spin pour dicter sa conduite envers les particules qui l'entourent...
Remarquons cette autre particularité : ce Théorème, valable en Mécanique Quantique ordinaire, se démontre que dans le cadre de la Théorie Quantique des Champs, et seulement, jusqu'à présent, dans cette dernière.
En guise de conclusion disons que, pour ce qui est de la dualité fermions/bosons, l'identité est vue du dehors extrinsèque, mais est conduite par des interactions intrinsèques

2. Intrication

Avec l'intrication nous touchons le cœur même de la Mécanique Quantique. Et de la discussion sur l'identité dans le cadre de cette dernière. La possibilité d'intrication est un formidable moteur pour la perte d'identité particulaire, puisque un système de deux particules dans un état intriqué ne se découvre pas en deux parties correspondant aux deux particules initiales. La mesure quantique est là pour nous ramener à la raison classique en projetant un état intriqué sur l'un de ses termes factorisés.
Mais l'intrication est devenue tellement indispensable de nos jours, à la fois pour créer des interactions indispensables en calcul quantique, mais aussi parce que nous nous y sommes habitués, qu'elle nous semble tout à fait naturelle. Et c'est dans une sorte activité de critique de la raison classique que l'on a envie de se demander si, finalement, le processus de mesure ne constitue pas au contraire une perte d'identité, identité de l'état intriqué justement. Cette idée, au fond, semble assez bien satisfaire ce postulat de symétrie cher à la Mécanique Quantique que nous avons vu dans la section précédente.
Pour faire de l'intrication il faut deux espaces vectoriels et et leur produit tensoriel , espace vectoriel des combinaisons linéaires des produits de deux vecteurs, l'un dans , l'autre dans . Un état intriqué est un état dans qui ne se factorise pas, c'est-à-dire qui ne s'écrit pas pour . Par exemple l'état

pour est intriqué.
Remarquons que l'intrication est fondamentalement liée à l'idée de produit tensoriel, et que celui-ci est une pierre de touche de la théorie quantique à travers son aspect linéaire : si nous multiplions entre eux les états de deux particules lorsque nous rapprochons ces dernières, l'espace total des états doit être un espace vectoriel, et doit donc contenir toutes les combinaisons linéaires d'états produits.
Pourquoi perdons-nous de l'identité lorsque nous intriquons ? Pour répondre à cette question, nous devons penser que l'identité se présente au travers de l'idée de propriété, ou plutôt de celle de valeur d'une propriété (je ne parle pas ici, on l'aura compris, du marché de l'immobilier). L'identité au sens classique passe par l'unicité de la valeur d'une propriété donnée. Dire d'une balle qu'elle est rouge signifie que si on regarde sa couleur on voit du rouge, et seulement du rouge. Il n'est pas nécessaire en revanche, que l'on voit toujours du rouge ; le feu peut passer du rouge au vert par l'action d'une minuterie, il n'en reste pas moins, au sens de la physique classique, un feu de circulation (bien que ... voir[5]).
Or, dans l'état intriqué considéré plus haut, si correspond à la valeur d'une mesure sur la particule et correspond à la valeur de la même mesure l'état ne correspond à aucune des deux valeurs, puisque la mesure quantique va tout d'abord projeter sur ou sur aléatoirement. On a donc bien, lors de l'intrication, perdu l'identité des deux particules, que l'on recouvre en effectuant une mesure.
Mais inversement, peut-on dire que l'intrication est une identité. Y a-t-il une identité de l'intrication ?
Poser cette question revient à se demander, suivant notre schéma précédent énoncé, si on peut dégager une propriété qui prend une valeur particulière sur les états intriqués. Dans [6] nous avons étudié la possibilité de détecter l'intrication par la mesure, en vue de se demander si l'intrication fait apparaître, émerger, des propriétés non réductibles aux parties ? Et nous avons étudié la possibilité d'écrire cette question dans le paradigme quantique.
Autrement dit nous avons abordé dans le strict formalisme quantique la question de savoir s'il y a émergence en Mécanique Quantique au travers de l'intrication. La réponse à cette dernière question est négative.
Mais la construction qui permet de répondre à cette question me semble faire émerger l'idée qu'il y a une propriété « intrication », propriété au sens large, puisque nécessitant d'effectuer plusieurs mesures.
Pour conclure cette section disons qu'en Mécanique Quantique nous voyons apparaître l'idée d'une identité intrinsèque et indéterminisme réalisée par la mesure.

3. La décohérence ou le mélange des identités

En Mécanique Quantique élémentaire on considère habituellement des états qui sont des vecteurs normés dans un espace de Hilbert. Ces états sont dits purs, en opposition aux états mixtes, représentés par des matrices densités, opérateurs positifs de trace égale à l'unité. Un état pur est aussi canoniquement représenté par un opérateur positif de trace : le projecteur orthogonal sur lui-même.

