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Mathématiques

ARTICLES

Le concept mathématique de Catégorie

1. Pertinence du terme catégorie en mathématiques ?

Lorsque l’on m’a proposé de faire un exposé sur le thème « les catégories dans les sciences », j’ai été un peu surpris et j’ai éprouvé un sentiment d’hésitation. En effet, si j’ai bien compris la demande, le concept de catégorie est pris ici dans son sens général, et est posé comme objet d’un débat interdisciplinaire. Or, s’il est exact que je suis bien un catégoricien, c’est-à-dire un spécialiste de cette discipline mathématique que l’on appelle la théorie des catégories - ce qui semble donner du sens à ma participation à un tel débat - je me suis d’abord demandé s’il n’y avait pas comme une erreur de casting, et ma première réaction a donc été presque négative. En effet, la pertinence du mot « catégorie » dans l’intitulé de ma discipline n’est pas très claire et on peut estimer que ses origines sont à la fois obscures et discutables [1]. Je me suis donc, avant tout, interrogé sur le rapport qu’il pouvait y avoir entre les différentes acceptions usuelles et philosophiques du mot catégorie et le concept qui porte ce même nom en théorie des catégories ? Et, question subsidiaire, quelle est la liaison entre les idées mathématiques de catégorie et de classification, étant entendu que, au moins dans le langage courant, ces deux notions sont conceptuellement liées ?
Voilà donc les deux questions préalables que je me suis posées et dont les réponses, comme on va le comprendre, ne vont pas de soi.

2. A propos de terminologie

D’une manière générale les mathématiciens, de même que les physiciens, les biologistes, etc. choisissent très librement leur terminologie pour désigner leurs objets d’étude ou leurs constructions idéelles. Personne ne se méprend quand un physicien nous parle de la saveur des quarks. De même, quand un mathématicien nous dit qu’il va « plonger un anneau dans un corps », on ne lui demande pas si ça...

Fermions/Bosons-intrication-mesure :
particules vos papiers

- Nous sommes tous différents les uns des autres
- Non, pas moi ! Monty Python, La vie de Brian.

Introduction

La citation extraite de La vie de Brian nous présente une situation paradoxale : comment un individu dans une assemblée peut-il ne pas être différent de tous les autres qui eux le sont ? L’extrait des Monty Python nous révèle à la fois un absurde comique, et un troublant manque de symétrie.
Car si l’on inverse la situation, la citation devient :

- Nous sommes tous les mêmes
- Non, pas moi !

et n’a plus rien de paradoxal. On est passé de l’humour britannique au culte du héros hollywoodien : il n’y a aucune difficulté, dans notre culture classique à imaginer un être différent de tous les autres, eux-mêmes égaux entre eux. Mais un être qui n’est pas différent de tous les autres qui le sont entre eux, seule la Mécanique Quantique peut le faire.
Les bosons aiment bien être tous dans le même état, les fermions ne le supportent pas. La situation du film des Monty Python est bien celle d’un boson plongé dans une assemblée de fermions. Cette dualité identitaire s’observe facilement dans le monde quantique, et est même primordiale. Il est en effet probable que la matière qui nous entoure ne serait pas stable si elle était constituée de bosons. Mais ce qui est tout à fait remarquable est qu’une propriété intrinsèque de particules, leur spin, gouverne ce comportement collectif.
La Mécanique Quantique, dans son besoin généreux de rétablir les symétries, plonge dans la réalité de la même façon l’humour britannique et Hollywood.
Mais si elle décerne ainsi des identités que le monde classique trouve extravagantes, elle n’en refuse pas moins une identité élémentaire aux particules dans un état intriqué, c’est-à-dire non factorisable. Ce phénomène d’intrication, que la Mécanique Quantique crée à loisir dès qu’il y a interaction, peut cependant être brisé à tout instant par l’opération de mesure qui rétablit...

Les catégories physiques : du classique au quantique

Introduction

La comparaison entre la physique classique et la mécanique quantique est intéressante pour une réflexion sur les catégories parce qu’à partir du milieu des années 1920, c’est-à-dire au moment où la mécanique quantique est élaborée, la nécessité de changements conceptuels importants est apparue de façon claire, aux yeux des physiciens d’abord, puis de tous ceux qui réfléchissaient sur la science : cette nouvelle théorie était trop différente de la mécanique classique ou de l’électromagnétisme du XIXe siècle pour qu’on puisse faire l’économie d’un profond remaniement de la grille conceptuelle utilisée jusqu’alors pour construire les théories physiques.
Comme nous allons essayer de le montrer ici, il n’était pas question de remanier à la marge les outils conceptuels, mais bien de rompre avec les concepts les plus généraux (et donc les plus usuels) qui structuraient la physique classique. C’est pour cette première raison qu’il nous semble légitime, à propos du passage de la physique classique à la mécanique quantique, de parler de changement de catégorie. Les catégories seront pour nous des concepts à la fois fondamentaux, au sens où ils sont les premiers éléments dans l’élaboration conceptuelle des théories, et larges, au sens où, pour construire les théories physiques, il faut aussi subdiviser de tels concepts en différentes sous-catégories ayant un sens physique. Bien sûr, en tant que catégories physiques, les catégories dont nous parlerons ici n’ont pas de raison d’être considérées uniquement comme de purs outils de pensée, sans lien avec une - supposée - réalité physique indépendante du sujet connaissant. Toutefois, il n’est pas besoin pour nous de prendre parti dans ce débat et de déterminer si les catégories expriment l’ordre inhérent au monde physique, ou bien si elles ne représentent que nos façons de penser. Les catégories physiques sont pour nous simplement les outils les plus...

On the Relevance of Negative Results

1. Scientific knowledge and critical insight.

The analysis of concepts, conducted on a comparative level if possible, as well as the (tentative) explanation of the philosophical project, should always accompany scientific work. In fact, critical reflections regarding existing theories are at the core of positive scientific constructions, because science is often constructed against the supposed tyranny and autonomy of « facts » which in reality are nothing but « small-scale theories ». Science is also often constructed by means of an audacious interpretation of « new » (and old) facts ; it progresses against the obvious and against common sense (le « bon sens ») ; it struggles against the illusions of immediate knowledge and must be capable of escaping from already established theoretical frameworks. For example, the very high level of mathematical technicity in the geometry of Ptolemaic epicycles constructed from clearly observable facts strongly perplexed numerous Renaissance thinkers such as Copernicus, Kepler and Galileo… : in order to account for the movements of the stars and for the « obvious » immobility of the earth, circles that were added to circles, centers of new circles, were established with and extraordinary geometrical finesse and gave way to uncountably many « publications » (of very high Impact Factor, at least till the middle of the XVII century). Yet they failed to convince the aforementioned revolutionary critical thinkers. And, as Bachelard rightly puts it, the construction of knowledge was then founded, as was Greek thought, upon an epistemological severance, which operates a separation with the previous ways of thinking.
But it is recent examples that interest us, where the critical view finds expression on a more punctual basis, by means of « negative results ». Let’s explain.
When Poincaré was working on the calculi of astronomers, on the dynamics of planets within their gravitational fields, he produced, by purely mathematical...

Linear Logic and Theoretical Computer Science in Italy : results in Optimal Reduction and Implicit Computational Complexity

Introduction

Linear Logic LL was introduced by Girard in 1986 [Gir87] as a refinement of classical and intuitionistic logic, in particular characterized by the introduction of new connectives (exponentials) which give a logical status to the operations of erasing and copying (corresponding to the structural rules of classical and intuitionistic sequent calculi). In other words, with Linear Logic, logical formulae really become physical resources, with a lot of almost immediate applications to Computer Science, spanning from the representation of operational aspects of programming languages and their evaluation strategies, to a dynamic definition of the notion of computational complexity, from linearity analysis and refined type synthesis for sequential languages, to the semantics of sequential and concurrent programming languages. Since its birth, Linear Logic has taken increasing importance in the field of logic in computer science ; it carried a set of completely original concepts (phase semantics, proof nets, coherent spaces, geometry of interaction), rediscovered and put to use previous tools (*-autonomous categories, game semantics), and deeply renewed the field. So, Linear Logic is not only an elegant and powerful technical theory but, first of all, a source of methodological guidelines. We learned from the definition of LL that some logical connectives, which were considered atomic, are composite. In fact the essential property of LL is the decomposition of the intuitionistic implication $A \Rightarrow B$ in $!A \multimap B$. A linear implication $A\multimap B$ represents a transformation process, that, taken as input one object belonging to $A$, gives as output one object belonging to B. The modality ! denotes a different process, which gives explicit evidence to intensional properties of the object $A$ to be transformed. These properties describe the potentiality of the object to be either duplicated or deleted during the transformation. So LL supports...