, c'est-à-dire

Mais de telles matrices densité sont très spéciales, et ne constituent qu'une faible partie des états mixtes.
Initialement inventées en mécanique statistique, les matrices densités sont maintenant considérées comme un ingrédient fondamental lorsque l'on considère un (petit) système en interaction avec un (gros) environnement, si gros que toute tentative de connaître celui-ci est vouée à l'échec (tout comme une môle de gaz ne peut être connue molécule par molécule). Nous renvoyons [4] pour la dérivation du fait suivant :
lorsque l'on couple un système quantique à un autre et que l'on ne demande aucune information sur ce dernier, l'état du premier système est représenté par une matrice densité.
On a donc une première transformation vers un état mixte :

Vient alors l'idée de décohérence qui dit que, lors de l'interaction entre les deux systèmes, cette matrice densité va évoluer dans le temps vers une matrice diagonale dans une base privilégiée, base ne dépendant que du type d'interaction (et non pas de la matrice densité initiale).

(subtil)

(la présence du est reliée à la taille du gros système, et vérifie dans la limite où la taille du-dit système tend vers l'infini).
Cette étape, la décohérence, est considérée aujourd'hui comme la première étape du processus de mesure : une réduction à un mélange statistique d'états propres, puisque

et que chacun d'eux est susceptible de donner un résultat précis lors de la mesure. Mais ce n'est QUE la première étape, puisque l'étape ultime est celle qui fait que

ou projection sur un seul état pur.

On dit que l'action de la décohérence consiste à
effectuer une mesure sans lire le résultat
On voit donc que l'on a trois types d'identité :
– des états purs, matrices densités qui sont des projecteurs
– des états mixtes, matrices densité générales
– des états classiquement mixtes, matrices densité mélange statistiques de projecteurs sur les éléments d'une base « préférée ».
La décohérence, qui rappelons-le est uniquement le fait de l'évolution quantique par l'équation de Schrödinger et est « hors mesure », ré-instaure donc en Mécanique Quantique un aspect identitaire (et probabiliste) classique dans le panorama de l'identité quantique.
On voit ainsi comme l'identité d'un système quantique, confronté à un environnement considéré a priori comme semi classique, effectue un voyage pendant lequel elle change, à l'intérieur d'un jeu de possibles bien délimité.
Signalons pour terminer que le chemin inverse, d'un état mixte vers un état pur, est possible. Cette démarche de purification s'appuie sur un théorème remarquable qui dit que, moyennant une augmentation suffisante du nombre de particules dans l'environnement, toute matrice densité devient un projecteur. La purification passe donc par la pluralité.

4. Mu es sein ?

Nous avons vu plus haut que la façon moderne de considérer le processus de mesure en Mécanique Quantique consistait à le voir comme une partie intégrante de l'évolution quantique, l'autre partie étant donnée par l'équation de Schrödinger (notons qu'il existe actuellement des algorithmes quantiques basés exclusivement sur une évolution de type mesure : on effectue une mesure associée à une observable particulière, et, suivant le résultat obtenu, on effectue une autre mesure associée à une autre observable choisie en fonction du résultat de la mesure précédente).
Cette formulation est parfaitement cohérente sous la condition que l'on sache à un moment donné quel type d'évolution doit être considérée. En d'autres termes :

Peut-on décider l'évolution ?

Expérimentalement le bon sens décide ; un appareil de mesure que l'on peut manipuler pour obtenir un résultat est en général de type classique (bien que les expérimentateurs commencent à grignoter ce bon sens). Le problème est plutôt du point de vue théorique, et de l'état d'une théorie qui ne dit pas a priori quel type d'évolution on doit considérer à un moment donné. Cet « indéterminisme » est le seul qui soit vraiment sérieux selon moi, et n'a rien à voir avec l'indéterminisme présent dans le processus de la mesure qui, lui, ne représente aucun paradoxe. Les merveilleuses (et délicates) démarches des expérimentateurs tentant de déterminer un seuil pour la taille des systèmes quantiques au delà duquel l'interaction avec un petit système doit être de type « mesure » ont jusqu'alors échoué : on ne voit pas de transition dans les échelles susceptibles de faire passer de « Schrödinger » à « mesure ».
On peut donc se demander s'il ne faudrait pas poser, en lieu et place de la question Peut-on décider l'évolution ? celle-ci :

Faut-il décider l'évolution ?

Ou plutôt

Faut-il être capable de décider l'évolution ?

Une théorie physique doit-elle, dans son formalisme, ne contenir que du décidable ? Dans le cas contraire une théorie physique doit-elle être considérée comme mal fondée et rejetée ?
Le vocabulaire même nous mène à entrevoir une analogie avec les aspects fondationnels des mathématiques que nous avons entreprise dans [2].
Terminons par la remarque suivante qui sera notre conclusion.

Les deux types d'évolution correspondent à deux types d'identité, puisque la mesure a plutôt un caractère « particule » (on les détecte) et Schrödinger un type « ondes », on a deux types d'identité qui cohabitent, chacune contenant ses propres paramètres. La question est donc bien :

L'identité de l'identité est-elle décidable ?

References

[2] G. Longo et T. Paul, en préparation.

[3] T. Paul, Semiclassical Analysis and Sensitivity to Initial Conditions, « Information and Computation », 207, p. 660-669 (2009).

[4] T . Paul, Indéterminisme quantique et imprédictibilité classique, « Noesis », (2011).

[5] T. Paul, La mécanique quantique vue comme processus dynamique, dans "Logique, dynamique et cognition" (dir. J.-B. Joinet), collection « Logique, langage, sciences, philosophie », Publications de la Sorbonne, Paris, (2007).

[6] T. Paul et S. Poinat, « Are quantum systems emergent ? », preprint.