La ludique, arguments et types

Au lieu de fonder la preuve sur l’application d’une multitude de règles d’inférences pour remonter de la proposition qu’on veut prouver vers les axiomes (on remonte en utilisant les règles d’élimination des connecteurs et les règles structurelles) Girard a proposé de la fonder sur une interaction entre les développements qui partent de la proposition qu’on veut prouver et ceux qui partent de sa contre-proposition. Celle-ci résulte de celle-là par l’échange entre les parties gauche et droite de la relation de conséquence. Pour simplifier, quand la proposition dit |-A, la contre-proposition dit A|-. La contre-proposition implique donc d’avoir fait passer A à droite ce qui, on l’a vu, revient à attacher à A une négation, nous assurant bien ainsi qu’il s’agit d’une contre-proposition. Le principe de la ludique consiste alors à poursuivre en parallèle les développements de la proposition et de la contre-proposition. Ces développements donnent des arbres (partant d’une formule complexe comme racine d’un arbre, on obtient les formules qui résultent de sa décomposition - des ensembles de formules plus simples - comme des branches qui elles-mêmes se ramifient. On s’intéresse alors aux symétries entre les deux arbres de développements (symétries toujours par rapport à la relation de conséquence), et plus spécifiquement aux symétries d’une formule qui apparaît dans la branche d’un arbre à une formule qui apparaît dans une branche de l’autre. Ces formules sont dites « convergentes », quand ce qui est à la droite de la relation de conséquence dans l’une est à gauche de cette relation dans l’autre. Entre ces formules symétriques par rapport à la relation de conséquence, il y a une interaction, ce qui permet d’utiliser une notion de « coupure », qui en fait connecte deux expressions symétriques, et on peut alors éliminer les formules simples qui sont connectées.

Ce développement se poursuit en parallèle entre les deux arbres, mais...

Voyage dans le non commutatif

Introduction

Le mot « noncommutatif » aura certainement été l’un des plus représentatifs de la fécondité des mathématiques au XXième siècle. Si la dichotomie commutatif/noncommutatif est présente au XIXième siècle, dés l’avènement de la théorie des groupes, ce que l’on appelle de nos jours les mathématiques non commutatives ont pris tout leur essor après que la nouvelle mécanique adaptée au monde à l’échelle atomique ait vu le jour. La Mécanique Quantique a dessiné une ontologie du non commutatif en mathématique, tout comme elle a créé un nouveau paradigme physique pour notre perception du monde.
D’un point de vue philosophique il est étrange que la négation d’un concept, d’une formule, devienne aussi positivement ancrée dans un aspect conceptuel presque universel : en principe, puisque le « commutatif » est un, le non commutatif devrait être multiple. Or on parle souvent du commutatif et du non commutatif, comme s’il n’y avait qu’une seule occurrence de ce dernier. Cela traduit, il me semble, le changement de paradigme profond que représente l’abandon, dans une théorie physique ou domaine des mathématiques le postulat $[A,B]=0$.

Faut-il voir $[A,B]=0$ ou bien $[A,B]\neq0$ comme une contrainte ?

D’autre part, si deux matrices données $A$ et $B$ commutent ou bien ne commutent pas entre elles, il s’avère qu’il existe des familles de matrices qui commutent presque, offrant ainsi la possibilité d’une transition du non commutatif vers le commutatif. Cette transition est difficile et offre une richesse extrême, trace selon nous de la profondeur du changement paradigmatique entre le commutatif et le non commutatif. Nous allons essayer d’en donner quelques exemples.

1. Deux écueils post-newtoniens

Nous avons tous appris à l’école que nous vivons dans un espace euclidien constitué de points matériels formant les trajectoires des corps matériels en mouvement qui nous entourent.
Nous avons aussi appris que si la lune suit les...

Le problème de l’identité entre logique et langue

Introduction. - Celles qu’on appelle logiques - celles qu’on enseigne aujourd’hui

La logique se trouve actuellement enseignée et aux scientifiques et aux littéraires : elle fait partie, de fait, des sciences que l’on appelle humaines et des sciences que l’on appelle exactes. Son statut n’est pourtant guère double dans le sens où, par exemple, la médecine pourrait avoir un double statut, de « science » et d’« art », selon le point de vue que le médecin adopte : qu’on donne la priorité au physiologique ou au pathologique, au laboratoire ou au chevet du malade, aux explications ou aux remèdes, dans les deux cas on est souvent face aux mêmes phénomènes, aux mêmes problèmes, aux mêmes instruments - seul change ce qui est mis en avant ; ce n’est pas peu, la différence est peut-être même cruciale, mais les deux points de vue sur l’activité médicale peuvent être identifiés, confondus, voire négligés, du moins par le regard externe d’un sujet non médecin - notamment un chimiste, un biologiste, ou, à l’inverse, un patient. Or, il en est tout autrement pour les « deux logiques », celle qui est enseignée aux scientifiques et celle qui est enseignée aux littéraires. Il suffit de se glisser dans la salle de cours d’une classe préparatoire littéraire et dans la salle de cours d’une école d’ingénieur, au moment où dans les deux salles on parle de « logique », pour voir que tout y est différent : objets, problèmes, instruments, au point qu’on soupçonnerait une pure homonymie si on ne savait par ailleurs que les deux matières sont historiquement cousines ; un résidu est d’ailleurs là pour témoigner de ce cousinage : la proposition logique, qui surtout dans sa version implicative et quantifiée apparaît au tableau dans les deux salles de cours, tel un mot familier qui, surgissant dans un discours dit dans une langue inconnue, ne ferait que rendre l’incompréhension plus désespérée.

Il serait faux d’affirmer que la logique « des...

Intrication quantique/classique

Introduction

« ...Non so più cosa son, cosa faccio... »
Da Ponte

L’intrication est à la mode. Décrite comme source de problèmes incontournables dans les années 30 lors des débats conceptuels sur la nouvelle mécanique, elle est de nos jours activement recherchée comme moteur fondamental de l’informatique quantique.

Quantum computing wants entanglement

Car la Mécanique Quantique sans intrication, c’est comme un baiser sans moustache, comme on disait dans les opérettes de ces mêmes années 30.
La propriété d’intrication de l’état d’un système quantique « formé » de deux particules interdit que l’on puisse parler d’un sous-système formé de l’un d’entre elles. Dans un état intriqué, non seulement les deux particules n’existent pas indépendamment, mais encore chacune contient le reflet de l’autre : 2particules ne sont pas deux particules.
Mais il est un autre sujet concernant la Mécanique Quantique que l’on peut, il me semble, rapprocher de l’intrication : c’est son rapport à la Mécanique Classique.
Les deux nouvelles mécaniques qui voient le jour à l’aube du XXIème siècle, et qui vont permettre de dépasser les deux écueils de la mécanique classique que sont l’interaction à distance et la structure microscopique de l’espace, sont deux évolutions épistémologiquement fort différentes quant au changement de paradigme qu’elles offrent à leurs prédécesseurs. La Relativité ne fait « que » déformer la structure de la cinématique classique mais, en revanche, présente du jamais vu quant aux aspects dynamiques : le tenseur d’énergie-impulsion ne trouve aucune racine dans le monde pré-relativiste.
En ce qui concerne la Mécanique Quantique la situation est en quelque sorte inversée. Le changement paradigmatique lié à la cinématique est immense : on passe d’un espace géométrique inerte à un espace de Hilbert d’états quantiques, du commutatif au non commutatif. En revanche la plupart des hamiltoniens quantiques sont obtenus à...

L’informatique aux interfaces des savoirs

1. L’origine de la machine numérique à états discrets : entre mathématiques et philosophie.

Au cours des années 1930, un croisement très riche entre le questionnement philosophique sur les fondements des mathématiques, la réflexion sur la cognition humaine et les techniques mathématiques nouvelles, est à l’origine de l’ordinateur moderne. A l’époque, les machines à calculer existent déjà, de celle de Babage (1850) aux machines analogiques comme le « Differential Analiser » de V. Bush (1927), mais c’est le problème épistémologique de la complétude déductive des formalismes axiomatiques, qui amènera à l’invention des concepts fondamentaux du calcul digital moderne.
L’analyse logique de la preuve chez Herbrand (sa thèse, 1930, Ens-Sorbonne) contient une première définition de la fonction récursive primitive (calculable au sens fort). Gödel (1931) et Turing (1936) enchaineront en donnant une réponse définitive au questionnement fondationnel de l’époque : est-ce qu’un calcul de signe potentiellement mécanisable et sans référence au sens permet de décider tout énoncé mathématique ? Peut-on en démontrer la cohérence par des arguments « finitaire » et formels ? Et, en fait, le raisonnement humain est-il complètement réductible à un système de signes potentiellement mécanisable ?
Pour répondre à de telles questions philosophiques, ces grands mathématiciens durent préciser ce que veut dire « potentiellement mécanisable ». Autrement dit, pour construire des propositions indécidables ils durent préciser ce que veut dire décidable ou calculable en général, en donnant une formalisation mathématique (la classe des fonctions récursives) de la notion informelle de calcul. Turing, en particulier, en propose une définition particulièrement originale, sa Logical Computing Machine (LCM), idée abstraite d’un « homme dans l’acte minimal de calcul » (une remarque de Wittgenstein), et définit formellement par...